Propriedades da potenciação com quocientes

RKA - Vamos fazer alguns exemplos de potências que envolva divisão. Digamos que eu queira saber o que é 5 elevado à sexta potência, dividido por 5 elevado à potência de 2. Só podemos ir à definição básica de o que um expoente representa e dizer que 5 elevado à potência de 6 vai ser 5 vezes 5, vezes 5, vezes 5, vezes 5, vezes 5, 5 vezes ele mesmo, seis vezes. 5 ao quadrado é apenas 5 vezes ele mesmo, duas vezes, então isso só vai resultar 5 vezes 5. Sabemos como simplificar uma fração ou uma expressão lógica como essa, podemos dividir o numerador e o denominador por 5, então, vamos anular esses e depois, podem fazer isso para os outros 5 ou esses 5 e esses 5 serão anulados, e o que irá nos restar? 5 vezes 5 vezes 5 vezes 5 sobre 1, ou, você poderia dizer que isso é apenas 5 elevado à quarta potência. Agora, olha só o que acontece, essencialmente começamos com 6 no expoente do numerador, 6 "cincos" multiplicados por eles mesmos no numerador, então, subtraímos, podemos riscar os dois 5 no denominador, por isso, realmente é igual a 5 elevado à potência de 6 menos 2. A gente podia subtrair um expoente do denominador do expoente do numerador. Vamos lembrar como isso se relaciona com a multiplicação. se eu tivesse 5 para, deixar fazer isso em outra cor, 5 para 6 vezes 5 elevado à potência de 2, vimos, no último vídeo, que isso é igual a 5 elevado a 6, mais, estou tentando fazer isso com uma cor diferente para você, 6 mais 2. Agora vemos uma nova propriedade, no próximo vídeo vamos ver que essas não são propriedades muito diferentes, são meio que o mesmo lado da mesma moeda, quando aprendemos sobre expoentes negativos, mas, agora, nesse vídeo, vemos apenas que 5 elevado a 6, dividido por 5 elevado ao quadrado, vou fazer isso em uma cor diferente, vai ser igual a 5 elevado a 6 menos 2, ou 5 elevado a 4. Aqui vai ser 5 elevado a 8, por isso que quando você multiplica potências com a mesma base, adiciona os expoentes, quando divide potências com a mesma base, subtrai o expoente do denominador do expoente do numerador. Vamos fazer muito mais desses exemplos por aqui! O que é 6 elevado a 7, dividido por 6 elevado ao cubo? Mais uma vez, podemos usar apenas essa propriedade, isso vai ser 6 elevado a 7 menos 3, que é igual a 6 elevado à quarta potência, e pode multiplicá-lo dessa forma como fizemos no primeiro problema, e verificar que isso, de fato, será 6 elevado a 4. Agora, vamos tentar alguma coisa mais interessante, isso vai ser uma boa pedida para o próximo vídeo. Digamos que temos 3 elevado a 4 dividido por 3 elevado a 10. Se partirmos apenas dos princípios básicos, isso seria 3 vezes 3 vezes 3 vezes 3, tudo isso sobre 3 vezes 3, vamos ter dez desses, 3 vezes 3 vezes 3 vezes 3 vezes... quanto é? 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 10. Bom, se fizermos o mesmo que fizemos no vídeo anterior, esse 3 anula o outro 3, aqueles 3 anulam, aqueles 3 anulam, aqueles 3 anulam, e, ficamos com 1 sobre (1, 2, 3, 4, 5, 6) 3, então, temos 1 sobre 3 elevado a 6. Temos 1 sobre todos esses 3 na parte de baixo, mas, aquela propriedade que eu falei, teria dito para vocês que isso também deve ser igual a 3 elevado 4 menos 10. No que resulta 4 menos 10? Você vai obter um número negativo, isso é 3 elevado a -6 Então, usando a propriedade que acabamos de ver você iria obter 3 elevado a -6, apenas multiplicando, você obtém 1 sobre 3 elevado a 6, o engraçado de tudo isso é que a quantidade é a mesma. Você está aprendendo um pouco sobre o que significa tirar um expoente negativo, 3 elevado é -6 é igual a 1 sobre 3 elevado a 6, vou fazer muitos exemplos mais desses no próximo vídeo, mas, se pegar qualquer coisa elevado a um expoente negativo, "a" elevado à potência "-b" é igual a 1 sobre "a" elevada a "b". Isso é uma coisa que acabamos estabelecer, e no início desse vídeo, vimos que, se tenho "a" elevado a "b" sobre "a" elevado a "c", isso é igual a "a" elevado a "b - c", essa é a outra propriedade que temos utilizado. Usando o que aprendemos agora, e o que aprendemos no vídeo anterior, vamos resolver alguns problemas mais complicados. Digamos que eu tenha "a" elevado a 3, "b" elevado a 4 sobre "a²b" e tudo ali elevado a terceira potência. Podemos utilizar a propriedade que aprendemos para simplificar o que está dentro, isso vai ser igual a "a" elevado a 3 dividido por "a²", isso é "a" elevado a 3 menos 2, então, isso simplificaria para apenas um "a", e poderia imaginar, isso é "a" vezes "a" vezes "a" dividido por "a" vezes "a", você só terá um "a" elevado a 1, então, o "b", "b" elevado a 4 dividido por "b", isso só pode ser "b" elevado a 3, certo? Isso é "b" elevado a 1, 4 menos 1 é 3, então, tudo aquilo entre parênteses elevado a 3, não queremos esquecer essa terceira potência aqui. Vou usar outra cor nele. Aquela terceira potência é aquilo lá, então, esse "a" em laranja é aquele ali, acho que entendemos o que corresponde a quê. Agora, podemos usar a propriedade que quando multiplicamos algo e elevamos isso a terceira potência, isso é igual a "a" elevado a 3 vezes "b" elevado a 3. Então, isso será igual a "a" elevado ao cubo, e esse "a" a terceira potência é igual a esse "a" a terceira aqui, vezes "b" elevado a 3 vezes 3 vezes "b" a nona, e teremos simplificado isso o máximo possível. Vamos fazer mais um, acho esses exemplos boas práticas e uma experiência bem valiosa para o futuro. Digamos que eu tenha 25x, "y" elevado a 6, sobre 20y elevado a 5, "x²". Então, mais uma vez, podemos reorganizar os numeradores e os denominadores, por isso, você poderia reescrever como 25 sobre 20 vezes "x" sobre "x²", certo? Poderíamos ter feito essa parte de baixo, 20x² "y" elevado a 5, não importa a ordem que fazemos isso, vezes "y" elevado a 6 sobre "y" elevado a 5, nem vamos usar nossas propriedades das potências que acabamos de aprender, apenas simplificamos frações, 25 sobre 20, se você divide os dois por 5, isso é igual a 5 sobre 4, "x" dividido por "x²", há duas formas que você poderia pensar nisso, aquilo que você poderia ver como "x" elevado a -1, você tem a primeira potência aqui, 1 menos 2 é -1, então, isso aqui é igual à "x" elevado a -1. Ou isso poderia também ser igual a 1 sobre "x", são equivalentes, então, vamos dizer que isso é igual a 1 sobre "x", assim. Isso seria "x" sobre "x" vezes "x", um daqueles grupos de "x" anularia, e você fica com 1 sobre "x". Finalmente, "y" elevado a 6 sobre "y" no elevado a 5, que é "y" para 6 menos 5, no qual é apenas "y" elevado a primeira potência ou, apenas, "y", então, vezes "y". Se quer escrever isso tudo como combinamos, você tem 5 vezes 1 vezes "y", que seria 5y, tudo aquilo sobre 4 vezes "x", certo? Isso é "y" sobre 1, então, 4 vezes "x" vezes 1, tudo aquilo sobre 4x, e simplificamos isso com sucesso!