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Relação entre circunferência e área

Neste vídeo, usamos fórmulas e um exemplo específico para demonstrar como a área e a circunferência estão relacionadas..

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Transcrição de vídeo

RKA8JV - Temos aqui uma circunferência e sabemos que, vamos supor que o seu comprimento seja de 6π. Sabemos que o seu comprimento é de 6π unidades. Sabendo que o seu comprimento é esse, qual seria a sua área? Qual seria a sua área? Agora, pause o vídeo e veja se consegue resolver isso sozinho. No fim, nós teremos uma fórmula geral de área partindo de qualquer comprimento. Bom, se você souber do valor do raio, então, você conseguirá fazer esse tipo de coisa. Então, o raio está aqui, e nós podemos extrair seu valor desta informação, basta nós lembrarmos da fórmula do comprimento. Então, o comprimento vai ser 2 vezes "π" vezes "r". Isto aqui estou falando que é igual a 6π. Então, agora, só temos que isolar o "r" aqui e saberemos o valor do raio. Então, para isolar o "r" é fácil, é só dividir por 2π de um lado, 2π do outro. Vamos ver como isso fica. 2π dividido por 2π, e temos o "r" aqui, 6π dividido por 2, temos o 3, então, o nosso raio é igual a 3. E agora fica fácil, porque, sabendo raio, nós conseguimos achar a área facilmente. Veja só. Sabemos que a área é πr², então, agora é só uma questão de substituir. π vezes, sabemos que o raio é 3, isso ao quadrado, então, a nossa área é de 9π. Bom, e se a gente quiser escrever uma fórmula geral, vamos utilizar, então, estas duas fórmulas aqui. Então, o comprimento é 2πr e a área é πr². Então, para chegar a uma fórmula geral é simples, basta você isolar o "r" aqui e substituir esse "r" na outra fórmula, ou vice-versa. Agora, pause o vídeo e tente fazer isso sozinho. A primeira coisa que nós vamos fazer é tentar isolar o "r" aqui. Para isolar o "r", vamos dividir por 2π deste lado, e dividir por 2π do outro. Então, aqui nós cortaremos. O que nós temos aqui no final é "r = C/2π". Isto aqui nós podemos substituir ali. Então, o que nós temos? A = πr². então, (C/2π)². A área nós temos: π vezes C²/4π². Isto aqui nós podemos simplificar. Então nós terminamos com: área sendo igual a C²/4π. E se nós quisermos escrever esta relação de outra forma, basta fazermos isto aqui. Percebemos que a área é igual a C²/4π. Então, aqui nós podemos tentar isolar o comprimento. Para fazer isso, basta nós multiplicamos por 4π aqui. Isso será o suficiente para anular, mas, como multiplicamos aqui por 4π, temos que multiplicar este lado também. Então, ficaria algo assim: C² = 4πA. E o "C" vai ser a raiz quadrada disso, √4πA Bom, nós poderíamos melhorar isso ainda, porque o 4 tem raiz quadrada, poderia sair um 2 daqui. Mas não é necessário, porque isso aqui já explicita a relação.