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Demonstração (parte 1) minimização de erro quadrado para regressão linear

Demonstração (parte 1) Minimização de erro quadrado para linha de regressão. Versão original criada por Sal Khan.

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Transcrição de vídeo

RKA3JV - E aí, pessoal! Nos últimos vídeos, a gente definiu a nossa fórmula do erro quadrado para essa nossa linha que a gente quer achar. Agora, a gente chegou nesta linda equação. E o que nós queremos fazer, neste vídeo, é continuar a reduzir isto aqui algebricamente. Então, este vídeo vai ser composto de vários truques de álgebra normais, e até o final deste vídeo vai ser assim. Então, não é muito complicado, mas vamos prestar atenção para conseguir seguir direito tudo está fazendo aqui. Então, a primeira coisa que eu vou fazer é pegar estes termos aqui. E vou tentar simplificá-los um pouco mais, no caso eu vou tentar expandi-los. Então, primeiro, este y₁² vai ser y², y₁², no caso. E agora, menos duas vezes o primeiro termo, 2 vezes y₁, vezes o segundo termo (mx₁ + b), mais o segundo termo ao quadrado, mais (mx₁ + b)². Então, vocês já perceberam que eu só continuei expandindo como se fosse um (a + b)². Então, tudo que eu fiz aqui foi "a" ao quadrado, mais 2ab, mais "b" ao quadrado. Este menos aqui é porque tem aqui, e assim vai. Então, agora eu vou pegar e vou expandir este termo aqui também. Só que eu não vou colocar aqui para trás, porque vai ficar uma coisa muito grande. Então, eu vou colocar aqui embaixo deste termo. Lembre-se apenas que isto aqui é uma linha contínua, então eu vou colocar, este termo aqui vai ser y₂². É interessante notar que vai dar a mesma coisa, só vai mudar o "y" e o "x", porque o resto vai ser tudo igual. Então, eu já posso continuar aqui y₂² - 2y₂ (mx₂ + b) + (mx₂ + b)². Agora, por último, nosso último termo "y". Espere, me desculpem. Então, no caso aqui, vai indo, vai indo, até chegar no yn² - 2yn (mxn + b) + (mxn + b)². E a gente chegou até aqui. Então, lembre-se que a gente só pegou e expandiu esta nossa fórmula aqui de cima. Então, eu vou continuar expandindo mais ainda. Eu vou pegar estes termos aqui que estão entre parênteses, vou colocá-los nos números. Eu vou fazer isso da mesma cor, então, eu vou colocar aqui um sinal de igualdade, eu vou continuar a fazer isso daí. Então, y₁², aqui vai dar -2y₁ mx. Então, -2y₁ mx₁ mais, ou melhor, -2y₁b. Agora, este termo aqui ao quadrado, vai ser o quadrado do primeiro. Então, m² x₁², mais duas vezes o primeiro, vezes o segundo. Então, + 2mx₁b, mais o quadrado do segundo que vai ser b². E como estes nossos três termos são iguais, a gente pode só reescrever o nosso termo vermelho aqui. A gente pode só reescrever as outras variáveis aqui, eu não preciso calcular tudo isso de novo. Então, eu vou colocar aqui, vai ser: y₂² - 2y₂ mx₂ - 2y₂ b + m² x₂² + 2mx₂ b + b². Este nosso número aqui vai até chegar no nosso "yn", que vai ser aqui. yn² menos, deixe-me fazer melhor este "y". yn² - 2yn mxn Ou melhor, eu até já errei a cor. mxn - 2yn b + m² xn² + 2mxnb + b². Então, ficou esta coisa monstruosa com estas nossas três linhas. Então, agora, o que eu vou tentar fazer? Eu vou tentar pegar estes termos aqui. Eu vou tentar juntá-los, vou tentar fazer com que eles fiquem, é como juntar várias partes da equação. Então, se eu juntar primeiro esta parte da equação, primeiro esta parte aqui da equação. Eu vou colocar uma linha aqui, porque vai parecer um sistema e vai ficar melhor de entender. Se eu juntar esta primeira parte. Ou melhor, sem linha vai ficar melhor, vai ficar menos poluição visual. Então, se eu colocar isso aqui, vai ficar: "y", deixe-me fazer na cor certa. (y₁² + y₂² + yn²). Agora, eu vou somar estes termos aqui. Isto aqui vai dar, no caso, aqui eu só vou ter este 2 e este "m" constantes. No caso, o 2 e o "m". Então, eu posso fatorar este -2 e este "m" para fora dos parênteses. No caso, eu posso colocar aqui -2m, a única coisa que vai mudar dentro é o "y" e o "x". Então, eu posso multiplicar isto por y₁x₁. Ou melhor, x₁ y₁, para ficar na ordem. x₁y₁ + x₂y₂ e assim vai até o nosso xnyn. Eu vou fazer estes parênteses em branco, porque vai ficar melhor. Opa, errei a cor! Fazer estes parênteses em branco para não confundir as cores depois. Então, até aqui eu poderia ter colocado umas reticências, porque vai até o "yn". Então, aqui eu vou colocar mais até o nosso yn². Então, aqui são as reticências para indicar isso. Agora, juntando esta parte da equação aqui, nós temos o 2 e o "b" como constantes aqui nesta parte. A única coisa que muda aqui é o "y" que vai de "y₁" até "yn". Então, eu posso fatorar este -2b. Vamos colocar aqui, -2b que multiplica y₁ + y₂ até yn, desta maneira. Agora, esta parte, estamos quase acabando aqui. Então, agora esta parte aqui, nós podemos fatorar. O "igual" aqui no caso vai ser este "m". Este m² vai estar, então a gente pode fatorar este m². Então, aqui vai ficar m² + m² e multiplicado. A única coisa que muda aqui seria esse "x" no caso. Então, x₁² + x₂² , mais reticencias, até chegar em xn². Isto aqui ainda somado com este nosso outro termo, com esta nossa outra parte da equação aqui. E esta outra parte vai ter também este 2m e este "b" como constantes. A única coisa que vai mudar é este "x" no meio. Então, 2mb, 2mb. Eu posso colocar 2mb, eu vou fatorar o 2mb. E dentro disso, multiplicar por x₁ + x₂ + ... até xn. Então, x₁ + x₂ até chegar em xn. E isso ainda agora, xn. Isto ainda somado com o nosso último termo. Aqui a gente não tem só b², a gente vai ter nb. Porque quanto mais "y" eu tiver aqui, no caso ny. Então, eu vou ter nb². Então, mais "n" multiplicado por b². E nós chegamos ao fim da nossa expansão, aqui dessa nossa expressão. Então, eu só quero agora, deixe-me colocar aqui para o lado, eu quero que vocês saibam, que vocês lembrem, que tudo isso aqui é uma expressão só, só que não ia caber em uma linha. Então, eu tive que fazer desta maneira quebrada. Tudo isso aqui equivale àquela nossa fórmula do erro ao quadrado, erro ao quadrado da linha, da nossa reta. É melhor falar da nossa reta, que a gente está procurando, que seria, no caso, esta reta aqui. Então, a gente pegou esta fórmula que estava aqui em cima. Só pegamos esta fórmula que estava aqui em cima e nós a expandimos, expandimos, e expandimos usamos a álgebra a nosso favor, até chegar nesta monstruosidade aqui. Nos próximos vídeos, eu vou continuar a manipular isto aqui, até a gente chegar, finalmente, na fórmula que a gente procura.