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Curso: Estatística e probabilidade > Unidade 5
Lição 6: Mais sobre regressão- Erro ao quadrado da regressão linear
- Demonstração (parte 1) minimização de erro quadrado para regressão linear
- Demonstração (parte 2) minimização do erro quadrado da regressão linear
- Demonstração (parte 3) minimização do erro quadrado da regressão linear
- Demonstração (parte 4) minimização do erro quadrado da regressão linear
- Exemplo de regressão linear
- Segundo exemplo de regressão
- Calculando R²
- Covariância e a regressão linear
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Demonstração (parte 1) minimização de erro quadrado para regressão linear
Demonstração (parte 1) Minimização de erro quadrado para linha de regressão. Versão original criada por Sal Khan.
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- Sal, ao invés de expandir, pq não derivar logo o termo an do somatório em relação as variáveis alvo como fez lá nas séries de potência? afinal, o somatório não interfere no processo de derivação como já nos ensinou https://cdn.kastatic.org/KA-youtube-converted/-242sAlh_JE.mp4/-242sAlh_JE.mp4#t=480(1 voto)
Transcrição de vídeo
RKA3JV - E aí, pessoal! Nos últimos vídeos, a gente definiu
a nossa fórmula do erro quadrado para essa nossa linha
que a gente quer achar. Agora, a gente chegou
nesta linda equação. E o que nós queremos
fazer, neste vídeo, é continuar a reduzir
isto aqui algebricamente. Então, este vídeo vai ser composto de
vários truques de álgebra normais, e até o final deste
vídeo vai ser assim. Então, não é
muito complicado, mas vamos prestar atenção para conseguir
seguir direito tudo está fazendo aqui. Então, a primeira coisa que eu vou
fazer é pegar estes termos aqui. E vou tentar simplificá-los um pouco
mais, no caso eu vou tentar expandi-los. Então, primeiro, este y₁² vai ser y²,
y₁², no caso. E agora, menos duas vezes
o primeiro termo, 2 vezes y₁, vezes o segundo
termo (mx₁ + b), mais o segundo termo ao quadrado,
mais (mx₁ + b)². Então, vocês já perceberam que
eu só continuei expandindo como se fosse
um (a + b)². Então, tudo que eu fiz aqui
foi "a" ao quadrado, mais 2ab,
mais "b" ao quadrado. Este menos aqui é porque
tem aqui, e assim vai. Então, agora eu vou pegar e vou
expandir este termo aqui também. Só que eu não vou
colocar aqui para trás, porque vai ficar uma
coisa muito grande. Então, eu vou colocar aqui
embaixo deste termo. Lembre-se apenas que isto
aqui é uma linha contínua, então eu vou colocar,
este termo aqui vai ser y₂². É interessante notar que
vai dar a mesma coisa, só vai mudar o "y" e o "x",
porque o resto vai ser tudo igual. Então, eu já posso
continuar aqui y₂² - 2y₂ (mx₂ + b) + (mx₂ + b)². Agora, por último,
nosso último termo "y". Espere, me desculpem. Então, no caso aqui, vai indo,
vai indo, até chegar no yn² - 2yn (mxn + b) + (mxn + b)². E a gente
chegou até aqui. Então, lembre-se que
a gente só pegou e expandiu esta nossa
fórmula aqui de cima. Então, eu vou continuar
expandindo mais ainda. Eu vou pegar estes termos aqui
que estão entre parênteses, vou colocá-los
nos números. Eu vou fazer isso
da mesma cor, então, eu vou colocar aqui
um sinal de igualdade, eu vou continuar
a fazer isso daí. Então, y₁²,
aqui vai dar -2y₁ mx. Então, -2y₁ mx₁ mais,
ou melhor, -2y₁b. Agora, este termo
aqui ao quadrado, vai ser o quadrado
do primeiro. Então, m² x₁², mais duas vezes
o primeiro, vezes o segundo. Então, + 2mx₁b, mais o quadrado
do segundo que vai ser b². E como estes nossos
três termos são iguais, a gente pode só reescrever
o nosso termo vermelho aqui. A gente pode só reescrever
as outras variáveis aqui, eu não preciso calcular
tudo isso de novo. Então, eu vou
colocar aqui, vai ser: y₂² - 2y₂ mx₂ - 2y₂ b
+ m² x₂² + 2mx₂ b + b². Este nosso número aqui vai até chegar
no nosso "yn", que vai ser aqui. yn² menos,
deixe-me fazer melhor este "y". yn² - 2yn mxn Ou melhor,
eu até já errei a cor. mxn - 2yn b + m² xn² + 2mxnb + b². Então, ficou esta coisa monstruosa
com estas nossas três linhas. Então, agora, o que
eu vou tentar fazer? Eu vou tentar pegar
estes termos aqui. Eu vou tentar juntá-los, vou tentar
fazer com que eles fiquem, é como juntar várias
partes da equação. Então, se eu juntar primeiro
esta parte da equação, primeiro esta parte
aqui da equação. Eu vou colocar uma linha aqui,
porque vai parecer um sistema e vai ficar melhor
de entender. Se eu juntar esta
primeira parte. Ou melhor, sem linha vai ficar melhor,
vai ficar menos poluição visual. Então, se eu colocar
isso aqui, vai ficar: "y", deixe-me fazer na cor certa.
(y₁² + y₂² + yn²). Agora, eu vou somar
estes termos aqui. Isto aqui vai dar, no caso, aqui eu só
vou ter este 2 e este "m" constantes. No caso, o 2 e o "m". Então, eu posso fatorar este -2 e este "m"
para fora dos parênteses. No caso, eu posso
colocar aqui -2m, a única coisa que vai
mudar dentro é o "y" e o "x". Então, eu posso
multiplicar isto por y₁x₁. Ou melhor, x₁ y₁,
para ficar na ordem. x₁y₁ + x₂y₂ e assim vai
até o nosso xnyn. Eu vou fazer estes
parênteses em branco, porque vai
ficar melhor. Opa, errei a cor! Fazer estes parênteses em branco
para não confundir as cores depois. Então, até aqui eu poderia
ter colocado umas reticências, porque vai
até o "yn". Então, aqui eu vou colocar
mais até o nosso yn². Então, aqui são as reticências
para indicar isso. Agora, juntando esta
parte da equação aqui, nós temos o 2 e o "b" como
constantes aqui nesta parte. A única coisa que muda aqui
é o "y" que vai de "y₁" até "yn". Então, eu posso
fatorar este -2b. Vamos colocar aqui, -2b que multiplica
y₁ + y₂ até yn, desta maneira. Agora, esta parte,
estamos quase acabando aqui. Então, agora esta parte aqui,
nós podemos fatorar. O "igual" aqui no caso
vai ser este "m". Este m² vai estar, então
a gente pode fatorar este m². Então, aqui vai ficar
m² + m² e multiplicado. A única coisa que muda
aqui seria esse "x" no caso. Então, x₁² + x₂² , mais reticencias,
até chegar em xn². Isto aqui ainda somado
com este nosso outro termo, com esta nossa outra
parte da equação aqui. E esta outra parte vai ter também este 2m
e este "b" como constantes. A única coisa que vai mudar
é este "x" no meio. Então, 2mb, 2mb. Eu posso colocar 2mb,
eu vou fatorar o 2mb. E dentro disso, multiplicar por
x₁ + x₂ + ... até xn. Então, x₁ + x₂
até chegar em xn. E isso ainda
agora, xn. Isto ainda somado com
o nosso último termo. Aqui a gente não tem só b²,
a gente vai ter nb. Porque quanto mais "y"
eu tiver aqui, no caso ny. Então, eu vou ter nb². Então, mais "n"
multiplicado por b². E nós chegamos ao fim da nossa
expansão, aqui dessa nossa expressão. Então, eu só quero agora,
deixe-me colocar aqui para o lado, eu quero que vocês saibam,
que vocês lembrem, que tudo isso aqui
é uma expressão só, só que não ia caber
em uma linha. Então, eu tive que fazer
desta maneira quebrada. Tudo isso aqui equivale àquela nossa
fórmula do erro ao quadrado, erro ao quadrado
da linha, da nossa reta. É melhor falar da nossa reta,
que a gente está procurando, que seria, no caso,
esta reta aqui. Então, a gente pegou esta fórmula
que estava aqui em cima. Só pegamos esta fórmula
que estava aqui em cima e nós a expandimos,
expandimos, e expandimos usamos a álgebra a nosso favor,
até chegar nesta monstruosidade aqui. Nos próximos vídeos, eu vou
continuar a manipular isto aqui, até a gente chegar, finalmente,
na fórmula que a gente procura.