Sistemas de equações com eliminação (e manipulação)

RKA - Vamos resolver alguns outros sistemas de equações utilizando eliminação, mas nesses não será um tipo de eliminação de etapa única. Vamos ter que arrumar as equações um pouco para colocá-las em ordem para a eliminação. Digamos que temos uma equação: 5x -10y é igual a 15. E temos outra equação: 3x - 2y é igual a 3. Eu disse que queremos resolver isso usando a eliminação. Novamente, poderemos usar substituição, representar em gráficos essas duas retas e descobrir onde elas se interceptam. Porém, aqui vamos usar a eliminação. A primeira coisa que poderia pensar é: "Mas, com a eliminação você estava subtraindo o lado esquerdo de uma equação da outra, ou somando os dois e, então, somando os dois lados direitos". E poderia fazer isso porque isso é, na verdade, a soma da mesma coisa nos dois lados da equação. Mas aqui não está óbvio que isso seria de alguma utilidade. Se somássemos esses dois lados esquerdos ficaria com 8x -12y, isso não iria eliminar nenhuma variável, e no lado direito ficaria com apenas um número. E se subtraísse isso não iria eliminar nenhuma variável. Então, como a eliminação irá nos ajudar aqui? A resposta é: você pode multiplicar ambas essas equações em uma forma que, talvez, possamos fazer com que um desses termos se cancele com o outro. Poderia escolher qual termo deseja cancelar. Digamos que escolhi cancelar os termos de y. Então, eu vou reescrever esse 5x - 10y, 5x - 10y igual a 15. Agora, existe alguma coisa que eu possa multiplicar essa equação verde para que esse termo -2y se torne algo que irá se cancelar com o 10y? Essencialmente, eu quero fazer com que esse -2y vire 10y. Correto? Porque se esse for um 10y irá se cancelar quando eu somar os lados esquerdos dessa equação. Assim, por quanto posso multiplicar essa equação? Se eu multiplicar por -5, -5 vezes -2 será igual a 10. Então, vamos lá! Vamos multiplicar essa equação por -5. Se multiplicar o lado esquerdo por -5 e multiplicar o lado direito por -5, com o que ficamos? Lembre-se, não estamos fundamentalmente alterando a equação. Não estamos alterando a informação na equação. Estamos fazendo a mesma coisa aos dois lados da equação. O lado esquerdo dessa equação se torna -5 vezes 3x é -15x. E -5 vezes -2y é mais 10y é igual a 3 vezes -5, que é -15. Agora, estamos prontos para fazer a eliminação. Se somarmos isso ao lado esquerdo da equação amarela e se somarmos o -15 ao lado direito da equação amarela, estaremos somando a mesma coisa aos dois lados dessa equação. Porque isto é igual àquilo. Então, vamos lá! 5x -15y, a gente tem esse símbolo de "-" aqui, não queremos perdê-lo, e isso é -10x. Os "y" vão se cancelar, -10y + 10y é igual a "0". Esse era o objetivo da multiplicação por esse -5. Isso será igual a, 15 - 15 é igual a "0", -10x é igual a "0", divido os dois lados por -10 e temos que x, x é igual a "0". Agora, podemos substituir de volta em qualquer uma das equações para descobrir qual é o valor de y. Vamos substituir na equação de cima. Assim, temos que 5 vezes "0" -10y é igual a 15, ou -10y é igual a 15. Vou escrever isso, -10y é igual a 15. Divido os dois lados por -10, e o que temos no fim é y é igual a -15 sobre 10, que é -3 sobre 2. Se você fosse representar graficamente o ponto de intersecção, esse seria o ponto (0, -3/2). Você também pode verificar que isso satisfaz a essa equação. A equação original aqui era 3x - 2y igual a 3. 3 vezes "0" é "0", -2 vezes -3 sobre 2, isso é "0". Esse é +3, correto! Esses se cancelam e se tornam positivos, +3 é igual a 3. Isso, de fato, satisfaz às duas equações. Vamos fazer outro, onde temos que multiplicar e arrumar um pouco as equações e, então, poderemos eliminar uma das variáveis. Vamos a outro problema. Digamos que eu tenha 5x + 7y igual a 15 e temos 7, vou fazer em outra cor. 7x -3y igual a 5. De novo, se somasse ou subtraísse os dois lados esquerdos não iria eliminar nenhuma variável. Esses não têm de jeito nenhum o mesmo coeficiente ou oposto desse coeficiente. Então, vamos escolher uma variável para eliminar. Digamos que escolhi eliminar o x dessa vez. Poderia escolher essa variável ou outra não importa, na verdade, poderia querer eliminar o y antes, porém desta vez escolhi eliminar o x. Então, o que eu preciso fazer é arrumar uma ou as duas equações de uma forma em que esses caras têm os mesmos coeficientes ou que seus coeficientes sejam opostos um do outro. Assim, quando somar os lados esquerdos, eles irão se eliminar. Enfim, você entendeu. Porém, não há algo evidente que eu possa multiplicar isso por uma fração para torná-lo igual a -5, ou poderia multiplicar isso por uma fração para torná-lo igual a -7. Porém, é ainda mais interessante tentar fazer com que os dois sejam seus mínimos múltiplos comuns. Eu poderia fazer com que os dois chegassem a 35. Posso fazer isso multiplicando um pelo outro. Posso multiplicar essa equação de cima por 7. Estou escolhendo o 7 para que isso vire 35. E posso multiplicar essa equação de baixo por -5. Por -5, a razão pela qual estou fazendo isso é para que se torne -35. Lembre-se, o meu objetivo é eliminar os termos em x. Então, se eu fizer disso um 35x e fizer disso -35x, então terei o que eu preciso. Eu posso somar o lado esquerdo e o lado direito da equação. Portanto, essa equação de cima, quando a multiplico por 7, ela vira, deixe-me subir a tela um pouco, multiplicamos por 7 e se torna 35x + 49y igual a isso é 70 +35 é igual a 105. Correto? 15 vezes 7 é 70 + 35 é 105. Esse é o resultado para a equação de cima. Essa equação de baixo fica -5 vezes 7x é igual a -35x, -5 vezes -3y é +15y. Na multiplicação, - com - dá +, então, -5, isso é vezes -5, 5 vezes -5 é igual a -25. Agora, podemos começar com essa equação de cima e somar a mesma coisa aos dois lados. E, essa mesma coisa é -25, que também é igual a essa expressão. Vamos, então, somar os lados esquerdos e os lados direitos, na verdade, estamos somando a mesma coisa a ambos os lados da equação. No lado esquerdo os "x" vão se cancelar, 35x - 35x, esse era o objetivo. Eles se cancelam. E com os "y" você tem 49y + 15y, isso é igual a 64y. 64y é igual a 105 - 25, é igual a 80. Divida os dois lados por 64, e você tem que y é igual a 80 sobre 64. Deixe-me ver. Se dividir o numerador e o denominador por 8, na verdade, provavelmente, poderia ser por 16, 16 seria melhor. Mas, vamos fazer por 8 primeiro, porque queremos saber nossos valores para 8. Então, isso fica 10 sobre 8. Então, você pode dividir isso por 2 e obtém 5 sobre 4. Se dividisse direto por 16, teria obtido 5 sobre 4 do mesmo jeito. Então, y é igual a 5 sobre 4. Agora, que já encontramos esse valor, vamos descobrir qual é o valor de x. Podemos substituir em uma dessas equações, ou em uma das equações originais. Vamos substituir na segunda equação original, onde tínhamos 7x -3y igual a 5. Essa era a segunda versão, da segunda equação, que mais tarde se transformou nisso. A gente tem 7x - 3 vezes y que é 5/4. Então, 3 vezes 5/4 é igual a 5, ou 7x - 15 sobre 4 é igual a 5. Vamos somar 15 sobre 4 3 vezes 5/4 é 15 sobre 4, é igual a 5. Vamos somar 15 sobre 4 aos dois lados, e o que teremos? O lado esquerdo fica 7x , esses se cancelam, e isso será igual a 5, que é a mesma coisa que 20 sobre 4. 20 sobre 4 + 15 sobre 4, ou temos aquele, vou descer a tela um pouquinho, 7x é igual a 35 sobre 4. Podemos multiplicar os dois lados 1 sobre 7 ou poderemos dividir os dois lados por 7, é a mesma coisa. Vamos multiplicar os dois lados por 1 sobre 7, a mesma coisa que dividir por 7. Então, se cancelam, e o que sobra é x é igual a aqui, se dividir 35 por 7 você terá 5, dividindo 7 por 7 você tem 1, x é igual a 5/4, também. Então, o ponto de intersecção que teremos é tanto x quanto y são iguais a 5/4. Se olhar na forma de gráfico será (5/4, 5/4). Agora, vamos conferir se isso satisfaz a equação de cima. Se pegar 5 vezes 5 sobre 4 + 7 vezes 5 sobre 4, com o que ficamos? Isso deverá ser igual a 15. Isso é igual a 25 sobre 4 mais, quanto é isso? Isso é 35 sobre 4, será igual a 60 sobre 4, que é de fato igual a 15. Então, isso definitivamente satisfaz àquela equação e poderá conferir essa equação de baixo por conta própria, o que recomendo, porque, usamos apenas essa equação de baixo para descobrir que x é igual a 5/4.