Expoentes negativos

RKA - Já sabemos que 2 elevado à 4ª potência pode ser visto como uma multiplicação, começando com um 1 e multiplicando por 2 quatro vezes. Vezes 2, vezes 2, vezes 2, vezes 2. A gente vai obter 2 vezes 2 é 4, 8, 16. Teremos 16. Vou fazer uma perguntinha mais interessante agora: quanto acha que é 2 elevado à potência de -4? Faça uma pausa no vídeo e pense a respeito. Dá pra se sentir tentado a dizer -16, ou qualquer coisa assim, mas lembre-se do que a operação com um expoente está tentando fazer. Uma maneira de interpretar é pensar quantas vezes a gente vai multiplicar o número 2 por 1. Vamos multiplicar 2 por 1, -4 vezes. O que o sinal de menos significa? Menos significa o inverso. Aqui, são quantas vezes multiplica quando a gente torna isso negativo e dizemos quantas vezes vamos, começando com 1, quantas vezes vamos dividir por 2. Dá pra ver como 1 vezes, e iremos dividir por 2 quatro vezes. Dividir por 2 é equivalente a multiplicar por meio. A gente poderia dizer que é 1 vezes meio, vezes, vou usar só uma cor. Então, 1 vez um meio, vezes um meio, vezes um meio, vezes um meio. Observe que multiplicar por meio 4 vezes é exatamente equivalente a dividir por 2 quatro vezes. Nessa situação, vai ter um vezes meio é meio, vezes meio é um quarto, vezes meio é um oitavo, vezes meio é 1 sobre 16. Provavelmente, já percebeu a relação e, basicamente, é começar com o 1 e dividir por 2 quatro vezes. Também poderia dizer que 2, vou usar as mesmas cores, 2 elevado a -4 é igual a meio elevado à quarta potência. Vou reforçar com uma cor para que entenda o que o sinal negativo está fazendo. Esse sinal negativo, aqui, vou usar uma cor melhor para que fique bem destacado. Esse sinal negativo é que está fazendo com que tenhamos uma fração. Então, 2 elevado a -4 é igual a, baseado em como definimos aqui, o inverso de 2 à 4ª, que é 1 sobre 2 elevado à 4ª. Dá pra visualizar como 1 sobre 2 vezes 2, vezes 2, vezes 2, se apenas visualizar 2 elevado à 4ª como pegando quatro números 2 e multiplicando-os. Ou, se usar essa ideia aqui, pode ver como começando com 1 e multiplicando por 2 quatro vezes. Das duas formas vai obter 1 sobre 16. Vamos fazer mais alguns exercícios, apenas para assegurar de que as coisas estejam claras. Vamos tentar 3 elevado à potência de -3. Lembre-se: sempre que encontrar um sinal de menos significa que deve colocar 1 sobre o número, elevado ao expoente sem o sinal de menos. Isso vai ser igual a, vou destacar o sinal negativo de novo, e será 1 sobre 3 elevado ao cubo, o que será igual a 1 sobre 3 vezes 3, vezes 3. Ou 1 vezes 3, vezes 3, vezes 3, que será 27. Será 1 sobre 27. Vamos fazer outro. Vamos fazer mais dois ou três. Vamos pegar um número negativo elevado a um expoente negativo só pra ver se vamos ficar confusos. E então, pegar o número -4 e elevar, não quero que meus números fiquem muito altos, vamos pegar -2 e elevar à potência de -3. Vou usar essa cor para os sinais negativos. E potência de 3 negativo. No início, pode parecer confuso. E será que os negativos se cancelam? Essa confusão se deve aos vestígios na nossa mente que estão tentando pensar na multiplicação de negativos, mas não se aplica aqui. Lembre-se: quando vemos um expoente negativo significa apenas o oposto do expoente positivo. 1 sobre -2 elevado ao cubo, à terceira potência positiva, e é igual a 1 sobre -2 vezes -2, vezes -2. Ou, pode ver como, 1 vez -2, vezes -2, vezes -2, que nos dará 1 sobre -8. Vou rolar a tela um pouquinho porque não quero começar a escrever as coisas espremidinhas. Portanto, é igual a -1 sobre 8. Vamos fazer outro exemplo só pra ver se a gente fica confuso ou não. Vamos pegar 5 sobre 8. 5 sobre 8 e elevar à potência de -2. Mais uma vez esse sinal negativo, e tem uma fração. E tem um sinal negativo aqui. Lembre-se: isso significa apenas 1 sobre 5, sobre 8, elevado ao quadrado. Então isso será igual a 1 sobre 5 sobre 8 ao quadrado. Que será igual a, tô tentando destacar com uma cor, 1 1 sobre 5 sobre 8 vezes 5 sobre 8. Que é 25 sobre 24. Opa, 25 sobre 64. 1 sobre 25 sobre 64 será, simplesmente, 64 sobre 25. Portanto, é outra forma de pensar que vou pegar o inverso disso e elevar ao expoente positivo. Outra forma de pensar é: 5 sobre 8 elevado à potência de -2. Vou pegar o inverso disso: 8 sobre 5 e elevar à potência de 2. Então, todas essas expressões são equivalentes e teria sido aplicável mesmo se estivesse lidando com números inteiros na base. Se a base fosse 2, poderia dizer que será igual a isto: 2 elevado a -4 será igual a meio elevado a 4. Portanto, vai ser igual ao inverso de 2, que é meio, elevado à potência de 4 positivo. Meio elevado à potência de 4.