Teorema da desigualdade triangular

RKA - Vamos desenhar um triângulo. O comprimento deste lado é 6, esse lado mede 10 e esse aqui mede "x". Quero saber qual é o maior valor e o menor valor possível de "x". A primeira pergunta é: qual pode ser seu menor valor? Se a gente quer um valor pequeno, basta pegar este ângulo e reduzir. Vamos tentar reduzir o máximo possível. Tenho o lado 10, vou desenhar aqui embaixo. Tenho o lado com 10 de comprimento e vou tentar aproximar o ângulo de zero. Se o ângulo se torna zero, o triângulo deixa de existir, ele se torna unidimensional, perde a bidimensionalidade. Mas conforme nos aproximamos de zero, esse lado fica cada vez mais próximo do lado 10. Dá para imaginar o caso de ele coincidir e o triângulo deixar de existir. Se quiser que este ponto chegue o mais próximo possível deste ponto, minimizando a distância "x", se o ângulo for igual a zero... Aliás, vou desenhar uma progressão. O ângulo está diminuindo, este é o comprimento 6. O "x" está diminuindo e continuamos reduzindo esse ângulo. Vou desenhar o lado rosa. Esse é o lado 10 e o nosso ângulo virou zero. Esse é o lado 6. Qual é a distância entre este ponto e este? É a distância "x". A gente sabe que "6 + x" vai ser igual a 10. No caso deste comprimento, "x = 4". Se você quer que este seja um triângulo real, para "x = 4", o triângulo deixa de existir e vira uma reta, um segmento de reta. Se quer que seja um triângulo, "x" tem que ser maior que 4. Agora vamos pensar ao contrário. Qual é o maior comprimento a que "x" pode chegar? Para aumentar o valor de "x", tem que aumentar este ângulo. Vamos tentar fazer. Desenho o lado 10 de novo, este é meu lado 10. Agora quero um ângulo bem grande. Então, pego o lado 6 e desenho assim. O ângulo está cada vez maior, se aproximando de 180 graus. A 180°, o triângulo de novo vira um segmento de reta, um triângulo que deixa de existir. Vou desenhar o lado "x". Queremos maximizar a distância entre este ponto e este, este é o lado "x". A 180°, o lado 6 forma uma linha reta com o lado de comprimento 10. Assim, chegamos à distância máxima entre esses dois pontos. Nesta situação, qual é a distância entre os pontos que vai ser a distância de "x"? Nesta situação, "x" é igual a 6 + 10, dá 16. Se "x" é 16, tem um triângulo que deixa de existir. Se não queremos isso, se queremos as duas dimensões do triângulo "x", tem que ser menor que 16. O princípio que estamos discutindo chama-se teorema da desigualdade triangular, e é uma ideia bem básica. Qualquer lado de um triângulo tem que ser menor que a soma dos outros dois lados. Então, o comprimento de um lado tem que ser menor, que a soma dos comprimentos dos outros dois lados. O comprimento de um lado tem que ser menor que a soma dos comprimentos dos outros dois lados. Usando esse princípio, dá para chegar à mesma conclusão. Se "x" é um dos lados, ele tem que ser menor que a soma dos outros dois lados, tem que ser menor que 6 + 10 ou "x" tem que ser menor que 16. 6 + 10 = 16. Chegamos a um mesmo resultado quando visualizamos assim. Se quiser saber o comprimento mínimo de "x", dizemos que 10 tem que ser menor que "6 + x", a soma do comprimento dos outros dois lados. Se subtrairmos 6 dos dois lados, a gente fica com "4 < x" ou x é maior que 4. Esta é, de certa forma, uma ideia básica, e é uma coisa que, com certeza, você vai ver em geometria e em outras versões desse teorema da desigualdade triangular, que diz que o comprimento de um lado de um triângulo tem que ser menor que a soma dos comprimentos dos outros dois lados.