Soma dos ângulos internos de um polígono

RKA13MB - Já sabemos que a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180 graus. Se a medida desse ângulo é "a", a medida desse ângulo aqui é "b" e a medida desse ângulo é "c", sabemos que "a + b + c" é igual a 180 graus. O que acontece quando temos polígonos com mais de três lados? Vamos tentar o caso em que temos um polígono de quatro lados (um quadrilátero). Vou desenhá-lo irregular só para provar que o que fizemos aqui provavelmente será aplicado a qualquer quadrilátero, não apenas formas que tenham ângulos retos, retas paralelas e, enfim, essas coisas todas. Na verdade, isso parece quase paralelo. Então deixe-me desenhar assim. Você pode pensar sobre isso assim em relação ao quadrilátero. Já sabemos o seguinte fato: as medidas dos ângulos internos de um triângulo somadas valem 180 graus, assim talvez possamos dividir isso em dois triângulos. A partir desse ponto aqui, se desenharmos uma reta assim, nós dividimos em dois triângulos. E, se a medida desse ângulo é "a", a medida desse é "b", esse é "c", a gente sabe que "a + b + c" é igual a 180 graus... se chamarmos isso aqui de "x" e isso de "y" e aquele de "z", essas são as medidas desses ângulos. Sabemos que "x + y + z" é igual a 180 graus. Então, se quisermos a medida da soma de todos os ângulos internos, deverá ser: "b + z" são dois ângulos internos desse polígono, mais esse ângulo, que será "a + x" ("a + x" é aquele ângulo inteiro no quadrilátero), mais esse ângulo inteiro que deverá ser "c + y". E onde sabe que "a + b + c" é igual a 180 graus. A gente sabe também que "z + x + y" é igual a 180 graus. Então 180 graus mais 180 graus é igual a 360 graus. Acho que você já pode ver a ideia geral aqui. Temos apenas que descobrir em quantos triângulos podemos dividir algo, e multiplicamos esse resultado por 180 graus, já que cada um desses triângulos terá seus ângulos internos somando 180 graus. Vamos fazer mais um exemplo particular e, depois, tentaremos fazer uma versão geral. Quantos triângulos poderíamos tentar encaixar nessa coisa? Vou desenhar um pentágono irregular. Um, dois, três, quatro, cinco. Parece mais com uma casa virada de lado. Mais uma vez, podemos desenhar nossos triângulos dentro desse pentágono. Temos um triângulo aqui, ali temos outro triângulo, então posso desenhar três triângulos que não se sobrepõem e que cobrem perfeitamente esse pentágono. Esse é um triângulo, o outro triângulo, e o outro triângulo. Sabemos que cada um desses tem 180 graus, como a soma de seus ângulos internos. Também sabemos que a soma de todos os ângulos interiores de cada triângulo são iguais à soma dos ângulos interiores do polígono como um todo. Para ver isso claramente, esse ângulo interior é um dos ângulos do polígono; esse é também. Quando você pega a soma desse e desse aqui, então pegará todo o ângulo interno do polígono. Pegamos a soma desse e aquele. Você pega esse aqui inteiro. Então, quando você pega a soma desse aqui, mais esse mais e mais esse, obtém um ângulo interno inteiro. Então, se pegarmos a soma de todos os ângulos internos de todos esses triângulos, você, na verdade, encontrará a soma de todos os ângulos internos do polígono. Nesse caso, você tem um, dois, três triângulos. 3 vezes 180 graus é igual a quanto? "300 + 240" é igual a 540 graus. Para generalizar isso... e, para generalizar, vamos pensar. Para tirarmos os dois primeiros triângulos, temos que usar até quatro lados desse quadrilátero. Tivemos que usar até quatro desses cinco lados desse pentágono (um, dois e, e então três e quatro). Assim, quatro lados te dão dois triângulos. Pelo jeito, parece que cada lado a mais que tem depois disso você consegue formar outro triângulo com ele. Vamos tentar ver quantos triângulos conseguimos formar em um hexágono. Um, dois, três, quatro, cinco, seis. Seis lados. E posso obter um triângulo desses dois lados (um, dois lados do hexágono em si), posso fazer outro triângulo com esses dois lados do hexágono, e parece que posso fazer outro triângulo com cada um desses lados remanescentes. Um desse, e, então, um desse aqui. Em geral, me parece que a gente diz que temos lados "S", um polígono de "S" lados... já vimos o caso para cinco lados, quatro lados ou seis lados... a gente pode assumir que "S" é maior que quatro lados. Quero descobrir, quando os triângulos não se sobrepõem e cobrem completamente aquele polígono, quantos cabem dentro dele? Só preciso multiplicar o número de triângulos por 180 graus para descobrir quanto é a soma dos ângulos interiores desse polígono. Vamos descobrir o número de triângulos em função do número de lados. Mais uma vez, quatro dos lados serão utilizados para formar dois triângulos. Temos esses lados aqui e temos dois lados bem aqui. Posso desenhar um triângulo e não vou nem comentar sobre o que acontece com o resto dos lados do polígono. Você pode imaginar-me colocando um pedaço grande e preto de papel. Pode haver outros lados aqui, não vou me preocupar com eles agora. Então, desses dois lados, posso desenhar um triângulo assim. Com esses dois lados, posso desenhar outro triângulo bem aqui. Então, quatro lados utilizados para dois triângulos. Portanto, não importa quantos lados eu deixei para trás, então eu já usei quatro dos lados. Deixe-me desenhar um pouco melhor que isso, assim eu posso evitar toda essa confusão aqui. Parece que, com qualquer lado adicional, consigo formar outro triângulo a partir dele. Isso é um triângulo bem aqui, um triângulo daquele lado, um triângulo daquele lado, um triângulo desse lado e, então, um triângulo desse lado. Por exemplo, essa figura que eu desenhei é bastante irregular. Um, dois, três, quatro, cinco, seis, sete, oito, nove, dez. Está certo? Um, dois, três, quatro, cinco, seis, sete, oito, nove, dez. É um decágono. Nesse decágono, quatro dos lados foram utilizados para dois triângulos, e, com os outros seis lados, consegui um triângulo de cada. Um, dois, três, quatro, cinco. Na verdade, deixe-me ter certeza de que eu estou contando certo o número de lados. Tenho um, dois, três, quatro, cinco, seis, sete, oito, nove, dez. Eu contei certo. Será que eu não vi alguma coisa? Ah, sim, eu tenho que desenhar outra linha bem aqui. Esses aqui são dois lados diferentes; posso fazer outro triângulo daquele lado ali. Pronto. Tenho esses dois triângulos feitos com quatro lados. Então, desses outros seis lados que sobraram, eu faço um triângulo cada. Mais seis triângulos. Tenho um total de oito triângulos. Então podemos generalizar isso um pouco. Os primeiros quatro lados, vamos ter dois triângulos (deixe-me escrever isso). Nosso número de triângulos será igual a dois. E, depois, já usei quatro lados dos lados que sobram. Faço um triângulo de cada; os lados que sobram serão "S - 4". O número de triângulos será "2 + S - 4". "2 + S - 4" é igual a "S - 2". Então, se eu tenho um polígono de "S" lados, eu tenho "S - 2" triângulos que vão cobrir completamente o polígono e que não se sobrepõem. O que nos indica que, se um polígono de "S" lados tem "S - 2" triângulos, a soma dos ângulos internos dele será "(S - 2)" vezes 180 graus, o que é uma conclusão interessante. Então, se alguém te dissesse que tem um polígono de 102 lados, então "S" seria igual a 102 lados. Poderia dizer: "legal! A soma dos ângulos interno será '102 - 2'... então será 100 vezes 180 graus, que é igual a... 180 com dois zeros a mais seria... 18 mil graus para os ângulos internos de um polígono de 102 lados".