Exemplo: Análise combinatória e probabilidade

RKA10E Olá, pessoal. Prontos para mais um vídeo? Um jogo de cartas usa 36 cartas diferentes de 4 naipes (ouros, copas, paus e espadas) e cada naipe é numerado de 1 a 9. Então são 4 naipes, de 1 a 9, 4 vezes 9 36 cartas. Uma mão é um grupo de 9 cartas, que pode ser ordenada da maneira que o jogador escolher. E o que ele quer dizer aqui, que pode ser ordenado da maneira que o jogador escolher, essencialmente é que a ordem que essas cartas estão na mão não vai me importar. E aí vem a pergunta: qual a probabilidade de pegar uma mão com todos os quatro 1s do jogo? Quero calcular a probabilidade de pegar uma mão com os quatro números 1 do jogo, os quatro números 1 do baralho. Vou escrever: probabilidade de todos os 1s na mão de 9 cartas. Vou colocar só a mão de 9. Você vai pensar: nossa, esse problema é meio complicado, como é que eu vou calcular? Tem 36 cartas, eu pego 9 e de quantas maneiras esses 1s vão estar, qual é a probabilidade de todos os 1s estarem na minha mão? Parece bem complexo mesmo o problema, mas você vai ver que a gente pode conseguir um pensamento bem simples para solucionar o problema. Primeiramente, vamos pensar na definição de probabilidade, como que se calcula a probabilidade. Primeiro, eu venho e calculo o número de maneiras... do evento acontecer. O número de maneiras do evento acontecer, mas o que é o evento? O evento, no nosso caso, é vir todos os 1s na minha mão de 9 cartas, que é o que escrevi aqui. Portanto, esta parte vai consistir em contar quantas maneiras a gente consegue pegar essa mão de 9 cartas com todos os ases (1s). E eu vou pegar esse número e dividir, aqui é uma divisão, pelo número de todas as mãos... possíveis. Claro que estou falando de todas as mãos possíveis nessas condições do nosso jogo. Vamos calcular primeiro essa parte de baixo, o número de todas as mãos possíveis. Vamos calcular primeiro essa parte porque é a mais intuitiva, a gente já fez isso bastante vezes. Então o número de todas... as mãos... possíveis. Se na minha mão vão vir 9 cartas, vou colocar aqui 9 espacinhos para representá-las, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Como vou pegar um baralho de 36 cartas diferentes, para a minha primeira cartinha, para o meu primeiro espacinho, são 36 as possibilidades, vezes 35, que são as cartas depois que eu já peguei uma carta, vezes 34, que é o que sobrou para colocar aqui, vezes 33, 32, 31, 30, 29, 28. E o produto desses números seria as maneiras de conseguir colocar na minha mão as 9 cartas se a ordem fosse importante. Mas como para nós a ordem não é importante, por exemplo, se o 9 de ouros estivesse nessa segunda posição ou se o 9 de ouros estivesse na última ou antepenúltima posição, para mim, não faria diferença. O que importa é que estou com 9 de ouros na mão. Portanto, fazer apenas esse produto, estou contando coisas demais, estou fazendo uma contagem de coisas repetidas. Para tirar essa repetição, o que eu tenho que fazer é dividir por todas as maneiras que essas 9 cartas podem trocar de lugar entre elas, dividir por todas as maneiras que elas se permutam. Permutação de 9 objetos é 9 fatorial, porque são os 9 espaços. Então para o primeiro espacinho, vou ter 9 possibilidades, para a segunda, 8, para a terceira, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 9 fatorial. Você já está atento e deve ter notado que esse cálculo é da combinação de (36 9) a 9, de quando eu faço 36 e eu tenho que escolher 9 que é, escrevendo de outra maneira, essa continha aqui: 36 fatorial dividido por (36 - 9) fatorial, isso está dividido novamente por 9 fatorial. O que está aqui em laranja é o que foi escrito em laranja e o que está aqui em amarelo é o que foi escrito em amarelo. Portanto, o resultado dessa continha são todas as mãos possíveis de acontecer nesse jogo. Vamos agora para o cálculo da parte de cima, vamos calcular o evento, o número de mãos, vamos lá, mãos com os quatro 1s, mãos com os quatro 1s. Isso aqui, para começar, vai ser um probleminha meio que de lógica. Vamos imaginar que, ao invés de 9, agora na sua mão cabem apenas 4 cartas. De quantas maneiras eu vou conseguir colocar os quatro 1s na sua mão? É de uma maneira só, eu vou lá e coloco os quatro 1s e pronto. Eu não preciso trocar de lugar, porque se trocá-los de lugar na mão vai ser a mesma mão. Então vou fazer o seguinte: desses 9 espaços, vou deixar 4 reservados para os 1s e vou colocá-los lá. Como é só de uma maneira que isso acontece, vou colocar aqui: uma maneira, uma maneira, uma maneira, uma maneira e vão sobrar 5 espacinhos na sua mão. Vamos preencher a mão, se aqui eu já coloquei 4 cartas na minha mão, que são os quatro números 1, na minha pilha, no meu baralho me sobraram (36 - 4) dá 32 cartas. Então para essa quinta cartinha, serão 32 as possibilidades, 31 possibilidades para essa, 30, 29, 28. Só que, novamente, não importa a ordem que essas cartas vão estar na mão, eu posso trocá-las do jeito que eu quiser. Por isso tenho que dividir pelo número de permutações que eu consigo fazer com essas cartas, igualzinho aconteceu com essa parte de cima. Vamos lá. Vamos dividir pelo número de maneiras dessas 5 cartas se rearranjarem, que vai ser 5 fatorial, 5 vezes 4 vezes 3 vezes 2 vezes 1, 5 fatorial porque são 5 espaços, quando eu for rearranjar primeira, ela vai ter 5 possibilidades, a segunda, 4, 3, 2 e 1. E está contada aqui quantas são as mãos com os quatro números 1 que, se a gente for fazer a conta essencialmente vai ser só esse pedaço. Aqui vai ser 1 vezes 1 vezes 1, não vai fazer diferença nenhuma, o que faz muito sentido, porque como os 1s não vão mudar, vão sempre ficar na minha mão, pela condição que estou colocando, o número de mãos possíveis vai ser o número de maneiras que vou ter para escolher as outras 5 e isso vai ser a quantidade que eu estava tentando contar. Agora tudo que eu precisava já está contado, só falta a gente fazer os cálculos algébricos. Vou arrumar um espaço aqui. A probabilidade vai ser esse número, esse valor dividido por esse valor. Para facilitar um pouco as coisas, vou dar um Ctrl+C e Ctrl+V, vou copiar e colar. Copiando e colando. E lembrando que, quando vou fazer uma divisão de fração, eu pego a fração de cima e multiplico pelo inverso da de baixa. Então se eu vou inverter, vou pegar o denominador dessa e colocar no lugar do numerador... peguei o denominador, colocando no lugar do numerador e agora eu pego o que era o numerador..., como eu vou pegar a fração inversa, vou jogar para baixo, no lugar do denominador. Então vai ser esta fração multiplicada por esta fração aqui, como é um produto, eu posso pensar que isso aqui é um traço só e vejam: 5 vezes 4 vezes 3 vezes 2 vezes 1 é 5 fatorial, eu cancelo com esse aqui. Da mesma forma, 32, 31, 30, 29, 28 também vai embora com esse aqui. Então o que sobrou para a gente essencialmente foi... vou arrumar um pouquinho mais de espaço aqui. Essencialmente foi 9 vezes 8 vezes 7 vezes 6 dividido por 36 vezes 35 vezes 34 vezes 33 e agora para a gente ficou um exercício de simplificar a fração. Por exemplo, se eu dividir em cima e em baixo por 9, dividiu aqui por 9, dividiu aqui por 9, ficou 4, posso dividir agora por 4, ficou 1 e aqui dividido por 4, ficou 2, posso dividir e simplificar por 7, dividir por 7 deu 5, dividir por 7 deu 1, vamos simplificar o 2 com 34, dividir por 2 dá 1, dividir por 2 deu 34 vezes 33 e, por último, eu simplifico aqui, divido por 3 dá 2, divido por 3 sobra 11. Vamos fazer essa continha? Vou pegar a minha calculadora. 5 vezes 17 vezes 11 é igual a 935. Portanto, aqui no numerador é 2 dividido pelo denominador, 935. Então essa é a nossa probabilidade. Nossa probabilidade é de 2 em 935. Se a gente der uma arredondada bem brusca, dá para falar que é de, mais ou menos, 2 em 1000 a chance. Ou então, simplificando, de 1 em 500 a possibilidade de pegar uma mão com todos os números 1 do jogo, sendo que este baralho tem 36 cartas e sua mão tem 9. Ok, pessoal? Espero que tenha dado tudo certo, espero que você tenha aprendido e até o próximo vídeo!