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Sistemas de equações com eliminação: maçãs e laranjas

Criação e solução de um sistema de equações para resolver um problema sobre o preço de maçãs e laranjas. Versão original criada por Sal Khan.

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Transcrição de vídeo

RKA - Você vai até uma barraca para comprar algumas frutas frescas e observa que a pessoa na sua frente compra cinco maçãs e quatro laranjas por dez reais. Você compra cinco maçãs e cinco laranjas por onze reais. Podemos descobrir o preço de uma maçã e uma laranja usando essas informações em um sistema de equações lineares com duas variáveis? Se sim, qual é a solução? Se não, por que não podemos? Estamos tentando descobrir o preço de uma maçã e o preço de uma laranja, então vou usar "m" para a maçã, mas não quero usar "l" para a laranja porque "l" se parece muito com o 1, vou usar "x" pra maçãs, digamos que x é igual ao preço das maçãs, e y é igual ao preço das laranjas. Preço das laranjas. Vamos agora descrever o que aconteceu com a pessoa que estava na frente da gente na fila: ela comprou cinco maçãs, e quanto ela gastou nas maçãs? Ela comprou cinco maçãs vezes x reais por maçã, então ela gastou 5x reais nas suas cinco maçãs, e comprou quatro laranjas. Comprou quatro laranjas. Vezes y reais por laranja, pagando 4y nas laranjas. Portanto, o valor total gasto foi 5x mais 4y, e nos dizem que isso é 10 reais. É igual a 10 reais. Agora chegou sua vez e você compra cinco maçãs. Cinco maçãs, igual a pessoa à sua frente, e pagou x reais por maçã, então pagará cinco maçãs vezes o preço por maçã. Esse é o valor que pagou pelas maçãs. A seguir, compra cinco laranjas e vai pagar cinco laranjas vezes o preço por laranja, que é y. Isso é o que você gastou com as laranjas e isso quanto gastou com as maçãs e laranjas, é a soma. Dizem que isso é 11 reais. Podemos descobrir o x e o y? Parece que sim. Uma boa dica é que a proporção entre os x e y nessas duas equações é diferente. A gente tem algumas informações: se as proporções fossem exatamente iguais, se fosse 5x mais 4y e a gente tivesse um número diferente, estaríamos em dificuldades porque compramos a mesma combinação mas pagamos um preço diferente. O bom é que a gente tem uma combinação diferente. Agora, a coisa mais óbvia que chama a atenção é que tem um 5x aqui e um 5x aqui. Se eu pudesse subtrair esse 5x daquele 5x eu cancelaria todos os termos x. Daí vou multiplicar essa equação de baixo por -1, ela fica -5x menos 5y é igual a -11, e agora basicamente eu vou somar essas duas equações. Posso fazer isso porque estou fazendo a mesma coisa dos dois lados, já sei que esta coisa é igual a esta coisa. Simplesmente estou adicionando essas coisas aos dois lados, então no lado esquerdo tenho 5x menos 5x, eles se cancelam. Depois tenho 4y menos 5y, que é -y e isso será igual a 10 - 11, que é -1. Depois, se multiplicar os dois lados por -1 ou dividir os dois lados por -1 obteremos y é igual a 1. Desse modo, conseguimos descobrir o preço da laranja, que é um real cada. Cada laranja igual a 1. Vamos descobrir agora o preço da maçã. Podemos voltar pra qualquer uma dessas equações. Cinco vezes... vamos pra pessoa na nossa frente na fila. Ela comprou cinco maçãs a x reais cada, mais quatro laranjas a um real cada, e gastou um total de dez reais. Então, obviamente, é 4. Vamos subtrair 4 dos dois lados e obtemos... Bom, 4 vezes 1 - 4, esses se cancelam e no lado esquerdo ficamos apenas com 5x. No direito tem 10 - 4, que é igual a 6. Podemos dividir os dois lados por 6 agora para descobrir o x. Oh, desculpa! Dá pra dividir os dois lados por 5 para descobrir o x. O dia foi longo e minha cabeça já não está funcionando mais. Dividir por 6 não daria nenhum resultado, e a gente chegaria em 5/6 de x. Queremos descobrir quanto é x aqui. Então, se dividir os dois lados por 5 obtemos que x é igual a seis reais e cinco avos, ou poderia dizer que x é igual a 6/5, que é a mesma coisa que 1 e 1/5, que é a mesma coisa que um real e vinte centavos. Então, é um real por laranja e um real e vinte por maçã. Descobrimos os preços das maçãs e das laranjas usando as informações que nos deram.