Os números irracionais na reta numérica

RKA - Olá, meu amigo ou minha amiga! Tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais uma aula de matemática! Nesta aula, nós vamos conversar sobre a representação dos números irracionais na reta numérica. Mas você se lembra o que são os números irracionais? Os números irracionais são todos aqueles números que não podem ser obtidos através da divisão entre dois números inteiros, ou seja: não podem ser representados na forma "A sobre B". Resumindo: eles não podem ser representados na forma de fração, diferentemente dos números racionais, com os quais podemos fazer isso. O número 4, por exemplo, é um número irracional? Não! Ele é um número racional, pois o 4 pode ser representado com a fração 8/2, 16/4 ou ainda 32/8, dentre outras. O número 3,3333... (e assim sucessivamente) também é um número racional, mesmo tendo uma dízima periódica porque o 3,3333... (e assim sucessivamente) pode ser representado através da fração 10/3. Então, todo número que pode ser representado através de uma fração é um número racional. Porém, os que não podem ser representados dessa forma, são números irracionais. Por exemplo: o número π, que é obtido através da razão entre o perímetro de uma circunferência e o seu diâmetro. Ao calcular o π , chegamos a um valor igual a 3,14159265359... E vai embora com diversas casas decimais! Na verdade, nós temos casas decimais infinitas aqui que não possuem uma forma periódica determinada. É por isso que não podemos representar esse número através de uma fração entre dois números inteiros. Outro exemplo de um número irracional é o tamanho da diagonal de um quadrado. Se a gente colocar um quadrado aqui em que... Claro, um quadrado tem lados iguais. ...e, por exemplo, os lados desse quadrado têm tamanho igual a 1, quando a gente calcular o tamanho da diagonal, vamos chegar a um valor igual à raiz quadrada de 2. E quanto é a raiz quadrada de 2? Bem, é um número igual a 1,414213562... E vai embora também com infinitas casas decimais, mas sem ter uma forma periódica. Reparou que a gente nunca consegue chegar a um valor exato quando estamos falando de números irracionais? Outra coisa interessante sobre a qual podemos falar aqui é, como não podemos representar os números irracionais através de uma fração entre dois números inteiros, qual seria a forma de representar esses números? Bem, podemos representá-los de duas formas: ou através de decimais infinitos sem periodicidade, que inclusive é o que eu já fiz aqui em cima com o π e com a diagonal de um quadrado, mas também podemos representar através de uma raiz. Inclusive, também fizemos essa representação aqui com a diagonal do quadrado. Mas, enfim, vamos ver alguns exemplos dessas duas formas de representações. A gente já viu a raiz quadrada de 2, certo? Então, vamos colocar isso aqui novamente. A raiz quadrada de 2, que é um número irracional. E qual é a representação desse número na forma de decimais infinitos? É desse jeito aqui: 1,414213562... (e assim por diante). Repare que temos números decimais, mas não encontramos uma periodicidade nesses decimais. Um detalhe: a gente poderia colocar aqui mil casas decimais... A gente nunca ia encontrar uma periodicidade. Outro exemplo que temos de um número irracional é a raiz quadrada de 7. Qual é a representação da raiz quadrada de 7 na forma de decimais infinitos? A raiz quadrada de 7 é igual a 2,645751311... E, novamente, temos casas decimais infinitas, em que nunca encontraremos uma periodicidade. Ou seja: nunca chegaremos a um valor exato. Bem, sabendo disso tudo, como podemos representar esses números em uma reta numérica? Ou seja: como podemos representar na nossa reta numérica números que não possuem um valor exato ou de fácil estimativa? Bem, a primeira coisa que a gente precisa fazer aqui é relembrar que a reta numérica é uma forma de representar todos os conjuntos numéricos que temos. Sabendo disso, todos esses números que eu já coloquei aqui para você fazem parte do conjunto dos números racionais. Um detalhe muito legal é que, se a gente fosse colocar aqui na reta todos os números racionais, a gente ia, praticamente, completar a reta. Não daria para fazer isso aqui porque são infinitos números, mas se a gente fizesse isso, a gente ia praticamente ter a reta completa. Mas ia deixar algumas lacunas, algumas brechas. Essas brechas são os números irracionais, ou seja, os números que estão faltando para completar a reta. Por exemplo: a gente viu aqui a raiz quadrada de 2, que é 1,414213562... (e assim por diante). Onde exatamente a raiz de 2 ficaria representada aqui na reta? Bem, eu não poderia dizer exatamente onde esse número está, pois a gente não sabe qual é o último número dessa dízima não periódica. Então, a gente não consegue colocar a marcação desse número com precisão aqui na reta. Por falar nisso, é importante deixar claro que a gente não consegue colocar com precisão sem o uso de outras ferramentas. Por exemplo, com a ajuda de um compasso, a gente consegue transferir a medida da diagonal de um quadrado para uma reta numérica. Aí, nós teríamos condições de saber onde a raiz quadrada de 2 está localizada, mas sem essa ferramenta a gente consegue apenas fazer uma estimativa. Por exemplo: a gente sabe que ele é maior que 1 e menor que 1,5. E, como ele tem aqui na primeira casa decimal o 4, ele está mais próximo de 1,5 do que do 1. Então, ele estaria mais ou menos aqui, nessa marcação aqui. Olha, eu não posso dizer que ele está exatamente aqui, mas ele está bem próximo dessa marcação, mais ou menos por aqui. Outro exemplo que vimos aqui foi a raiz quadrada de 7, que é 2,645751311... (e assim por diante). Olhando o número, novamente, não podemos dizer onde ele está, pois não sabemos qual é o último número da casa decimal. Mas, novamente, podemos fazer uma estimativa. Como é 2,6, ele está depois do 2,5 e antes do 3, mas está mais próximo do 2,5 do que do 3. Então, ele está mais ou menos por aqui, bem próximo do 2,5. Novamente, eu quero falar isso para você: eu não posso dizer com exatidão que ele está aqui, mas ele está mais ou menos por aqui. É bom deixar isso bem claro: a gente só consegue saber com precisão com o uso de ferramentas como, por exemplo, uma régua. Mas, novamente, a gente pode realizar uma estimativa aqui. Sem a ajuda de uma ferramenta específica, é impossível a gente conseguir a localização exata de um número irracional aqui na reta. Isso porque nós temos números decimais infinitos que não são periódicos, ou seja, nunca saberemos qual é o último número decimal. Enfim, mesmo não sabendo a localização exata, ao preenchermos essa reta com os números irracionais, teremos a reta completa, sem ter nenhuma lacuna. Enfim, meu amigo ou minha amiga: eu espero que você tenha compreendido tudo direitinho e, mais uma vez, eu quero deixar aqui pra você um grande abraço. E até o próximo vídeo!