Introdução a agrupamento

RKA - Nesse vídeo, quero focar em mais algumas técnicas para fatorar polinômios e, em particular, quero focar em expressões de segundo grau, que não possuem o 1 como coeficiente líder, ou seja, 1 como coeficiente de x². Por exemplo, se eu quiser fatorar 4x² + 25x - 21. Tudo o que fatoramos até agora, todas as expressões de segundo grau que fatoramos, tinham tanto 1 ou -1 onde esse 4 está. De repente, agora temos esse 4 aqui. Então, o que vou ensinar é uma técnica chamada fatoração por agrupamento. É um pouco mais envolvente do que o que aprendemos antes, mas é um truque. Em algum ponto se tornará obsoleto, uma vez que você aprende a fórmula de Bhaskara, porque sinceramente, a fórmula de Bhaskara, para resolver as equações de segundo grau, é bem mais fácil. Mas é assim que funciona, vou te mostrar a técnica, e aí, no final desse vídeo, vou te mostrar por que isso funciona. O que precisamos fazer aqui é pensar em dois números: "a" e "b", onde: a vezes b é igual a 4 vezes -21. Então, a vezes b = 4 vezes (-21), que é igual a -84. E os mesmos dois números, "a" e "b", a + b precisam ser iguais a 25. Vou deixar bem claro. Esse é o 25, então eles precisam ser iguais a 25. É onde o 4 está, então vamos: 4 vezes (-21) é um -21. Quais dos dois números que estão lá fariam isso? Bom, temos que olhar para os fatores de -84. E, mais uma vez, um desses terá que ser positivo. Os outros terão que ser negativos, porque seu produto é negativo. Então, vamos pensar sobre os diferentes fatores que podem funcionar: 4 e -21 são tentadores, mas quando você soma tudo, tem -17, ou se tivesse -4 e 21 você teria 17 positivo, não funciona. Vamos tentar outras combinações: 1 e 84, muito distantes quando você pega as suas diferenças, porque é essencialmente o que vai fazer, se um é negativo e um é positivo, muito distantes. Vamos ver, você poderia fazer 2 e 42. Mais uma vez, muito distantes: -2 + 42 é 40, +2 mais -42 é -40, muito distantes. Três e, vamos ver, 3 vai para 84. 3 cabe em 8, duas vezes, 2 vezes 3 é 6, 8 menos 6 é 2. Desce o 4, vai dar exatamente 8 vezes. Então, 3 e 28 parece interessante. 3 e 28. A gente tem, um desses tem que ser negativo, se nós temos -3 mais 28 é igual a 25. Agora, achamos nossos dois números, mas não vai ser tão simples como uma operação que fizemos quando isso era ou 1 ou -1. O que vamos fazer agora é separar esse termo aqui. Vamos separar em negativo, vou deixar isso claro. Separar em + 28x - 3x. Vamos só separar esse termo, aquele termo é esse termo aqui. E claro, você tem seu -21 ali, e tem seu 4x² aqui. Agora você pode dizer: como pegou o 28 para vir aqui e o -3 três pra ir pra lá? E isso na verdade é importante. A maneira que pensei nisso é: 3 ou -3 e 21 ou -21, eles têm fatores comuns, em particular, eles têm o fator 3 em comum. E o 28 e o 4 têm fatores comuns, então agrupei o 28 ao lado do 4. E você vai ver o que quero dizer em um segundo, se nós literalmente agruparmos esses, para que o termo se torne (4x² + 28x), e então esse lado, esse lado aqui em rosa, é mais (- 3x - 21). Mais uma vez peguei esses, agrupei o -3, negativo, com 21 ou -21, porque os dois são divisíveis por 3, e agrupei o 28 com o 4, porque os dois são divisíveis por 4. E agora, em cada um dos grupos fatoramos o máximo que pudermos. Os dois termos são divisíveis por 4. Esse termo em laranja aqui é igual a 4x vezes x. 4x² dividido por 4x, é só x. + 28x dividido por 4x é 7. Agora, esse segundo termo, lembre-se: você fatora tudo o que puder fatorar. Aqui, estamos usando o fator comum em evidência. Bom, os dois termos são divisíveis por 3 ou -3, então vamos fatorar -3, e isso se torna (x + 7). Agora, alguma coisa pode surgir na sua cabeça. Temos (x + 7) vezes 4x, mais (x + 7) vezes -3, então podemos fatorar (x + 7). Podemos fatorar (x + 7), isso pode não ser completamente óbvio. Provavelmente, não está acostumado a fatorar um binômio inteiro, mas pode ver que poderia ser como "a". Ou, se tivesse 4xa -3a, você conseguiria fatorar, colocando "a" em evidência. E posso deixar isso como um sinal de menos. Deixa eu deletar esse + aqui. Porque é -3, certo? Mais -3, a mesma coisa que -3. O que podemos fazer ali? Temos um (x + 7) vezes 4x, temos um (x + 7) vezes -3. Vamos fatorar, colocando o (x + 7) em evidência. Temos (x + 7) vezes (4x - 3). Menos esse 3 aqui. E fatoramos nosso binômio. Desculpe, fatoramos nossa equação de segundo grau por agrupamento, e fatoramos isso em dois binômios. Vamos fazer outro exemplo disso, porque está um pouco envolvido. Mas, uma vez que você pega o jeito, é legal. Então, vamos dizer que queremos fatorar 6x² + 7x + 1. Mesmo exercício, queremos encontrar "a" vezes "b", que é igual a 1 vez 6, que é igual a 6. E queremos descobrir que um "a" mais "b" precisa ser igual a 7. Isso é um pouco mais simples. O que são, bom, o óbvio é 1 e 6, certo? 1 vez 6 é 6, 1 mais 6 é 7. Os números aqui são: 1 e 6. Agora, queremos separar isso em 1x e 6x. Mas, queremos agrupar isso de forma que fique ao lado de alguma coisa, que divide com um fator. Então, vamos ter um 6x² aqui, mais, e então vou colocar 6x primeiro, porque 6 e 6 dividem um fator, e então vamos ter mais 1x, certo? 6x + 1x é igual a 7x. Esse era o problema, eles tiveram que somar até 7, então, temos o final mais 1 ali. Agora, em cada um dos grupos, podemos fatorar como a gente quiser. Então, nesse primeiro grupo, vamos fatorar o 6x. Esse primeiro grupo se torna 6x vezes, 6x² dividido por 6x é só 1x, 6x dividido por 6x é só 1. Então, o segundo grupo, vamos ter o 1 extra aqui, mas nesse segundo grupo, literalmente temos 1x + 1, ou poderíamos até escrever 1(x + 1). Imagina, eu acabei de fatorar 1. Agora, tenho 6x vezes (x + 1), mais 1 vez (x + 1). Bom, posso fatorar o (x + 1). Se eu fatorar o (x +1), é igual a (x + 1) vezes 6x mais esse 1. E só estou fazendo a propriedade distributiva ao contrário, espero que não ache tão ruim. E agora, na verdade, eu vou explicar por que esse pequeno sistema mágico funciona, por que realmente funciona? Deixa eu fazer um exemplo. Vamos dizer que eu tenha, vou fazer isso em termos gerais. Então, deixa usar letras completamente diferentes, vamos dizer que eu tenha fx mais g vezes hx mais, vou usar "j" ao invés de "i". Você vai aprender, no futuro, por que eu não gosto de usar "i" como uma variável. Já já. Então, isso vai ser igual a que? Bom, vai ser igual a fx vezes hx, que é fhx². E então, fx vezes j, então mais fjx, e então, nós vamos ter g vezes hx. Então, mais ghx, e então g vezes j. Mais gj. Ou, se somarmos esses dois termos do meio, você tem (fh) vezes x², mais, soma esses dois termos, (fj + gh) x, mais gj. O que eu fiz aqui? Lembre-se: em todos esses problemas, onde você tem um coeficiente que não seja 1 ou -1 aqui, olhamos esses dois números que somam a isso, cujo produto é igual ao produto disso, vezes aquilo. Bom, aqui temos dois números que somam. Digamos que "a" é igual a fj, é "a". E "b" é igual a gh. Então, a + b será igual ao coeficiente do meio, a + b será igual àquele coeficiente ali. Então, o que é "a" vezes "b"? "a" vezes "b" será igual a fj vezes gh, vezes gh. Poderíamos só reordenar esses termos, estamos só multiplicando um monte de termos, então isso poderia ser reescrito como f vezes h, vezes g, vezes j. Esses todos são a mesma coisa. O que é fh vezes gj? Isso é igual a, fh vezes gj, isso é igual ao primeiro coeficiente vezes o termo constante, então a + b será igual ao coeficiente do meio, "a" vezes "b" será igual ao primeiro coeficiente vezes o termo independente. Então, é por isso que fatorar por agrupamento funciona. Ou, até como conseguimos descobrir o que "a" e "b" são. Agora, vou dar um foco a uma coisa um pouco diferente, mas tenha certeza de que aprendeu bem a como fatorar coisas. O que eu quero fazer é ensinar a fatorar coisas, de forma um pouco mais completa, e isso é meio "extra". Eu ia fazer um vídeo todo sobre isso, mas acho que em algum outro nível poderia ser um pouco óbvio pra você. Então, vamos dizer que tenhamos, deixa eu pegar um bom aqui, digamos que tínhamos -x³ + 17x² - 70x. Imediatamente você diz: nossa, isso nem é uma expressão de segundo grau, eu não sei como resolver uma coisa dessas, tem um x a terceira potência! E, a primeira coisa que deveria perceber, é que cada termo aqui é divisível por x, então vamos fatorar colocando um x em evidência, ou melhor, vamos fatorar colocando o -x em evidência. Se você fatorar -x, isso é igual a -x vezes, -x³ dividido por -x é igual à x². 17x² dividido por -x é -17x. Menos 70x dividido por -x negativo é +70, o x é cancelado. E agora, você tem alguma coisa que pode parecer um pouco mais familiar. Temos um padrão de equação de segundo grau, onde o coeficiente líder, o coeficiente do x² é igual a 1. Só temos que encontrar dois números cujo produto é 70, e isso soma ao -17. E os números que imediatamente vêm à minha cabeça são: -10 e -7. Você pega seus produtos e obtém 70, você soma tudo e obtém -17. Esta parte aqui será (x - 10) vezes (x - 7). E claro, você tem aquele -x liderando. A ideia geral aqui é ver se tem alguma coisa que pode ser fatorada. E isso vai ser de uma forma que você deve reconhecer. Espero que tenha achado isso útil. Quero reiterar o que mostrei no início desse vídeo, e acho que é um truque bem legal, para conseguir fatorar coisas que tenham um coeficiente líder que não seja 1 ou -1. Mas, em algum ponto vai achar maneiras mais fáceis de fazer isso, especialmente com a fórmula de Bhaskara, e não vai demorar muito.