Zero fatorial ou 0!

RKA8JV Se você prestou atenção nos nossos vídeos anteriores de combinatória, permutação, você pode ou não ter notado algo que possa ser bem interessante. Então, vamos revisar aqui um pouquinho sobre o que é o fatorial. Então, se eu tiver aqui um "n!", o que é isso? Ora, isto é igual a "n" que multiplica (n - 1), que multiplica (n - 2), e assim segue, indefinidamente, até o momento que eu multiplicar lá embaixo por 1. E aí então, eu multiplico todas estas coisas aqui ao mesmo tempo, é ou não é? Então, só para ter um exemplo, o que seria o "3!"? Bem, o "3!" seria igual a 3 vezes 2, vezes 1. E aí se eu quiser saber que é o "2!", vai ser a mesma coisa que 2 vezes 1. E "1!"? Bom, "1!" vai ser a mesma coisa que 1. E aí, aqui eu não preciso decrescer mais, não vou fazer 1 vezes zero, isto vai dar simplesmente igual a 1. E quanto ao "0!"? Bem, esta é a parte interessante. E aí você pode pensar, talvez, que "0!" é igual a zero, porque aqui, eu estou diminuindo ainda uma unidade aqui neste fatorial, e aí daria zero. E aí, será que o "0!" é igual a zero? Não, não é assim que os matemáticos definiram esta operação fatorial. Uma vez que a operação fatorial é uma invenção totalmente humana, algo que os humanos acharam interessante, uma notação bem útil para a gente. Então, os matemáticos decidiram definir o "0!" da maneira mais interessante, mais útil, para todo esse processo de contagem. Aqui nós vamos rufar dos tambores, pois os matemáticos definiram "0!" como sendo igual a 1. É isso aí, "0! = 1". E aí você pode pensar que, de acordo com este padrão que está sendo seguido aqui, não faz sentido o "0!" ser igual a 1. Mas, no mundo das permutações, das combinações, isto aqui é muito útil e você vai ver por que é útil fazer "0!" como sendo a 1, já que é exatamente nesse mundo, de permutações, combinações, onde o fatorial aparece mais. Portanto, vamos dar uma revisada. A gente já viu que se eu quiser permutar "n" elementos em "k" espaços, ou, usando a notação mais adequada aqui para o Brasil, uma permutação de "n" elementos tomados "k" a "k", isto vai ser igual a n!/(n - k)!. Assim. Ao mesmo tempo, se eu tiver uma permutação de "n" elementos para colocar em "n" espaços, isto aqui deveria ser simplesmente o "n!", certo? Vamos fazer um desenho para essa situação aqui. Digamos que aqui eu tenha o meu primeiro lugar, aqui o segundo, o terceiro, e assim vai sucessivamente até eu chegar lá na casinha "n", beleza? E aí é o seguinte, eu vou te "n" opções para colocar nesta primeira posição aqui. Para colocar na segunda posição eu teria (n - 1), já que eu já teria colocado "n" aqui na primeira. Na terceira, eu colocaria (n - 2) objetos, e isso vai decrescendo, decrescendo, decrescendo, até que na posição "n" eu tenha apenas uma única possibilidade para colocar aqui. E isso é bem isto que a gente fez aqui em cima, "n!", certo? Ou seja, a permutação de "n" elementos tomados "n" a "n", neste caso seria, então, o "n!". Mas, se nós aplicássemos esta fórmula aqui, repare que eu teria que "n!" estaria dividido por (n - n)!, já que o "k" neste caso seria o "n" também, e aí eu teria (n - n)!. Quanto é "n - n"? É zero. "0!" aqui no denominador. E, portanto, eu teria aqui "n!/0!". Olha aí que coisa louca, coisa estranha, né. Daí, para esta fórmula aqui ser aplicável, inclusive para quando o "k" for igual a "n", que é exatamente o que acontece naquele caso ali embaixo, quando "k = n", acontece aqui, certo? Para que esta fórmula seja consistente com esta situação aqui, o "0!" precisa ser igual a 1. E aí, a comunidade de matemáticos pensou assim: "Bom, esse fatorial que nós definimos aqui, que tem uma exclamação ao lado de um número, e aí gente vai contando o número para baixo, até chegar no 1, quando nós chegarmos no '0!', nós precisamos definir isso como sendo igual a 1". E aí então, tudo que nós deduzimos passa a ficar consistente e tudo isso é muito útil. Até o próximo vídeo!