If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Se você está atrás de um filtro da Web, certifique-se que os domínios *.kastatic.org e *.kasandbox.org estão desbloqueados.

Conteúdo principal

Sistemas de equações com eliminação: maçãs e laranjas

Criação e solução de um sistema de equações para resolver um problema sobre o preço de maçãs e laranjas. Versão original criada por Sal Khan.

Quer participar da conversa?

Você entende inglês? Clique aqui para ver mais debates na versão em inglês do site da Khan Academy.

Transcrição de vídeo

RKA - Você vai até uma barraca para comprar algumas frutas frescas e observa que a pessoa na sua frente compra cinco maçãs e quatro laranjas por dez reais. Você compra cinco maçãs e cinco laranjas por onze reais. Podemos descobrir o preço de uma maçã e uma laranja usando essas informações em um sistema de equações lineares com duas variáveis? Se sim, qual é a solução? Se não, por que não podemos? Estamos tentando descobrir o preço de uma maçã e o preço de uma laranja, então vou usar "m" para a maçã, mas não quero usar "l" para a laranja porque "l" se parece muito com o 1, vou usar "x" pra maçãs, digamos que x é igual ao preço das maçãs, e y é igual ao preço das laranjas. Preço das laranjas. Vamos agora descrever o que aconteceu com a pessoa que estava na frente da gente na fila: ela comprou cinco maçãs, e quanto ela gastou nas maçãs? Ela comprou cinco maçãs vezes x reais por maçã, então ela gastou 5x reais nas suas cinco maçãs, e comprou quatro laranjas. Comprou quatro laranjas. Vezes y reais por laranja, pagando 4y nas laranjas. Portanto, o valor total gasto foi 5x mais 4y, e nos dizem que isso é 10 reais. É igual a 10 reais. Agora chegou sua vez e você compra cinco maçãs. Cinco maçãs, igual a pessoa à sua frente, e pagou x reais por maçã, então pagará cinco maçãs vezes o preço por maçã. Esse é o valor que pagou pelas maçãs. A seguir, compra cinco laranjas e vai pagar cinco laranjas vezes o preço por laranja, que é y. Isso é o que você gastou com as laranjas e isso quanto gastou com as maçãs e laranjas, é a soma. Dizem que isso é 11 reais. Podemos descobrir o x e o y? Parece que sim. Uma boa dica é que a proporção entre os x e y nessas duas equações é diferente. A gente tem algumas informações: se as proporções fossem exatamente iguais, se fosse 5x mais 4y e a gente tivesse um número diferente, estaríamos em dificuldades porque compramos a mesma combinação mas pagamos um preço diferente. O bom é que a gente tem uma combinação diferente. Agora, a coisa mais óbvia que chama a atenção é que tem um 5x aqui e um 5x aqui. Se eu pudesse subtrair esse 5x daquele 5x eu cancelaria todos os termos x. Daí vou multiplicar essa equação de baixo por -1, ela fica -5x menos 5y é igual a -11, e agora basicamente eu vou somar essas duas equações. Posso fazer isso porque estou fazendo a mesma coisa dos dois lados, já sei que esta coisa é igual a esta coisa. Simplesmente estou adicionando essas coisas aos dois lados, então no lado esquerdo tenho 5x menos 5x, eles se cancelam. Depois tenho 4y menos 5y, que é -y e isso será igual a 10 - 11, que é -1. Depois, se multiplicar os dois lados por -1 ou dividir os dois lados por -1 obteremos y é igual a 1. Desse modo, conseguimos descobrir o preço da laranja, que é um real cada. Cada laranja igual a 1. Vamos descobrir agora o preço da maçã. Podemos voltar pra qualquer uma dessas equações. Cinco vezes... vamos pra pessoa na nossa frente na fila. Ela comprou cinco maçãs a x reais cada, mais quatro laranjas a um real cada, e gastou um total de dez reais. Então, obviamente, é 4. Vamos subtrair 4 dos dois lados e obtemos... Bom, 4 vezes 1 - 4, esses se cancelam e no lado esquerdo ficamos apenas com 5x. No direito tem 10 - 4, que é igual a 6. Podemos dividir os dois lados por 6 agora para descobrir o x. Oh, desculpa! Dá pra dividir os dois lados por 5 para descobrir o x. O dia foi longo e minha cabeça já não está funcionando mais. Dividir por 6 não daria nenhum resultado, e a gente chegaria em 5/6 de x. Queremos descobrir quanto é x aqui. Então, se dividir os dois lados por 5 obtemos que x é igual a seis reais e cinco avos, ou poderia dizer que x é igual a 6/5, que é a mesma coisa que 1 e 1/5, que é a mesma coisa que um real e vinte centavos. Então, é um real por laranja e um real e vinte por maçã. Descobrimos os preços das maçãs e das laranjas usando as informações que nos deram.