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Rotação de formas

A partir de um triângulo no plano cartesiano e a definição de rotação em torno da origem, desenhamos manualmente a imagem dessa rotação.

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  • Avatar blobby green style do usuário zindavas2
    Quando Sal rotacionou o ponto N, ele colocou o cateto perpendicular ao que coincidia com o eixo das abcissas p/ a direita, mas quando rotacionou o ponto P o rotacionou p/ a esquerda. Por quê?
    (3 votos)
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    • Avatar leaf blue style do usuário Luiz Portella
      Oi, todos os três pontos foram girados em 90º no sentido anti-horário!
      Ponto I: colocado o cateto sobre as abscissas ele foi jogado para cima das ordenadas!
      Ponto N: colocado o cateto sobre as ordenadas ele foi jogado para cima das abscissas!
      Ponto P: colocado o cateto sobre as abscissas ele foi jogado para cima das ordenas!
      Como foi um giro, os pontos I e N foram de baixo para cima, saindo do quarto para o primeiro quadrante. Já o ponto P, girando, vai do primeiro para o segundo quadrante, mas ele não vai para a esquerda, ele gira 90 graus, como todos!
      Se o eixo de rotação fosse outro, o resultado seria totalmente diferente, nesse caso, o eixo de rotação foi a origem (0,0)!
      Bons estudos, abraço!
      (3 votos)
  • Avatar aqualine tree style do usuário brandobarros.ronaldo
    eu nao entndi como que faz o ultimo ponto alguem explica ?
    (2 votos)
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  • Avatar female robot amelia style do usuário karineantunesfarias
    Há alguma formula para ser utilizada no caso de não ser um triangulo?
    (2 votos)
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Transcrição de vídeo

RKA - Mais um exemplo sobre rotação. Aqui, o triângulo "PIN" é rotacionado de -270 graus ao redor da origem. Desenhe a imagem desta rotação usando o gráfico interativo, lembrando que no sentido convencional o ângulo positivo tem sentido anti-horário. Para facilitar, eu vou levar esta figura para o meu rascunho e lá vamos trabalhar. Aqui temos e vamos começar a pensar um pouco sobre a rotação em questão. Primeiro, o que realmente significa uma rotação de 270° negativos, de -270°? Vamos lembrar aqui dos eixos. Tendo aqui os eixos, nós precisamos lembrar que, pelo sentido convencional a rotação indicada por um ângulo positivo tem um sentido anti-horário, então é óbvio que a rotação no sentido horário é negativa, indicada por um ângulo negativo. Então, -270° significaria rodar, ou melhor, rotacionar no sentido anti-horário. Aqui teríamos -90, aqui -180 e finalmente -270°. Então, rotacionar - 270° equivale a rotacionar 90° positivos. Estamos falando em torno da origem, marquei aqui. Se em torno da origem eu rotacionar este ponto, 270° no sentido anti-horário, eu vou chegar ao mesmo lugar que se eu rotacionar em torno da origem 90° positivos, então é mais fácil, talvez neste caso, pensar em rotação a 90° positivos. Então, aqui nós vamos rotacionar os pontos do triângulo em 270° negativos em torno da origem. Portanto, é equivalente a rotacionar 90° positivos em torno da origem. Nós vamos fazer a rotação de todos os infinitos pontos do triângulo, mas naturalmente é mais fácil olhar para os vértices e depois completar. Mas a pergunta é: como vamos fazer isso? Para facilitar, vamos olhar um pouquinho para o triângulo retângulo que se forma usando as coordenadas cartesianas de cada ponto. Por exemplo, começando pelo ponto "I", projetando ponto "I" no eixo das abscissas e, depois, na origem, o que nós temos aqui? Nós temos um triângulo retângulo que se forma aqui, você percebe? Note que a hipotenusa é o que liga a origem ao ponto "I" neste caso. O que nós queremos? Nós queremos rotacionar o ponto "I" em relação à origem em 90° positivos. Ora, isso significa rotacionar esse triângulo verde em torno da origem 90°. É bem fácil você ver que, se eu tomar, por exemplo, este lado aqui, este lado do triângulo, ao rotacionar 90°, onde ele vai parar? Ele vai parar exatamente sobre este eixo vertical. Então, fica bem fácil de trabalhar com toda esta situação. Ao rotacionar este lado em 90°, veja, ele tem comprimento de 7 unidades, então nós vamos ter aqui o comprimento de 7 unidades, ele vai vir parar aqui. Ora, este outro lado aqui forma com ele 90°. Então, aqui nós vamos ter também um ângulo de 90° e este lado, que estava 7 unidades para baixo do eixo "x", estará aqui, 7 unidades para a direita do eixo "y", ou seja, a hipotenusa. Portanto, vai estar exatamente aqui e nós vamos ter o novo ponto "I", ou melhor dizendo, a imagem do ponto "I", que eu vou chamar de I'. Rotacionar 90° o ponto "I" em torno da origem nos vai levar ao ponto l', que está marcado aqui. Nós podemos continuar fazendo isto para todos os outros pontos e vamos obter um novo triângulo, ou melhor, a imagem do triângulo "PIN". Vamos trabalhar agora com o ponto "N". O ponto "N", vamos desenhar aqui a hipotenusa, que é ligar a origem ao ponto "N". Aqui está. E o triângulo retângulo correspondente eu posso desenhar de mais de uma maneira. Posso desenhar começando projetando no eixo das abscissas ou no eixo das ordenadas, tanto faz, mas de qualquer forma, o que nós vamos ter pode ser este triângulo retângulo aqui. Estou projetando sobre o eixo das ordenadas. Aqui está o triângulo retângulo utilizando as coordenadas do ponto "N". Nós vamos rotacionar 90° no sentido horário e, ao fazer essa rotação, o lado que está em azul vai do eixo das ordenadas para o eixo das abcissas e ele tem tamanho de 7 unidades. Então, ele vai para cá, 7 unidades vai coincidir aqui. Este outro lado, formando 90°, estava duas unidades da esquerda para direita, então ele vai estar aqui, duas unidades para cima, de modo que a nova hipotenusa estará aqui. E pronto, obtivemos o ponto "N", a imagem do ponto "N". Falta somente o ponto "P", que está aqui. A hipotenusa do triângulo retângulo que se forma está aqui em vermelho. A projeção que eu vou ter para ele nos eixos, formando o triângulo retângulo, eu vou fazer agora, em roxo, projetando sobre o eixo das abscissas e fechando o triângulo retângulo aqui também. Aqui está o triângulo retângulo, este lado rotacionando 90° no sentido anti-horário vai vir do eixo das abscissas para o eixo das ordenadas com duas unidades, portanto, estará aqui. Formando 90° com ele, temos outro cateto, que estará para cá, com uma, duas, três unidades de comprimento. Teremos, então, a hipotenusa desse triângulo retângulo. Vai estar aqui. E temos o novo ponto "P", melhor dizendo, a sua imagem, o ponto P'. Eu posso unir os pontos P', N', I', obtendo então o novo triângulo, que é a imagem do triângulo original "PIN", que ficou aqui escondido em meio a tantos traços. Para voltar para a plataforma, vamos precisar localizar os pontos. Vamos anotar aqui as coordenadas. O ponto P' tem abscissa -3 e ordenada 2. O ponto I' tem abscissa 7, ordenada 7 também. E o ponto N' tem abscissa 7 e ordenada 2. Vamos localizar estes pontos lá na plataforma da Khan Academy novamente. Ponto P', então, é (-3, 2). (-3, 2), aqui é o ponto P'. O ponto I 'é (7, 7), então 7 do "x", 7 do "y'', aqui temos o ponto I'. E, finalmente, N' é o ponto (7, 2) Aqui temos, e fechamos o triângulo obtido pela rotação do triângulo "PIN" de -270° ao redor de origem. Vamos verificar a resposta. Correta, e é isso aí, até o próximo vídeo.