Covariância e a regressão linear

RKA2JV - E aí, pessoal? Neste vídeo, eu vou tentar introduzir para vocês, um pouco melhor, o conceito de covariância. A covariância entre duas variáveis aleatórias é definida como o valor esperado entre a multiplicação, ou produto, entre um ponto no espaço amostral dessa variável aleatória e o seu valor esperado. Então, eu posso escrever isso desta maneira aqui: "x" menos o valor esperado de "x", isso tudo multiplicado por "y", menos o valor esperado de "y". E agora eu posso fechar a chave aqui. Esta é a nossa expressão da covariância. Só deixe-me fazer um pouco, botar estas cores aqui, só para, acho que eu acabei com meu desenho aqui. Deixe-me botar só estas cores para ficar um pouco melhor depois, na hora de vocês enxergarem. E agora a gente pode continuar. Antes de continuar, na verdade, vamos supor que a gente pegue, no nosso espaço amostral, no nosso universo de amostras, a gente pegue um exemplo do nosso valor de "x", um valor, e a gente saiba que, naquele momento, o valor que a gente pegou foi x = 1. E o nosso valor de "y" foi, vamos supor, 3. E a gente sabe que, para aquele momento, o nosso valor esperado de "x" era zero e o nosso valor esperado de "y" era 4. Sendo assim, a gente pode fazer essa multiplicação e a gente chegaria no resultado, por exemplo, de 1 - 0, multiplicado por 3 - 4, ou seja, 1 vezes -1. E isso daria um valor negativo. Então, este ponto "y" estaria abaixo da sua média, porque ele ficou negativo aqui, e este ponto "x" estaria acima. Este nosso exemplo de "x" estaria acima da sua média, porque seu valor deu positivo. Então, a gente pode fazer isso infinitamente, para vários pontos, e sempre vai poder ver que este resultado pode dar positivo, quando forem os dois negativos, por exemplo; pode dar positivo, quando forem os dois positivos, ou pode dar negativo, quando um for positivo e o outro for negativo. Então, só continuando a expandir, a desenvolver esta expressão, a gente pode continuar com E, e agora eu só vou multiplicar entre estes termos aqui, fazer a distributividade aqui, fazer a distribuição. Então, aqui vai dar: valor esperado de "x" vezes "y", isto aqui menos o valor esperado de "y", vezes, menos o valor esperado de "y", vezes "x". Isto aqui, menos o valor esperado de "x", vezes "y". E isto aqui. Agora positivo, porque os dois são negativos. Isto aqui mais o valor esperado de "x" que multiplica o valor esperado de "y", desta maneira aqui. Outra coisa que a gente precisa saber para continuar aqui é a resposta para a seguinte pergunta: qual é o valor esperado do valor esperado de "x"? Nosso valor esperado do valor esperado de "x". Pense no valor esperado de "x" como uma constante, como a média de um número. Vamos supor que eu tenha um valor esperado 6. Qual é o valor esperado do 6? É o próprio 6, porque é a constante. Ele é um número. Ele realmente é uma constante, então, não tem muito o que falar aqui. Então, o valor esperado de um valor esperado é o próprio valor esperado. Sabendo disso, a gente pode começar a aplicar isso. A gente pode começar a separar isso em vários termos menores aqui. Então, isto vai ficar igual, melhor, vou fazer de amarelo. Isto vai ficar igual ao valor esperado de xy. Deixe-me pegar a cor certa, o valor esperado de xy, menos o valor esperado de "y". O valor esperado do valor esperado de "y" é o próprio valor esperado de "y". Então, menos o valor esperado de "y", multiplicado pelo valor esperado de "x", e agora, menos o valor esperado de "x" multiplicado pelo valor esperado de "y". E agora, isto aqui vai dar: mais o valor esperado de "x". Vou fazer o "mais" em amarelo. Vou fazer na cor certa de uma vez. Mais o valor esperado de "x", que multiplica o valor esperado de "y". Desta maneira. Agora, a gente acabou de achar aqui 3 termos. Por exemplo, o valor esperado de "x" que multiplica o valor esperado de "y", o valor esperado de "x" que multiplica o valor esperado de "y", e aqui, também, o valor esperado de "x" que multiplica o valor esperado de "y". Então, a gente tem 3 termos. No caso, dois de um sinal e um de outro. Então, a gente pode acabar cortando um deles. Eu vou cortar, por exemplo, este aqui com este aqui. A gente poderia ter cortado este com este, mas tanto faz a ordem, na verdade. Então, a gente fica só com o valor esperado de xy, menos o valor esperado de "y" multiplicado pelo valor esperado de "x". Ok, então, isto aqui é a nossa covariância. E agora, vamos supor que a gente queira estimar este resultado aqui. Vamos supor que a gente queira estimar quanto vale o valor esperado. Deixe-me fazer de uma cor, fechar esta chave aqui. Então, vamos supor que a gente queira estimar o valor esperado de xy. Como a gente pode proceder? Vocês lembram que, aqui em cima, a gente falou mais ou menos de valor médio, que em estatística a gente pode considerar o valor esperado como sendo um valor médio? Para este caso a gente também pode fazer isso. Então, se a gente quiser estimar isto aqui, a gente pode dizer que isto aqui é a média do produto de xy. Desta maneira aqui. Cuidado, porque não é isto aqui, estes dois são coisas diferentes. É só este que está aqui em cima. É a média do produto de xy. A gente já fez, em alguns vídeos, alguns exemplos usando isto aqui. Então, agora, aplicando isto que a gente acabou de achar aqui, a gente vai descobrir que a nossa covariância é igual à média de xy, deixe-me fazer na cor certa. A média de xy. E quanto é uma estimativa do valor esperado de "y"? É a média de "y". Menos a média de "y", multiplicado pela média de "x". Então, a gente acabou de chegar aqui, em um ótimo resultado, porque este resultado é muito curioso. Eu quero que vocês tentem pensar onde mais que vocês já viram este resultado aqui. Se vocês acompanharam os últimos vídeos, eu encorajo vocês a pausar neste exato momento, porque daqui a uns 5 segundos eu vou dizer onde a gente achou isto aqui. Então, se quiserem pensar, ainda dá tempo. Então, vamos pensar onde que a gente já viu isto aqui. Este valor aqui, deixe-me fazer uma flecha aqui para o lado, é o numerador na nossa equação de descobrir. Na equação que a gente utilizou para descobrir o coeficiente angular da nossa reta de regressão linear. Então, se vocês lembram dos últimos vídeos, a gente achou que o valor de "m" (no caso, o nosso coeficiente angular) era igual à média de xy, menos a média de "x" vezes a média de "y", isto aqui sobre a média de x² menos a média de (x)². Se a gente for analisar bem, então, aqui na parte de cima da nossa expressão do coeficiente angular, aliás, como está tudo o valor médio aqui, a gente pode achar em alguns livros a notação "coeficiente angular médio", com esta notação de acento circunflexo aqui, com este "chapéu" em cima do "m". Na nossa linha de cima, nós vamos ter a covariância entre "x" e "y". E na linha de baixo, o que nós teremos? Vamos pensar na linha de baixo como sendo x², então: a média de "x" vezes "x", menos a média de "x" vezes a média de "x". Vocês conseguem ver uma semelhança entre isto aqui e o que está nesta primeira linha aqui da nossa covariância? Se vocês, por acaso, conseguem ver uma semelhança nisto aqui, é que a gente usou aqui, para esta linha, é como se a gente tivesse feito a covariância entre duas variáveis aleatórias iguais, por exemplo, "x" e "x". Isso daria exatamente esta parte aqui de baixo da nossa expressão para achar o coeficiente angular da reta de regressão linear. E o que isso quer dizer? O que é uma covariância entre uma variável aleatória e uma outra variável aleatória, que no caso é ela mesma? Isso é a mesma coisa que a variância de "x". Então, o motivo pelo qual a gente fez tudo isso aqui e eu mostrei esta equação aqui, eu cheguei até aqui para mostrar que a variância de "x" é a parte de baixo, o denominador da nossa equação para achar o coeficiente angular. E aqui, agora, a gente pode realmente observar que, no final, a nossa expressão para achar o coeficiente angular da reta de regressão linear é igual à covariância de "x" e "y" dividido pela variância de "x". Eu espero ver vocês nos próximos vídeos, e espero que este vídeo tenha ajudado vocês. Até a próxima, pessoal!