Exemplo de teste de aderência qui-quadrado

RKA3JV - Olá, meu amigo ou minha amiga! Tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo da Khan Academy Brasil. Neste vídeo, vamos conversar sobre um exemplo de qui-quadrado. Este exemplo diz o seguinte, no jogo pedra-papel-tesoura, Pedro espera vencer, empatar e perder com igual frequência. Pedro joga papel-pedra-tesoura com frequência, mas ele suspeita que seus próprios jogos não estavam seguindo este padrão. Então, ele pegou uma amostra aleatória de 24 jogos e registrou seus resultados. Aqui estão seus resultados. Então, dos 24 jogos, ele ganhou 4, perdeu 13 e empatou 7 vezes. Ele quer usar estes resultados para realizar um teste de ajuste do qui-quadrado para determinar se a distribuição de seus resultados discorda de uma distribuição uniforme. Quais são os valores da estatística de teste neste caso, qui-quadrado? E qual é o valor "p" para o teste de Pedro? Pause este vídeo e veja se você consegue descobrir isso. Então, ele essencialmente está apenas fazendo um teste de hipóteses usando a estatística qui-quadrado. Qual é a hipótese zero? Bem, a hipótese nula é aquela em que todos os resultados têm probabilidades iguais. E a hipótese alternativa é aquela em que seus resultados não têm probabilidades iguais. Lembre-se de que assumimos que a hipótese zero é verdadeira. Supondo que a hipótese zero seja verdadeira, se a probabilidade de obter um resultado pelo menos neste extremo é baixa o suficiente, então, rejeitaríamos nossa hipótese zero. Outra maneira de pensar sobre isso é que se o nosso valor "p" estiver abaixo do limite, rejeitaremos a nossa hipótese zero. Bem, o que ele fez foi pegar uma amostra de 24 jogos. Então, n = 24. Estes foram os dados que ele obteve. Agora, antes mesmo de calcularmos a nossa estatística qui-quadrado e descobrir qual é a probabilidade de obter uma estatística qui-quadrado tão grande ou maior, vamos ter certeza de encontrar as condições para a inferência para um teste de ajuste do qui-quadrado. Bem, você já viu alguns deles, mas alguns deles são um pouco diferentes. Uma é a condição aleatória. Eu vou escrever aqui. A condição aleatória, e isso significa que há realmente uma amostra aleatória de jogos. Bem, ele nos disse isto aqui. Ele pegou uma amostra aleatória de 24 jogos. Portanto, atendemos essa condição. A segunda condição quando estamos falando sobre testes de hipótese qui-quadrado são as grandes contagens. E precisamos comentar um pouco sobre isso. O número esperado de cada categoria de resultados tem que ser pelo menos igual a 5. Agora, você pode dizer: ei, espere, Pedro só conseguiu 4 vitórias em sua amostra de 24, isso não viola a condição de grandes contagens? Lembre-se, qual é o número esperado de vitórias, derrotas e empates? Se você estivesse assumindo a hipótese zero, onde os resultados têm probabilidades iguais, então, o esperado seria, eu posso escrever isso bem aqui. Seria 1/3, 1/3, 1/3. Portanto 1/3 de 24 é 8. Então, temos 8, 8 e 8. Isto é o que o Pedro esperava. Sendo assim, como todas as categorias são pelo menos iguais a 5, atendemos à condição de grandes contagens. Agora, a última condição que é a condição de independência. Se não estamos com uma amostragem com reposição, pelo menos nós nos sentiríamos bem em relação à independência, se pelo menos o tamanho da amostra fosse menor ou igual a 10% da população. E ele, definitivamente, pode jogar mais de 240 jogos em sua vida. Então, assumiremos que nós estamos atendendo esta condição aqui também. Com isso fora do caminho, nós podemos realmente calcular nossa estatística qui-quadrado. e tentar fazer alguma inferência baseada nela. Vamos ver. A nossa estatística qui-quadrado vai ser igual a, para cada categoria vai ser a diferença entre o esperado e o que ele encontrou naquela amostra, elevado ao quadrado, dividido pelo esperado. Portanto, a primeira categoria é vitórias. Então, isso vai ser (4 - 8)², sobre o esperado o número de vitórias que é 8, mais as perdas. Então, é 13 - 8. 13 é quanto ele conseguiu. Ou seja, quanto ele perdeu, neste caso, menos 8, que era o esperado, isso ao quadrado sobre o número esperado. Mais, agora temos 7 empates menos o número esperado que é 8. Isto elevado ao quadrado, sobre 8. Vamos ver quanto é isso. 4 - 8 = -4 elevando ao quadrado temos 16. 13 - 8 é 5 elevando ao quadrado temos 25. 7 - 8 = -1 e elevando isso ao quadrado nós temos 1. Nós temos agora 16 / 8 que vai ser 2. 25 / 8 que é 3 1/8 e isso é 3,125. Agora, temos 1/8 que é 0,125. Somando tudo isso, temos 2 + 3,125 que é 5,125, mais 0,125. Aí, teremos 5,25. Portanto, a nossa estatística qui-quadrado é 5,25. Agora, para descobrir o nosso valor "p", o nosso valor "p" vai ser igual à probabilidade de obter uma estatística qui-quadrado maior ou igual a 5,25. E você pode usar uma tabela qui-quadrado para encontrar este resultado. E não se esqueça, sempre temos que pensar sobre os nossos graus de liberdade. Temos 1, 2, 3 categorias. Portanto, o nosso grau de liberdade é isto menos 1. Ou seja 3 - 1 = 2. Então, o nosso grau de liberdade é igual a 2. E isto faz sentido, porque se você sabe um certo número de jogos, e se você sabe o número de vitórias, você sabe que há um certo número de perdas, você consegue encontrar o número de empates. Ou se você conhece duas dessas categorias, você sempre pode descobrir a terceira. É por isso que a gente tem aqui 2 graus de liberdade. Vamos pegar, então, a nossa tabela qui-quadrado. Portanto, temos 2 graus de liberdade. Então, estaremos nesta linha. E onde está o 5,25? 5,25 está bem aqui. Então, a nossa probabilidade está entre 0,10 e 0,05. Portanto, o nosso valor "p" vai ser maior que 0,05 e inferior a 0,10. Então, por exemplo, ele estabeleceu um nível de significância de 5%. E o nosso valor "p" aqui é maior que 5%. É o que acabamos de ver. Sendo assim, falharíamos em rejeitar a hipótese zero nesta situação. Mas o problema não está perguntando isso. Tudo o que ele está perguntando é qual é o nosso valor qui-quadrado e qual é o intervalo em que está o nosso valor "p". Bem, vamos ver, 5,25 são estes dois valores. E vimos que temos um valor "p" entre 5% e 10%. Portanto, é a escolha "A", bem aqui. Enfim, meu amigo ou minha amiga, eu espero que você tenha compreendido tudo direitinho o que conversamos. E, mais uma vez, eu quero deixar aqui para você um grande abraço e até a próxima!