Aproximação de raízes quadradas para a segunda casa decimal

RKA - Pediram para gente aproximar a raiz quadrada de 45 da casa dos centésimos, e estou assumindo que não querem que a gente use a calculadora, porque seria muito fácil. Então vamos ver se podemos aproximar isso apenas com nossa caneta e papel. A raiz quadrada de 45. 45 não é um quadrado perfeito, com certeza não é um quadrado perfeito. Vamos ver se existe um quadrado perfeito próximo a ele. Sabemos que vai ser menor que o próximo quadrado perfeito acima de 45, vamos ver se vai ser 49, porque é 7 vezes 7. Então é menor que a raiz quadrada de 49 e é maior que a raiz quadrada de 36. A raiz quadrada de 36, deveria dizer que é 6 e a raiz quadrada de 49 é 7. Então o valor correto para isso, vai estar entre 6 e 7. Vai estar entre 6 e 7. E se olharmos bem, só tem 4 antes de 49 e 9 além de 36. Então, parece que a diferença entre 36 e 49 é 13. Tem um intervalo total de 13 entre o 6 ao quadrado e o 7 ao quadrado. E esse 9 é o caminho até aqui. Assim como um tipo de aproximação talvez, e não deve funcionar perfeitamente, porque estamos usando os quadrados, não há uma relação linear, mas será mais próximo de 7 do que do 6. Pelo menos o quadrado, ou o 45 é 9/13 avos do caminho. A gente pode tentar olhar dois terços do caminho. Vamos tentar 6,7 como um palpite. Apenas com base em que 7 é mais ou menos dois terços. Na verdade, podemos calcular isso bem aqui se quisermos. 9/13 avos como decimal será o que? Será 9 dividido por 13. E temos algumas casas decimais bem aqui, 13 não cabe em 9, então colocamos o "0" e a vírgula, pois a gente entra na casa dos décimos. Mas cabe 90, vamos ver se cabe 7 vezes. Não cabe. 6 vezes. 6 vezes 3 é igual a, 6 vezes 3 é igual a 18, 6 vezes 1 é 6, mais 1 é igual a 7. Subtraindo a gente tem 12. Então cabe quase exatamente 7 vezes. O valor é quase 0,7. Quantas vezes 13 cabe em 120? Parece que 9 vezes. Vamos tentar 9 vezes. 9 vezes 3. 9 vezes 3 é 27, 9 vezes 1 é 9, mais 2 é 11. Você tem um 3 sobrando aqui. Tem mais ou menos 0,69. 6,7 seria um bom palpite. Isso é 0,69 da diferença entre 36 e 49. Então vamos pegar o mais próximo de 0,69 da diferença entre 6 e 7. Mais uma vez, só para aproximar, não necessariamente dar a resposta exata. Temos que usar como um palpite inicial. E olha como funciona: vamos tentar 6,7. E o melhor caminho para tentar é 6,7 ao quadrado. 6,7 vezes 6,7. Temos 7 vezes 7 é 49, 7 vezes 6 é 42, mais 4 é 46. Coloco o "0" agora e temos uma casa para a esquerda. E temos 6 vezes 7 é 42, vai 4, 6 vezes 6 é 36, mais 4 é 40. 9 mais "0" é 9. 6 mais 2 é 8. 4 mais "0" é 4. E temos um 4 bem aqui, a gente tem dois números inteiros atrás da casa decimal. 1, 2, e isso nos dá 44,89. 6,7 nos deixa bem perto, mas ainda não exatamente na casa dos centésimos, apenas chegamos à casa dos décimos aqui. Então se queremos chegar a 45, esse 6,7 ao quadrado continua menor do que 45, ou 6,7 é menor do que a raiz quadrada de 45. Vamos tentar 6,71 e aumentar um pouco mais. Veja, se podemos ir de 44,89 a 45 porque isso é realmente mais próximo. Apenas vamos tentar 6,71. Vamos fazer isso em outra cor, em rosa. Vamos ver o 6,7. Vamos aumentar um pouco e ver se fica mais próximo, porque isso já é realmente mais próximo. Vamos tentar apenas 6,71. Mais uma vez temos que fazer alguma aritmética à mão, a gente assume que não querem que a gente use a calculadora aqui. 1 vezes 1 é 1, 1 vezes 7 é 7 e 1 vezes 6 é 6. Colocamos um "0" aqui e 7 vezes 1 é 7, 7 vezes 7 é 49, vai 4, 7 vezes 6 é 42, com mais 4 dá 46. Colocamos dois zeros agora, e 6 vezes 1 é 6, 6 vezes 7 é 42, 6 vezes 6 é 36, mais 4, 40. 40. E é interessante lembrar que o que temos somado por termos, somado 100 ali, porque somando temos 1, 7 mais 7 é 14, 1 mais 6, mais 9 é 16, mais 6 é 22. 2 mais 6, mais 2 é 10. E então, 1 mais 4 é 5. Por último, 4 aqui. 1, 2, 3. 1, 2, 3, 4, temos 4 números após a vírgula no total. Então quando multiplicamos 6,71 por ele mesmo, ou temos 6,71 ao quadrado, obtemos 45,0241. 6,71 é um pouco maior. Vou deixar mais claro agora: a gente sabe que 6,7 é menor que a raiz quadrada de 45 e sabemos que é menor que 6,71, porque quando multiplicamos a gente chega a alguma coisa além da raiz quadrada de 45. Mas a chave aqui é quando multiplicamos. Então, 6,7 nos dá 44,89 que é 11 centésimos antes de 45. Se a gente olhar 6,71 ao quadrado, estamos apenas a 2,4 centésimos acima de 45. Isso aqui é o mais próximo da raiz quadrada de 45. Então se aproximarmos ao centésimos, definitivamente vamos ficar com 6,71.