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Exemplo prático: classificação dos números

Como os números decimais repetidos se encaixam nos conjuntos de números? Exploraremos se um número como 3,4028, que se repete, é um número real, um número racional ou ambos. Usaremos multiplicação e subtração, além de um pouco de álgebra, para nos convencer se existe ou não uma representação fracionária do número. Criado por Sal Khan e Instituto de Tecnologia e Educação de Monterey.

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Transcrição de vídeo

RKA - A qual conjunto de números 3,4028 (com o 28 no final repetindo) pertence? Antes mesmo de responder a essa questão, vamos pensar sobre o que isso representa, especialmente o que essa linha no topo significa. Essa linha no topo significa que o 28 continua se repetindo. Eu poderia expressar esse número como 3,4028, mas o 28 continua repetindo. Continua repetindo. A gente poderia continuar escrevendo esses números para sempre e, obviamente, é mais fácil escrever essa linha em cima do 28 para indicar que ele fica se repetindo. Agora, vamos pensar sobre a qual conjunto numérico ele pertence. O conjunto de números mais abrangente com o qual já lidamos até agora é o de números reais e esse, definitivamente, pertence aos números reais, que são, essencialmente, todos os números os quais estamos acostumados a usar. 3,4028 repetindo fica em algum lugar aqui. Se esse é 1 negativo, esse é: 0, 1, 2, 3, 4. 3,4028 é um pouco maior que 3,4, e um pouco menor que 3,41. Ficaria aqui. Definitivamente fica na reta numérica, é um número real. É definitivamente um número real. Mas a questão, não tão óbvia, é se é um número racional. Lembre-se: um número racional é um número que pode ser expressado como uma expressão racional ou como uma fração. Se eu fosse te dizer que P é racional, significa que P pode ser expressado como a relação ou divisão de dois inteiros. Significa que P pode ser expressado como a relação de dois inteiros: M sobre N. Então, a questão é: posso expressar isso como a relação de dois inteiros? Ou outra forma de pensar é: posso expressar como sendo uma fração? E, para fazer isso, vamos expressar como uma fração. Vamos definir x como sendo igual a esse número. Então, x é igual a 3,4028 repetindo. Vamos pensar sobre o que 10.000x é. A única razão pela qual quero 10.000x é porque quero mover a vírgula para direita aqui. 10.000x: o que isso vai dar? Bom, toda vez que multiplica por uma potência de 10, você troca a vírgula para um lado, à direita. 10.000 é 10 elevado à quarta potência. Então, é como quatro casas à direita. Um, dois, três, quatro... Vai ser 34.028,2828... Mas esse 28 continua repetindo, então você ainda teria os 28 indo até o infinito depois disso. Eles todos foram trocados para a esquerda da vírgula por cinco espaços. Você consegue ver isso dessa forma, faz sentido: é perto de 3,5. Se multiplicar por 10.000, obtém quase 35.000. Então, é 10.000x. Agora, vamos pensar em 100x. Meu exercício inteiro aqui é sobre obter dois números que, quando subtrair um do outro, (e eles estão em termos de X) a parte periódica desaparece. E, aí, podemos só tratar isso como números tradicionais. Vamos pensar o que é 100x. Isso move a vírgula. Lembre-se: a vírgula estava aqui originalmente, e se move sobre o lado direito em dois espaços. Então, 100x seria 300.... Seria 340,28 se repetindo. A gente poderia ter colocado o 28 repetindo aqui, mas não teria feito muito sentido. Você sempre quer escrever isso depois da vírgula. Temos que escrever o 28 de novo para mostrar que está repetindo periodicamente. Agora, alguma coisa interessante está acontecendo: esses dois números são apenas múltiplos de x. E se eu subtrair o de baixo do de cima, o que vai acontecer? A parte periódica irá desaparecer, então vamos fazer isso. Vamos fazer nos dois lados dessa equação. Do lado esquerdo desta equação: 10.000x menos 100x, será igual a 9.900x. E, do lado direito, vamos ver: a parte decimal será cancelada e só temos que descobrir qual é a diferença entre 34.028 menos 340. Vamos descobrir! 8 é maior 0, então não temos que fazer nenhum reagrupamento aqui. 2 é menor que 4, então teremos que fazer algum reagrupamento, mas não conseguimos emprestar ainda porque temos um 0 aqui, e 0 é menor que 3, então temos que fazer um reagrupamento ali ou algum empréstimo. Vamos emprestar do 4, primeiro. Se emprestarmos do 4, vai se tornar um 3. E, então, vai se tornar um 10. Então, o 2 pode agora pode agora emprestar do 10. Isso se torna um 9, e isso se torna um 12. Agora, podemos fazer a subtração: 8 menos 0, 8. 12 menos 4, 8. 9 menos 3, 6. 3 menos nada, 3. Então, 9.900x é igual a 33.688. Subtraímos 340 daqui de cima, nós temos 33.688. Agora, se a gente quiser encontrar o valor de x, é só dividirmos os dois lados por 9.900. Nós só dividimos os dois lados por 9.900. Divide o esquerdo por 9.900, divide o direito por 9.900. Então, o que sobra? Sobra x igual a 33.688 sobre 9.900. Agora, o que é importante sobre isso? Bom, x era esse número, x era esse número com o qual começamos, esse número que é uma dízima periódica. E, fazendo um pouco de manipulação algébrica e subtraindo um múltiplo de outro, conseguimos expressar exatamente o mesmo x como a fração geratriz da dízima periódica. Agora, isso não está em termos mais simples, quer dizer: os dois são definitivamente divisíveis por 2, e parece 4. Então você poderia colocar na menor forma comum, mas não ligamos para isso. O que nos importa é o fato de que conseguimos representar x, conseguimos representar esse número como uma fração. Como a relação de dois inteiros... O número é racional também. Também é racional. Essa técnica que fizemos não se aplica somente a esse número, em qualquer momento que tiver uma dízima periódica, você pode fazer isso. Então, em geral, dízimas periódicas são racionais. Os que são irracionais são os que nunca repetem, como o π, que é igual a 3,14159... enfim! As outras coisas acho que são bem óbvias: não é um inteiro! Os inteiros são os números com os quais estamos trabalhando, então, isso é algum lugar entre os inteiros. Não é um número natural, que depende do contexto em que é visto, como subconjuntos de inteiros. Definitivamente, não é nenhum desses. É real ou irracional. É tudo que podemos dizer sobre eles.