Combinações de aperto de mão

RKA8JV Então, digamos que nós tenhamos aqui 4 pessoas em uma sala. Provavelmente você esteja cansado de eu denominar essas pessoas com letras, mas eu vou continuar fazendo isso, então, vamos lá. Digamos que nós temos as pessoas "A", "B", "C" e "D" em uma sala, e aí disseram para elas assim: vocês não se conhecem, mas nós queremos que vocês se conheçam. Então, vocês têm que se cumprimentar, vocês precisam apertar as mãos uns dos outros exatamente uma vez, dessa forma, todos vocês irão se conhecer. A minha pergunta aqui para você é a seguinte: se estas pessoas aqui, cada uma destas pessoas, apertar as mãos das outras exatamente uma única vez, quantos apertos de mão ocorrerão? Como sempre, pause o vídeo e tente você primeiro resolver, que agora eu vou vir com uma resposta, beleza? Então, já assumindo que você tentou fazer, vamos à resposta. Pois bem, uma das maneiras de pensar sobre isso aqui é o seguinte: para apertar a mão das pessoas, umas das outras, eu tenho 2 pessoas que apertam as mãos, eu tenho a pessoa 1 e a pessoa 2 aqui. Já que, neste exemplo, eu quero que 2 pessoas apertem a mão, no modo tradicional, não estou inventando nenhum novo modo de 3 pessoas ou 4 pessoas apertarem as mãos ao mesmo tempo, é o modo tradicional, 2 pessoas apertando as mãos. Aí, aqui é o seguinte: eu tenho 4 possibilidades para esta primeira casinha aqui, são 4 pessoas diferentes, então, eu tenho 4 possibilidades, e aí, se você pensar bem, eu não quero que uma pessoa aperte a sua própria mão, certo? Eu não vou apertar a minha própria mão, eu teria que apertar a mão de outra pessoa. E aí é o seguinte, como eu coloquei uma pessoa aqui já, eu vou ter, para cada uma dessas 4 possibilidades, 3 possibilidades para esta segunda casinha aqui. Como são 2 pessoas apertando as mãos, eu vou ter aqui, então, 4 vezes 3 possibilidades diferentes neste caso. Isto vai dar igual a quanto, então? Vai dar igual a 12. O que eu quero que você pense agora, é se esse 12 aqui vai ser realmente o número de aperto de mãos que vão ocorrer da maneira que eu falei, ou seja, cada um apertando a mão do outro uma única vez. Então, assumindo que você também parou pensar um pouquinho sobre isso, é o seguinte, este 4 vezes 3 aqui vai contar o número total de permutações destas 4 pessoas dentro destas 2 casinhas aqui. E eu não estou me importando aqui quem é o apertador de mão número 1 e quem é o apertador de mão número 2. Portanto, neste caso, se eu tiver um aperto de mão, digamos, entre as pessoas "A" e "B", o "A" apertando a mão de "B'' e o "B" apertando a mão de "A", eu vou contabilizar estes dois casos como casos diferentes, então, nestes 12, eu estou contabilizando "A" apertando a mão de "B" e o "B" apertando a mão de "A", que na verdade é a mesma coisa. Portanto, nestes casos aqui, se o apertador de mão número 1 for o "A" e o apertador de mão número 2 for o "B", eu estou considerando como sendo diferente do primeiro apertador ser o "B" e o segundo ser "A". Se o "A" apertou a mão de "B", consequentemente o "B" apertou a mão de "A", e como eu quero que eles apertem a mão uma única vez, isto aqui não pode ser contabilizado, diferentemente como foi aqui. Eu não me importo se este "A" está olhando para o Sul e o "B" está olhando para o Norte e vice-versa, e depois o "B" olhando para o Sul e o "A" olhando para o Norte, tanto faz. O "A" apertando a mão de "B" é a mesma coisa que o "B" apertando a mão de "A". Estes 2 apertos de mão aqui, no final das contas, são a mesma coisa, beleza? E neste caso, como você está percebendo aqui, nós estamos contando duas vezes o mesmo aperto de mão. O que nós realmente queremos fazer neste problema aqui é pensar não em permutação, mas sim em combinação, o que a gente está preocupado é, no mundo de 4 pessoas aqui, eu tenho um grupo aqui de 4 pessoas, o que eu quero saber é um número de maneiras que eu posso escolher 2 pessoas neste grupo. Então, eu quero o número de maneiras para escolher 2 pessoas. É exatamente o que eu quero saber. Quantas maneiras diferentes eu posso ter para escolher 2 pessoas neste grupo de 4 aqui. Fazendo desta forma, cada grupo de 2 pessoas que eu vou formar vai ser diferente, todos vão ser diferentes, eu não vou ter este caso "AB" e "BA" por exemplo, eu só vou contabilizar um destes casos. Portanto, o que eu quero fazer aqui é o número de combinações de 4 elementos, tomados 2 a 2, ou seja, o número de combinações diferentes que eu posso ter duas pessoas aqui neste grupo de 4 pessoas. Eu posso escrever isto aqui também na forma de coeficiente binomial, desta maneira aqui, 4, eu escolho 2, assim. Isto é igual a quanto? Bom, isto aqui vai ser a mesma coisa que esta permutação, as maneiras que eu posso colocar duas pessoas nestes 2 lugares aqui, ou seja, 4 vezes 3. Deixe-me só fazer ali da mesma cor para você ter a noção exata de onde está vindo aqueles números, então, eu fiz de verde aqui. Então eu vou ter 4 vezes 3, e eu vou dividir isto aqui pelo número de maneiras que eu posso arrumar, arranjar estas 2 pessoas aqui, então, eu vou ter 2 maneiras diferentes de arranjar 2 pessoas. Eu posso ter a "AB", e eu posso ter "BA", o "A" à esquerda e o "B" à direita, depois o "B" na esquerda e o "A" na direita, é a mesma coisa. Eu posso ver isto daqui como "2!", ou simplesmente 2, certo? Portanto, o que é este 2 aqui? É 2 fatorial, que é, na verdade, o número de maneiras de arranjar 2 pessoas. Esta parte aqui de cima, é o quê? Como nós acabamos de ver, isto daqui é o número de permutações, que nós calculamos aqui, né. Portanto, uma maneira de pensar sobre isso, é que se esta divisão por 2 aqui está corrigindo este problema, de eu contar duas vezes o mesmo aperto de mão. Mas, e se você quiser aplicar a fórmula? Porque aqui eu simplesmente pensei sobre o problema, ou seja, eu pensei que eu tenho 12 maneiras diferentes, 4 vezes 3 maneiras né, 12, de arrumar 2 pessoas em 2 lugares, mas aí eu estou contabilizando 2 vezes, então, tem que dividir por 2, já que aqui, eu fiz 12/2, que deu igual a 6, que vai ser o número de combinações. Mas para aplicar a fórmula aqui, no caso, eu faria o quê? O número de combinações de 4 elementos tomados 2 a 2. É isso que eu quero fazer aqui, o número de maneiras de escolher 2 pessoas em um grupo com 4. Isto vai ser igual a quanto? Na fórmula, isso vai ser a mesma coisa que "4!" dividido por "2!(4 - 2)!". Deixe-me só colocar este 2 aqui em uma cor diferente, só para a gente ter uma noção exata do que nós estamos fazendo aqui, assim. Isto aqui, então, vai ser igual a quanto? Ora, isto vai ser a mesma coisa que "4!", que é 4 vezes 3, vezes 2, vezes 1, dividido por "2!", que é a mesma coisa que 2 vezes 1, multiplicado ainda por (4 - 2), que dá "2!" ali né. Então, isto aqui, vai ser a mesma coisa que 2 vezes 1. E aí eu posso simplificar, "2 vezes 1" com "2 vezes 1", eu tenho que 4/2 aqui vai dar 2, este 1 aqui na divisão não vai alterar nada, então, eu termino com 2 vezes 3, que vai dar igual então, a 6. E agora, só para gente entender ainda melhor isto aqui, vamos desenhar todas as situações possíveis. Primeiro eu vou desenhar todas as permutações, depois, a gente vai eliminando ali para saber as combinações. Então vamos lá, o "A" pode apertar a mão do "B", o "A" pode apertar a mão do "C", depois o "A" aperta a mão do "D". Depois o "B", aperta a mão do "A", o "B" aperta a mão do "C" e o "B" aperta a mão do "D". Depois, o "C". "C" aperta o "A", "C" aperta o "B" e o "C aperta o "D". Finalmente, o "D", que vai apertar a mão do "A", o "D" aperta a mão do "B'', e o "D" aperta a mão do "C". Então, eu tenho aqui, 12 maneiras, são 12 permutações, que foi o que eu calculei aqui. Agora, vamos eliminar aqueles que se repetem. Repare só. Eu tenho que eliminar, por quê? Porque eu estou contabilizando duas vezes, por exemplo, o "A" apertando a mão de "C", está sendo a mesma coisa, mas está sendo contado como fosse diferente do "C" apertando a mão do "A", quando na verdade é a mesma coisa. Então, vamos lá, vamos eliminar. "A" apertando a mão do "B" é a mesma coisa que o "B" apertando a mão do "A". O "A" apertando a mão do "C" é a mesma coisa que o "C" apertando a mão do "A", e o "A" apertando a mão do "D" é a mesma coisa que o "D" apertando a mão do "A". Agora aqui, o "B" apertando a mão do "C" é a mesma coisa que "C'' apertando "B", e o "B" apertando "D'' é a mesma coisa que o "D'' apertando a mão do "B". Finalmente aqui, o "C" apertando a mão do "D'' é a mesma coisa que o "D" apertando a mão do "C". E repare que nós eliminamos 1, 2, 3, 4, 5, 6, e terminamos com 1, 2, 3 ,4, 5, 6 possibilidades diferentes das combinações ali. Então, no total, eu vou ter quanto? Eu vou ter 1, 2, 3, 4, 5, 6 combinações diferentes de 2 pessoas em um grupo com 4, ou seja, eu tenho 6 maneiras diferentes de escolher 2 pessoas aqui para apertarem as mãos em um grupo com 4 pessoas. Portanto, este foi o nosso vídeo. Até os próximos!