Prova: ângulos opostos de um paralelogramo

RKA13MB - O que quero fazer neste vídeo é provar que os ângulos opostos de um paralelogramo são congruentes. Por exemplo, queremos provar que CAB é congruente a BDC. Esse ângulo é igual a esse ângulo, ou seja, ABD, que é esse ângulo, é congruente a DCA, que é esse ângulo aqui. E, para fazer isso, temos apenas que perceber que temos aqui algumas retas paralelas, temos algumas retas transversais, e as paralelas e as transversais, na verdade, invertem seus papéis. As que são transversais são também paralelas entre si e vice-versa. Então, vamos prolongar aqui de uma forma que fique um pouco mais parecido com transversais cruzando com retas paralelas. Você poderia até mesmo tentar provar isso sozinho porque é possível provar somente usando os ângulos alternos internos e os ângulos correspondentes às transversais que cruzam com as retas paralelas. Digamos que esse ângulo aqui... (vamos fazer assim, vamos usar uma cor nova porque eu já usei esse amarelo)... vamos começar aqui com o ângulo BDC. No ângulo BDC... (eu só vou marcá-lo aqui)... o ângulo BDC é um ângulo alterno interno em relação a esse ângulo. Na verdade, podemos estender essa reta e marcar esse ponto aqui. Podemos chamar esse ponto de E. Dessa forma, poderíamos dizer que o ângulo CDB é congruente ao ângulo EBD por serem ângulos alternos internos. Esta é uma transversal. Essas duas retas são paralelas; AB ou AE é paralela a CD. Muito bem! Agora, se mudarmos nosso raciocínio um pouco e começarmos a ver BD e AC como sendo retas paralelas, e ver AB como uma transversal, assim, a gente vai ver que o ângulo EBD é congruente ao ângulo BAC, porque são ângulos correspondentes. Então, o ângulo EBD é congruente ao ângulo BAC, ou poderíamos dizer CAB. Eles são ângulos correspondentes. Portanto, se esse ângulo é congruente a esse ângulo e esse ângulo aqui é congruente a esse ângulo, então eles são congruentes entre si. Vamos ver se fizemos tudo direitinho. O ângulo CDB, ou poderíamos dizer BDC, é congruente ao ângulo CAB. Então, provamos essa primeira parte aqui. Para provar que esses dois são congruentes, vamos usar exatamente a mesma lógica. Primeiro, consideramos essa reta como transversal. Vimos AC como transversal de AB e CD. Vamos criar outro ponto aqui. Vamos chamar esse ponto aqui de ponto F. A gente sabe que o ângulo ACD é congruente ao ângulo FAC, porque são ângulos alternos internos. Então, mudamos nosso raciocínio um pouco e olhamos para AC e BD como sendo retas paralelas, e AB como sendo a transversal. Então, o ângulo FAC é congruente ao ângulo ABD, porque eles são ângulos correspondentes. O ângulo FAC é congruente ao ângulo ABD, pois eles são ângulos correspondentes. Na primeira vez que vimos essa reta como sendo a transversal, vimos AC como sendo uma transversal de AB e CD, que são retas paralelas. Depois, vimos AB como transversal e BD e AC, que também são retas paralelas. Obviamente, se esse ângulo é congruente a esse outro, e esse outro é congruente àquele, esses dois devem ser congruentes entre si. Observamos que, se temos um paralelogramo, os ângulos opostos serão congruentes.