Introdução ao teorema de Pitágoras

RKA - Nesse vídeo vou apresentar o Teorema de Pitágoras, que é bem divertido. Teorema de Pitágoras. Mas à medida em que aprenderem mais matemática vocês vão ver que ele é um daqueles teoremas básicos, útil em geometria e parte da espinha dorsal da trigonometria. Também dá pra usar o teorema para calcular distâncias entre pontos, por isso é legal ter certeza de que a gente sabe trabalhar bem com ele. Bom chega já falei demais. Eu vou explicar o que é o Teorema de Pitágoras. Se a gente tiver um triângulo que precisa ser um triângulo retângulo, porque assim um dos três ângulos tem 90 graus, e tem 90 graus quando essa pequena caixinha está desenhada. Este é um ângulo de 90 graus. Ou podemos chamar de um ângulo reto. E um triângulo que tem um ângulo reto é chamado de triângulo retângulo. Triângulo retângulo. Então é chamado de triângulo retângulo. Agora, com base no teorema de Pitágoras, se conhecermos os dois lados de um triângulo retângulo, sempre poderemos descobrir o terceiro lado. Mas antes de mostrar eu vou falar mais um pouco sobre a terminologia. O lado mais comprido de um triângulo retângulo é o lado oposto ao ângulo de 90 graus ou oposto ao ângulo reto. Nesse caso é esse lado aqui. Este é o lado mais comprido. E o jeito de descobrir onde esse ângulo reto está é ver onde ele se abre para o lado mais comprido. Esse lado mais comprido é chamado de hipotenusa. E é bom saber, por que vamos falar bastante sobre isso. Para que a gente fique bem craque em identificar a hipotenusa, vamos desenhar mais alguns triângulos retângulos. Digamos que tem um triângulo que se pareça com este aqui. Vou desenhar um pouquinho melhor. Digamos que tem um triângulo que se pareça com isto. Digo que esse ângulo tem 90 graus, e nesse caso esta é a hipotenusa, porque está do lado oposto ao ângulo de 90 graus. Esse é o lado mais longo. Vou desenhar mais um para você ficar bom em reconhecer a hipotenusa. Este é meu triângulo e este é meu ângulo de 90 graus. Acho que já sabem como fazer, vão direto para o lado para o qual ele se abre, esta é a hipotenusa, é o lado mais longo. Agora, depois de ter identificado a hipotenusa, digamos que ela tenha o comprimento c. Agora vamos aprender o que o Teorema de Pitágoras tem a nos dizer. Digamos que c é igual ao comprimento da hipotenusa e vamos chamar de c, este lado é c. Vamos chamar este outro lado de a e este outro lado de b. O Teorema de Pitágoras nos diz que a ao quadrado, então o comprimento de um dos lados menores ao quadrado, mais o comprimento do outro lado menor ao quadrado será igual ao comprimento da hipotenusa ao quadrado. Vamos fazer como exercício, e vocês verão que não é tão complicado. Digamos que eu tenho um triângulo assim, deixa deu desenhar... Este é meu triângulo. E ele tem mais ou menos esse formato. Digamos que temos que este é o ângulo reto, que este comprimento, vou usar cores diferentes, esse comprimento é três. E esse comprimento é quatro. Querem que a gente descubra este comprimento aqui. A primeira coisa a fazer, antes mesmo de aplicar o Teorema de Pitágoras, é ter certeza de que vocês sabem qual é a hipotenusa. E devem ter certeza exatamente do que estão procurando. Nesse caso estão tentando descobrir a hipotenusa. Sabemos disso porque esse lado é oposto ao ângulo reto. Se olhar para o Teorema de Pitágoras, este lado é c, que é o lado mais longo. Agora estamos prontos para aplicar o Teorema de Pitágoras. Ele nos diz que 4 ao quadrado, um dos lados menores, mais 3 ao quadrado, o outro dos lados menores, vai ser igual a este lado mais longo ao quadrado, à hipotenusa ao quadrado. Será igual a c ao quadrado. E pronto, descobrimos o c. Quatro ao quadrado é a mesma coisa que quatro vezes quatro, que é dezesseis, e três ao quadrado é a mesma coisa que três vezes três, que é nove, e isso vai ser igual a c ao quadrado. Quanto é 16 + 9? Vinte e cinco. 25 é igual a c ao quadrado, e dá para calcular a raiz quadrada positiva dos dois lados, acho que se olhar para isso do ponto de vista matemático, poderia ser menos cinco também, mas como estamos lidando com distâncias, só interessam as raízes positivas. Calculamos então a raiz principal dos dois lados e obtemos que 5 é igual a c, ou o comprimento do lado mais longo é igual a 5. Agora dá pra usar o Teorema de Pitágoras se tiver dois dos lados para descobrir o terceiro lado independentemente de qual lado seja. Vamos a outro. Digamos que... nosso triângulo seja assim. Este é o nosso ângulo reto, e digamos que esse lado mede doze e este mede seis. A gente quer descobrir este comprimento aqui. Como eu disse, a primeira coisa a fazer é identificar a hipotenusa. Ela será o lado oposto ao ângulo reto. Nosso ângulo reto está aqui e vamos para o lado oposto ao ângulo, o lado mais longo, a hipotenusa está aqui. Se pensar sobre o Teorema de Pitágoras que a ao quadrado mais b ao quadrado é igual a c ao quadrado, doze pode ser visto como c. Esta é a hipotenusa. O c ao quadrado é a hipotenusa ao quadrado, daí a gente pode dizer que 12 é igual a c, depois podemos dizer que não importa se chamamos um deles de a ou de b, então chamamos esse lado de a, dizemos que a é igual a 6, daí a gente diz que b, esse b colorido, é igual ao ponto de interrogação. Podemos aplicar o Teorema de Pitágoras a ao quadrado, que é 6 ao quadrado, mais o b desconhecido ao quadrado é igual à hipotenusa ao quadrado, que é igual a c ao quadrado, é igual a 12 ao quadrado. Daí podemos descobrir o b. E observem a diferença aqui, nós não estamos tentando descobrir a hipotenusa, estamos tentando descobrir o comprimento de um dos lados mais curtos. No último exemplo descobrimos a hipotenusa, descobrimos o c, e por isso é sempre importante reconhecer que em "a ao quadrado mais b ao quadrado é igual a c ao quadrado" c é o comprimento da hipotenusa. Vamos resolver o b. Aqui tem 6 ao quadrado é 36, mais b ao quadrado, é igual a 12 ao quadrado, 12 vezes 12, que dá 144. Vamos subtrair 36 dos dois lados da equação. Esses se cancelam. Do lado esquerdo ficamos apenas com: b ao quadrado é igual a... quanto é, 144 menos 36. 144 menos 30... são 114, subtrairmos agora 6, 108. Então aqui será 108. Isso é b ao quadrado. E vamos agora calcular a raiz principal ou a raiz positiva dos dois lados. Temos que b é igual à raiz quadrada, a raiz principal de 108. Vamos ver se conseguimos simplificar um pouco. A raiz quadrada de 108... E o que eu poderia fazer é usar a fatoração de primos de 108 e ver como podemos simplificar esse radical. 108 é a mesma coisa que 2 vezes 54, que é a mesma coisa que 2 vezes 27, que é a mesma coisa que 3 vezes 9. Então temos que a raiz quadrada de 108 é a mesma coisa que a raiz quadrada de 2 vezes 2... Na verdade ainda não terminei, nove pode ser fatorado em três vezes três. Então é 2 vezes 2 vezes 3 vezes 3 vezes 3. Então temos alguns quadrados perfeitos aqui. Vou reescrever um pouco melhor. Esse é um exercício para simplificar radicais que vocês devem encontrar várias vezes ao trabalhar com o Teorema de Pitágoras, então é bom fazer isso aqui. Isso é a mesma coisa que a raiz quadrada de 2 vezes 2, vezes 3 vezes 3 vezes a raiz quadrada do último 3. E isso é a mesma coisa, vocês não precisariam fazer tudo no papel, poderia calcular de cabeça. E quanto é isso? 2 vezes 2 é 4, 4 vezes 9 é 36, então é a raiz quadrada de 36 vezes a raiz quadrada de 3. A raiz principal de 36 é 6. Simplificamos para 6 vezes a raiz quadrada de 3. então o comprimento de b poderia ser escrito como a raiz quadrada de 108 ou dá pra falar que é igual a seis vezes a raiz quadrada de 3. Isto é 12, este é 6 e a raiz quadrada de três será um vírgula alguma coisa, alguma coisa. Esse comprimento será um pouco maior do que 6.