Visão sobre expoentes negativos

RKA-MP - Pediram alguns palpites sobre por que, digamos, "a" elevado a "-b" é igual a 1 sobre "a" elevado a "b". E, antes de te dar o palpite, eu quero que você perceba só que isso realmente é uma definição. Eu não sei, o inventor da matemática não era uma pessoa. Você sabe que foi uma convenção que surgiu, mas eles definiram isso. Eles definiram pelas razões que eu vou te mostrar. O que eu vou te mostrar é uma das razões, e logo veremos que isso é uma boa definição, porque, uma vez que aprenda as propriedades das potências, todas as outras propriedades ficam coerentes a respeito dos expoentes negativos e quando você eleva algo à potência zero. Então, vamos pegar os expoentes positivos. Aqui, eles são bem intuitivo, eu acho. Os expoentes positivos, então, você tem "a" elevado a 1, a², a³, a⁴. O que é elevado 1? a¹, falamos, é igual a "a". E, para obter "a" elevado ao quadrado, o que fizemos? Multiplicamos por "a", correto? a² é só "a" vezes "a". Então, para obter a³, fazemos o quê? Multiplicamos por "a" de novo. Então, para obter a⁴, fazemos o quê? Multiplicamos por "a" de novo. Ou, outra forma que poderia imaginar é quando diminui o expoente, o que estamos fazendo? Estamos multiplicando por 1/a ou dividindo por "a". E, de forma parecida, você diminui novamente, está dividindo por "a". E, para ir de a² para a¹, está dividindo por "a". Então, vamos usar essa progressão para calcular "a" elevado a zero. Então, esse é o primeiro difícil: a⁰. Você é um inventor, o criador da matemática e precisa definir o que é a⁰. E, sabe, talvez seja 17, talvez seja π, sei lá, é você quem vai decidir o que será a⁰. Mas não seria legal se a⁰ mantivesse esse raciocínio? Que cada vez que você diminuísse o expoente, estaria dividindo por "a", não é? Então, se está indo de a¹ para a⁰, não seria legal se a gente só dividisse por "a"? Então, vamos fazer isso. Se vamos de a¹, que é simplesmente "a", e dividir por "a"... Então, estamos saindo para... Vamos dividi-lo por "a", o que é "a" dividido por "a"? É igual a 1! Então, é aí que está a definição, ou é um dos palpites por trás do porquê algo elevado à potência de zero é igual a 1. Porque quando você pega aquele número e o divide por ele mesmo mais uma vez, só obtêm 1. E isso é bem razoável, mas agora vamos para o domínio negativo. O que deve ser igual a⁻¹? Bom, mais uma vez, seria legal se pudéssemos manter esse raciocínio, onde cada vez que a gente diminuísse o expoente, estaríamos dividindo por "a". Vamos dividir por "a" de novo, então 1/a. A gente pega a⁰ e o divide por "a". O a⁰ é 1, então o que é 1 dividido por "a"? É 1/a. Agora, vamos fazer isso de novo, acho que você vai conseguir entender o padrão, acho que provavelmente já entendeu até. Quanto é a⁻²? Sabe, seria uma bobeira mudar o padrão agora, cada vez que diminuirmos o expoente, estamos dividindo por "a". Para ir de a⁻¹ para a⁻², vamos só dividir por "a" de novo e vamos ter o quê? Se você pega 1/a divide por "a", obtém 1/a² e poderia somente continuar fazendo esse padrão da forma à esquerda e iria obter "a" elevado "-b" é igual a 1 sobre a elevado a "b". Com sorte, aquilo te deu um pouco de intuição sobre por que... Bom, em primeiro lugar, você sabe, o grande mistério é... Já sabe, algo elevado à potência zero, por que é igual a 1? Primeiro, tenha em mente que aquilo é apenas uma definição. Alguém decidiu que isso seria igual a 1, mas eles tiveram uma boa razão, e a boa razão foi que quiseram manter esse raciocínio, e essa é a mesma razão por que definiram expoentes negativos assim. E o que é ainda mais legal disso não é só manter o raciocínio de quando você diminuiu os expoentes, você está dividindo por "a", ou quando está aumentando expoentes, você está multiplicando por "a". Mas, como você verá nos vídeos sobre propriedades das potências, todas as propriedades das potências contém... Todas as propriedades são coerentes com esta definição de algo elevada à potência zero, e essa definição de alvo elevado à potência negativa. Espero que não tenha te deixado maluco e tenha proporcionado um pequeno palpite, desmistificado algo que, francamente, é bem desconcertante na primeira vez em que você aprende.