Exemplo construindo e interpretando um intervalo de confiança para p

RKA2G - Adélia tem mais de 500 músicas no seu telefone celular e quer estimar qual porcentagem das músicas são de artistas mulheres. Ela toma uma amostra aleatória simples de 50 músicas de seu telefone e verifica que 20 delas são de artistas mulheres. Com base na amostra, qual dos seguintes é o intervalo de confiança de 99% para a porcentagem de músicas de artistas mulheres no telefone de Adélia? Sugiro que você pause o vídeo e tente achar a resposta sozinho primeiro. Vamos lá, Adélia tem aqui uma população de suas músicas e quer descobrir que porcentagem delas são músicas de artistas femininas. Ela poderia analisar todas as suas músicas e ver o valor "p" da porcentagem de músicas de artistas mulheres. Entretanto, ela tomou uma amostra dessa população, essa amostra com tamanho n = 50, ou seja, uma amostra de 50 músicas. A partir daí, ela calculou a porcentagem de artistas mulheres na amostra, um parâmetro amostral ou uma proporção amostral, que nós vamos indicar por p^, e que é igual a 20 de 50, 20 dividido por 50. Isso dá resultado 0,4, ou seja, 40% das músicas da amostra são de artistas mulheres. Queremos agora construir o intervalo de confiança de 99% e para isso precisamos primeiro verificar se estamos agindo corretamente, usando uma técnica adequada. Antes de calcular o intervalo de confiança, vamos ter certeza de que a nossa distribuição amostral não está sendo distorcida, ou não está distorcendo os dados de alguma forma. A primeira coisa que precisamos garantir é que a amostra seja realmente aleatória. Na descrição da situação, verificamos que Adélia fez uma amostra aleatória das músicas. Então, vamos considerar que este primeiro quesito está atendido. O segundo quesito é assumir, ou poder assumir que a distribuição amostral do nosso parâmetro é aproximadamente normal. E para isso nós precisamos garantir que, na nossa amostra, nós tenhamos pelo menos 10 sucessos e 10 insucessos para aquilo que estamos pesquisando. E aqui, de fato, das 50 músicas, 20 são consideradas sucesso, ou seja, são de artistas femininas, e 30 são não-sucesso, ou seja, são de artistas não femininas. De maneira que atendemos a este quesito também. A próxima condição é de que a nossa amostra seja independente. É a regra da independência, ou a regra dos 10%. Isso significa que, para cada a música que nós tomamos para compor a amostra, se nós a tomarmos, anotarmos se é música de artista feminina e depois devolvemos para a população, para em seguida tomar outra música para compor a amostra, isso faria com que essas observações fossem, com absoluta certeza, independentes. Entretanto, pelas condições do problema, nós sabemos que ela não fez assim. Ou seja, ela tomava uma música e não devolvia para o conjunto de população para depois tomar outra para compor a amostra. Porém, nós podemos assumir a independência dessas observações da maneira como Adélia fez se o tamanho da amostra é de no máximo 10% do tamanho da população. E é o que acontece. A amostra de Adélia é de 50 músicas, que é exatamente 10% das 500 da população, de maneira que nós podemos considerar que o critério da independência está satisfeito. Satisfeitas essas três condições, podemos olhar para o intervalo de confiança, que é composto pelo valor do parâmetro amostral, mais ou menos um valor crítico (esse valor crítico depende do nível de confiança que nós queremos ter, que aqui é de 99%), multiplicado pelo desvio-padrão da distribuição amostral do parâmetro estudado. Mas, como nós não temos o desvio-padrão amostral, nós podemos usar o erro-padrão. Ele é calculado pela raiz quadrada de p^ vezes (1 - p^), tudo isso sobre "n", que é o tamanho da amostra (50, neste caso). Temos aqui, então, que o p^ é 0,4, ou seriam os 40%, mais ou menos o z*, que é o valor crítico, multiplicado pela raiz quadrada do p^, que é 0,4, vezes (1 - p^), que vai dar 0,6, tudo isso sobre 50. Com isso, as alternativas C e D podem nos dar o resultado correto. Na alternativa C, estamos dizendo que, no nosso intervalo de confiança, vamos 1,96 erros-padrões para mais ou para menos do nosso parâmetro amostral. E, na alternativa D, estamos dizendo que nós iriamos 2,576 erros-padrão para mais ou para menos do parâmetro amostral. Para decidir essa informação, temos de olhar para o intervalo de confiança de 99%. Vamos interpretar isso na distribuição normal. Aqui na curva normal, vou marcar a área que nos dá o intervalo de confiança de 99%. Seria esta área aqui. Se esta área toda é 99%, então, as caudas aqui são de 0,5% para cada lado. Nós vamos, então, na tabela Z, procurar o valor de "z" correspondente ao 99,5%. Isso porque, na maioria das tabelas Z, é dada a área embaixo do gráfico até inclusive o limite superior que nós estamos considerando. Ou seja, a área toda abaixo da curva à esquerda do valor considerado. Aqui está a tabela Z. O 0,995 (99,5%) estaria nesta região aqui. E, tomando o valor de "z", nós teremos aqui 2,57 ou 2,58. Então, o z* é um valor entre 2,57 e 2,58. Desta maneira, já podemos decidir que a melhor alternativa é a letra D, que tem o valor de 2,576, que está entre 2,57 e 2,58. Retomando, nós fomos capazes de construir o nosso intervalo de confiança aqui. Mas o que ele realmente significa? Significa que, se tomarmos repetidamente amostras de tamanho 50, nós podemos usar repetidamente essa técnica para construir intervalos de confiança. Então, 99% desses intervalos construídos vão conter o valor real do parâmetro para a população. Até o próximo vídeo!