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Conteúdo principal

Introdução às combinações

Vamos aprender a diferença entre permutações e combinações, usando o exemplo de como acomodar seis pessoas sentadas em três cadeiras. As permutações contam os diferentes arranjos de pessoas em cadeiras específicas, enquanto as combinações contam os diferentes grupos de pessoas, independentemente da ordem ou da cadeira.

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Transcrição de vídeo

RKA8JV Bom, vamos continuar pensando de quantas maneiras nós podemos organizar um determinado número de pessoas em um certo número de cadeiras. Digamos que nós tenhamos 6 pessoas, a pessoa "A", pessoa ''B", "C", "D", "E'' e "F''. Portanto aqui, nós temos 6 pessoas, e eu quero saber de quantas maneiras diferentes, quantas permutações, de quantos jeitos diferentes eu posso organizar estas 6 pessoas em 3 cadeiras. Então aqui, cadeira número 1, cadeira número 2, cadeira número 3. Tudo isto que eu estou fazendo agora é só uma revisão, pois eu já falei sobre isto nos vídeos sobre permutação. Mas a revisão é importante enquanto nós nos movemos para novos conceitos aqui nesses nossos cálculos. Portanto agora, a pergunta que eu faço é: de quantas maneiras diferentes eu posso organizar estas 6 pessoas aqui nas 3 cadeiras. Bom, se ninguém sentou ainda, nesta primeira cadeira, eu tenho quantas possibilidades? Eu posso colocar uma destas 6 pessoas, então eu tenho 6 possibilidades diferentes para a primeira cadeira. Agora, para colocar na segunda cadeira? Bom, como eu já coloquei uma pessoa aqui, são 6 pessoas diferentes, eu botei uma delas aqui, portanto, eu vou ter agora 5 que me restaram, sim ou não? Então, eu vou colocar aqui, 5 pessoas, eu tenho 5 possibilidades para cada uma destas 6 que eu coloquei na primeira. Uma outra maneira de pensar sobre isto aqui, eu tenho 6 cenários diferentes para sentarem na primeira cadeira, para cada um desses cenários, eu vou ter 5 diferentes para a segunda cadeira, e aí eu vou ter 6 vezes 5, que vai dar 30 cenários diferentes aqui neste caso até agora. E agora? para colocar na terceira cadeira? Bom, eu já tenho 30 cenários aqui. Para cada um desses 30 cenários, eu vou ver o quê? Eu vou ter 4 pessoas sobrando para colocar na cadeira número 3, já que eu coloquei uma pessoa aqui, coloquei uma pessoa aqui, nestas possibilidades, agora, eu tenho 4 para colocar na cadeira número 3, então, eu multiplico tudo isto por 4, são 4 possibilidades, 4 cenários, para cada um destes 30 previamente colocados. Portanto aqui, o número de cenários possíveis que eu vou para colocar 6 pessoas em 3 cadeiras vai ser 6 vezes 5, vezes 4, que vai dar 30, vezes 4, vai ser igual a 120 permutações. Vamos escrever aqui, 120 permutações. Agora, vamos analisar o que as permutações contam. Neste caso das permutações, eu ligo para quem está sentando em qual lugar, sim ou não? Portando, por exemplo, se eu pegar esta permutação aqui, "ABC", eu conto como uma outra permutação diferente, o caso, por exemplo, "ACB". Apesar de serem as mesmas pessoas, mudou a ordem delas estarem sentadas e eu conto como um caso diferente. Um outro caso diferente seria, por exemplo, "BAC", certo? Ou ainda, eu contaria com uma outra permutação, o caso "BCA". Eu posso continuar, se eu quiser posso continuar colocando aqui, por exemplo, eu poderia ter o ''CAB", eu poderia ter "CBA", eu poderia fazer isto aqui várias vezes até chegar em 120 permutações. Portanto, no mundo das permutações, isto daqui são consideradas permutações diferentes, está claro? E é claro, há outras permutações, já que são 120 no total, que vão envolver outras pessoas diferentes, não precisar ser "ABC" não, pode ser, por exemplo, "FBC", que vai ser diferente do "FBC", que ainda seria contado de maneira diferente, por exemplo, no caso, ''BFC" ou "BCF", certo? Eu poderia fazer isto aqui várias vezes, até chegar aos 120, eu vou fazer mais 2 aqui. Eu poderia ter, por exemplo, o "CFB", e poderia ter também aqui, "CBF", certo? Todos seriam permutações diferentes. Portanto aqui, no mundo das permutações, nós temos aqui neste caso, 12 permutações daquelas 120, eu escrevi só 12 aqui. Agora, o que aconteceria em um mundo, por exemplo, em que eu não ligasse para a ordem que as pessoas estão sentadas na cadeira? Bom, nesse mundo aconteceria uma coisa da seguinte maneira, olha só. Estes casos todos aqui seriam contabilizados como apenas um um único caso, pois são as mesmas pessoas, só que sentando em lugares diferentes, em cadeiras diferentes, mas são as mesmas pessoas, então, se eu não me importo mais com a ordem, isto daqui seria contabilizado como apenas um caso. Estes casos aqui também, seriam contabilizados como apenas um único caso. Agora, a pergunta que eu faço é a seguinte: de quantas maneiras diferentes eu posso escolher 3 pessoas deste grupo de 6 para colocar sentadas nestas cadeiras de maneira que eu não ligue para a ordem em que elas estão sentadas? Como sempre, nessa hora, eu te encorajo a pausar o vídeo e você pensar um pouquinho sobre este problema. Beleza? Já passou aí o vídeo? Então vamos lá. Bom, uma das maneiras de pensar sobre isto daqui é o seguinte: cada grupo de 3 pessoas aqui, como você pode perceber, eu consigo colocar em 6 permutações diferentes, certo? Um grupo aqui de 3, as mesmas pessoas, eu consegui organizar de 6 formas diferentes, dependendo do lugar em que elas sentam na cadeira. Mas como agora estou apenas ligando para quantas maneiras eu posso escolher 3 pessoas para sentar nas cadeiras, eu não ligo para a ordem, e portanto, estes 6 casos aqui têm que ser considerados apenas como um único caso, pois são as mesmas pessoas escolhidas. Então, para fazer esse cálculo, eu vou ter que fazer o quê? Eu vou pegar o meu número de permutações, 120, e vou dividir pelo número de maneiras de arranjar, de organizar, arranjar ali, 3 pessoas. Como nós estamos vendo aqui, nós podemos organizar estas 3 pessoas, ou 3 letras aqui que representam pessoas, de 6 formas diferentes. Então, isto aqui vai ser a mesma coisa que 120 dividido por quanto? Por 6. E aí, 120/6 dá igual a 20. Agora, como você pode comparar os resultados, 120 e 20, este primeiro resultado aqui foi obtido com a seguinte pergunta: de quantas maneiras que eu posso organizar 6 pessoas em 3 cadeiras? 120. O segundo resultado aqui, 20, foi obtido com a seguinte pergunta: de quantas maneiras eu posso escolher 3 pessoas deste grupo de 6 para colocar nestas cadeiras, sem ligar para a ordem que elas estão sentadas? Ora, neste caso então, dá 20. E portanto, neste segundo caso aqui, eu estou querendo saber o número de combinações possíveis de 6 elementos tomados 3 a 3, de quantas maneiras eu posso escolher 3 pessoas de um grupo de 6. Isto dá igual, então, a 120 dividido pelo número de maneiras de arranjar 3 pessoas, que é 120/6, que dá igual a 20, olha aí. Então, neste caso aqui, deu 20 combinações. Então, só para você relembrar aqui, isto aqui, estas 6 possibilidades aqui, são apenas uma única combinação, é a combinação dos elementos "ABC" sem eu ligar para a ordem que eles estão sentados. Aqui deste outro lado, eu tenho uma outra combinação, dos elementos "F", "C" e "B". Novamente, eu não ligo para a ordem em que eles estão sentados, a única coisa para qual eu ligo em ambos os casos aqui, é que eu escolhi estas 3 pessoas, está claro? Então, para escolher estas 3 pessoas aqui, eu tenho apenas uma única maneira de fazer isso. E portanto, destas 6 pessoas aqui, para escolher 3, eu tenho, então, 20 combinações diferentes. Isto é a mesma coisa que o número de permutações, 120, dividido pelo número de maneiras de arrumar estas 3 pessoas aqui nas diferentes cadeiras, certo? Que vai ser igual, então, a 6, 120/6 dá igual a 20. Até o próximo vídeo!