Introdução à fatoração de quadrados perfeitos

RKA - Neste vídeo, vamos aprender a reconhecer e fatorar polinômios quadrados perfeitos. Por exemplo, digamos que eu tenho um polinômio x² mais 6x mais 9. Então, alguém pergunta: "Como você pode fatorar isso em dois binômios?" Bem, utilizando técnicas que aprendemos em outros vídeos, eu diria: "Ok. Quais são os dois números que eu posso somar que dá 6? E se eu pegar esse mesmo número e multiplicar por ele mesmo, cujo produto será 9?" Então, eu sugiro que você pause este vídeo. 9 possui três fatores: nós temos 1, 3 e 9, mas 9 não é igual a 6, 9 mais 9 não é igual a 6 e 9 menos 9 não é igual a 6; mas 3 vezes 3 é igual a 9, e 3 mais 3 é igual a 6, 3 vezes 3, 3 mais 3. Então, podemos avaliar isso como "x" mais 3 vezes "x" mais 3, que é a mesma coisa que dizer (x + 3)². Então, o que nesta expressão nos fez reconhecer, ou talvez agora vamos começar a reconhecê-lo, como um quadrado perfeito? Bem, é evidente que alguma variável está sendo elevada ao quadrado. Temos um quadrado perfeito como constante e que, o que quer que seja quadrado, tenho duas vezes isso como coeficiente neste primeiro grau aqui. Veja se isso é geralmente verdadeiro: eu alternarei as variáveis apenas para mostrar como é possível um rearranjo. Digamos que eu tenho a² + 14a + 49. Algumas coisas interessantes estão acontecendo aqui. Tudo certo, tenho minha variável ao quadrado; eu tenho um termo constante, que é um quadrado perfeito, que é igual a 7²; e o meu coeficiente aqui é duas vezes o valor que está sendo elevado ao quadrado; é duas vezes 7. Ou você pode dizer que são 7 mais 7. Você pode dizer:"E se eu quiser fatorar isso?" Isso vai ser (a + 7)². E você pode verificar isso multiplicando, e assim descobrir o que é 7². Algumas vezes, quando está aprendendo isso, você diz: não é só a² mais 7². E você pode calcular isso usando essa técnica. Não gosto muito disso porque você não está pensando, matematicamente, sobre o que está acontecendo, você só precisa fazer a propriedade distributiva duas vezes. Dessa forma, vai ser "a", mais 7 vezes "a" e "a", mais 7 vezes 7. Então, isso vai ser a² mais 7a. E agora, fazemos a propriedade distributiva aqui, e então, nós temos 7a mais 7 vezes 7, que é 49. Agora, você pode ver de onde veio este 14: é do 7a mais 7a, e dá pra ver também de onde veio o quadrado. E você vê de onde veio este 49. E você pode falar disso em termos mais gerais. Se eu quisesse tomar a expressão "a" mais "b" elevada ao quadrado, é a mesma coisa que dizer "a" mais "b", vezes "a" mais "b". E faremos exatamente o que fizemos aqui, mas estou fazendo apenas em termos muito gerais com "a" ou "b". Você pode pensar em "a" como um número constante, ou mesmo uma variável. Isso vai ser o mesmo que "a", vezes "a" mais "b", mais "b", vezes "a" mais "b", então isso vai ser um quadrado. E agora eu apenas estou fazendo a propriedade distributiva novamente; a² mais ab mais ab mais b², e isto é a² mais 2ab mais b². Então, esta será a fórmula geral. Se "a" é a variável, neste caso "x" é a variável. Qualquer que seja o valor elevado ao quadrado, o termo constante será duas vezes este valor vezes a variável. Quero mostrar que há alguma variação que pode confundir um pouco. Então, se você visse 25 mais 10x mais x², e alguém dissesse: "Por que você não fatora isso?" Podemos dizer: "Este é um quadrado perfeito, tem uma variável elevada ao quadrado aqui, e em seguida este coeficiente em primeiro grau, que é duas vezes 5." Então, isso seria 5 mais x². Claro que você poderia apenas reescrever este polinômio como x² mais 10x mais 25; variável ao quadrado um número elevado ao quadrado, duas vezes este número, é o coeficiente aqui, e então isto vai ser "x" mais 5². E isso é bom, porque estas duas coisas são absolutamente equivalentes.