Definição aprofundada da distribuição normal

RKA13JL - A distribuição normal é, sem dúvida, o conceito mais importante da estatística. Tudo o que fazemos ou quase tudo o que fazemos em estatística inferencial é baseado em dados e, até certo ponto, baseado na distribuição normal. Então, o que eu quero fazer neste vídeo, nesta planilha aqui, é dar um conhecimento profundo sobre a distribuição normal. O mais profundo que eu puder. E aí, para o resto de suas vidas, se alguém um dia disser, por exemplo, "Nós estamos assumindo uma distribuição normal", aí você pode dizer: "Ora, eu sei o que é isso, eu sei qual é a fórmula, eu sei como usá-la" e assim por diante, etc. E esta planilha aqui está disponível para download neste site: www.khanacademy.org/downloads, aí quando você digitar o "/downloads" e dar um enter, você vai ver tudo que é possível de fazer download lá no site. Mas esta planilha específica ainda está em: /normalintro.xls. Se você entrar lá, você vai pegar esta planilha do jeitinho que está aqui, eu espero ter feito no padrão correto. Mas, de qualquer forma, se você for lá na Wikipédia e digitar "distribuição normal", ou se você tiver que pesquisar por distribuição normal, é isso aqui que você vai encontrar. Eu literalmente copiei e colei isso aqui da Wikipédia. Eu sei que esta fórmula que parece desencorajadora, pois tem um monte de letra grega e tal, mas, por exemplo, este sigma (σ) aqui nada mais é do que o desvio-padrão dessa distribuição. E nós vamos brincar um pouquinho com isso daqui a pouco neste gráfico aqui, ou seja, ver o que isso significa. Você provavelmente sabe o que é o desvio-padrão, né? Mas a gente vai ver como ele se aplica aqui. Essa é uma função de densidade de probabilidades. Eu encorajo você a rever os vídeos sobre função de densidade de probabilidades, porque isso é um pouco como a transição vinda da distribuição binomial, que é discreta. A distribuição binomial vai dizer o seguinte: "Qual é a probabilidade de ter um 5?", e aí você olha para este histograma aqui, ou este gráfico de barras, e diz o seguinte: "Ora, essa é a probabilidade", mas em uma distribuição de probabilidades contínua, ou em uma função de densidade de probabilidades, você não pode apenas dizer qual é a probabilidade de eu tirar um 5, você tem que dizer qual é a probabilidade de que eu tenha entre, digamos, um 4,5 e um 5. Você tem que dar uma faixa de alcance. Aqui eu tenho 5, né? E o que eu quero saber aqui, então, no caso, é entre 4,5, a probabilidade de eu obter entre 4,5 e 5,5, eu tenho que ter uma faixa aqui de alcance. E aí, a probabilidade não é apenas calculada lendo este gráfico, a probabilidade vai ser dada pela área sob essa curva aqui, certo? Sob essa curva. Ou seja, esse pedaço aqui. Para quem entende de cálculo, se p(x) é a nossa função de densidade de probabilidades, não precisa ser uma distribuição normal, embora geralmente seja uma distribuição normal. Então o que quero responder aqui, digamos, é o seguinte: qual é a probabilidade de que amanhã chova entre 4,5 polegadas de chuva e 5,5 polegadas? E a resposta disso vai ser o seguinte, vai ser a integral de 4,5 até 5,5 da p(x), aquela função de densidade de probabilidades, dx. Claro que representa esse gráfico aqui, né? Então, ao calcular a integral, eu vou ter a área sob esse pedaço da curva. Para quem não conhece cálculo, encorajo que assista lista dos vídeos de cálculo, mas tudo o que está dizendo aqui é que essa fórmula aqui da integral é a área sob essa curva, ou seja, a área que vai daqui até aqui, toda esta área que está pintada de verde. Isto aqui não é a distribuição normal, não é uma coisa fácil de se calcular analiticamente. Então, normalmente, se calcula numericamente isso daqui. Você não deve se sentir mal se você não entendeu, você vai lá e calcula numericamente e vê quanto que dá. Você pode pensar: "Ora, como é que eu faço esta integral aqui, coisa doida, né?", mas, na verdade, se você analisar bem aqui, você poderia até aproximar o resultado dessa integral, é ou não é? Você poderia pegar, por exemplo, a área desta figura aqui como sendo aproximadamente a área de um trapezoide, ou seja, aplica a fórmula da área do trapézio que você vai ter uma aproximação para esse resultado. Ou, então, o que você pode fazer, deixa eu só mudar de cor aqui, é calcular esta altura, daqui até aqui, multiplicar pelo valor da base, que você vai ter mais ou menos aqui a área desse retângulo. Vai ser uma boa aproximação também, porque você acaba tendo um extra aqui, esse pedacinho extra, né? Só que vai ter este pedacinho extra aqui em verde, que não vai ser contabilizado, então acaba balanceando um pouquinho. Mas, de qualquer maneira, é uma boa aproximação. E isto aqui, então, essa aproximação, pode dar um senso mais ou menos de como funciona, ou seja, é um senso de que a distribuição normal é o que a distribuição binomial se torna em essência se você fizer muitos lances, ou seja, muitas tentativas, beleza? E eu não sei se eu já falei isso em algum vídeo aqui, mas isso daqui, esse é o gráfico que representa aquela função, né? E aqui eu posso usar até o teorema do limite central. Então, teorema do limite central. Isso é uma das coisas mais importantes ou, então, interessantes sobre o nosso universo. Você pode entender um pouquinho desse limite facilmente se assistir ao vídeo onde eu falo sobre o lançamento de moedas. Ou seja, se nós tivermos que fazer muitos lançamentos de moedas de maneira, claro, individual, se você somar todos esses lançamentos, se você pegar, por exemplo, a probabilidade de tirar uma cara, você vai perceber que à medida que você se aproxima de um número infinito de lançamentos, você irá se aproximar da distribuição normal. E o que é interessante é que cada um desses lançamentos não tem que ter basicamente a distribuição normal, beleza? São pegos individualmente. Então nós poderíamos falar, por exemplo, de interação molecular, ou seja, em cada momento, a componente "x" interage com a componente "y", e o resultado que isso pode gerar não tem que ser normalmente distribuído. Mas o que acontece é, se você pegar uma porção dessas interações, então, subitamente, o resultado final será, sim, normalmente distribuído. E é por isso que esta distribuição normal é tão importante, ela aparece naturalmente a todo momento. Então eu posso, por exemplo, aqui, reescrever essa função da seguinte maneira: Essa p(x) ela vai ser igual a 1 sobre σ vezes a √2π, esse "exp" significa a letra "e", que é uma constante matemática, então "e" elevado a isso aqui, esse vai ser o expoente, então menos... "x" menos a média elevado ao quadrado sobre 2σ elevado ao quadrado. Ora, σ é o desvio-padrão, mas σ elevado ao quadrado, o desvio-padrão elevado ao quadrado é simplesmente a variância. Isso é apenas para você ver, por exemplo, que tem um monte de letra grega aqui, mas não é nenhum bicho de sete cabeças, você pode usar tranquilamente. Isso aqui, então, nos diz a altura da distribuição normal. Por exemplo, digamos que isso é distribuição da altura das pessoas que têm mais de 5,9 polegadas e não zero. Deixa eu tirar o zero daqui, aqui eu vou botar 5,9, beleza? E o que isso lhe diz é que se você quisesse calcular qual é a probabilidade de encontrar alguém que seja grosseiramente 5 polegadas mais alto que a média, o que você poderia fazer, por exemplo, seria pegar esse 5, então, substituir aqui no lugar do "x", e você sabe qual é o desvio-padrão, porque você já fez aí um montão de amostras, né? Você sabe qual é a variância que é isso aqui, que é o desvio-padrão elevado ao quadrado, você sabe também qual é a média, e aí você joga aquele valor do "x", que é o 5, e você vai ter a altura da função. Então você tem que dar aqui uma faixa de alcance, né? Você não pode dizer apenas o seguinte: "Quantas pessoas têm exatamente 5 polegadas a mais do que a média?", ou seja, que tenha 5 polegadas exatamente a mais que a média, você não pode dizer isso. Mas você pode dizer, por exemplo, quando as pessoas são de 4,9 até 5,1 polegadas maior que a média. Você tem que dar aqui uma determinada margem para esse cálculo, porque também é impossível, mesmo no nível atômico, que uma pessoa tenha exatamente 5,9 polegadas de altura, ou melhor, na verdade, 59 polegadas. Então é impossível que uma pessoa tenha 59 polegadas de altura, certo? Estou dizendo aqui exatamente, de maneira exata, até mesmo porque, mesmo a definição de polegada, por exemplo, não é uma definição tão precisa quanto deveria ser, então é assim que você usa essa função. Isso aqui é tão usado, se mostra na natureza a todo momento, mas não só na natureza, como em toda a estatística inferencial. Acho que você tem que se tornar cada vez mais familiar com essa fórmula aí, beleza? Agora deixa eu brincar um pouquinho com essa fórmula apenas para dar uma intuição de como isso daqui funciona na prática, beleza? Deixa eu só apagar isso aqui. Eu posso dizer que essa fórmula aqui, então, é igual ao seguinte, se eu colocar esse σ dentro da raiz quadrada, isso aqui vai ser igual a quanto? Olha só. Ora, quando o σ for lá dentro da raiz, ele vai ficar elevado ao quadrado, sim ou não? Então isso vai ser 1 sobre √2π, que multiplica σ². Na verdade, eu nunca vi essa fórmula de escrita deste jeito, mas isso me dá uma certa intuição de que esse σ² aqui é, claro, a variância, é ou não é? E você sempre calcula a variância antes de calcular o desvio-padrão. Então, isso daqui é interessante. E essa parte aqui pode ser escrita como: "e" elevado a -½, que multiplica o quê? Ora, aqui vai ficar, então, "x" menos a média (μ) sobre σ², é ou não é? Tirei o 2 ali de dentro, então vai ficar (x - μ) sobre σ, tudo isso elevado ao quadrado. Ora, e o que isso significa? O que é isso aqui? O que é (x - μ), essa letra grega μ aqui? Ora, vai ser isso aqui, daqui até aqui, é ou não é? Esse pedaço aqui. E isso aqui, o σ nada mais é que o desvio-padrão. Então, isto daqui me diz quantos desvios-padrão nós estamos nos afastando da média. Isso aqui, de fato, é chamado de "índice padrão z". Eu até falei sobre ele em um outro vídeo. Então, nós elevamos isso ao quadrado e nós multiplicamos isso por -½. Então aqui, por exemplo, poderia escrever da seguinte maneira esta parte aqui: eu posso dizer que "e" elevado a -½ vezes "a" é a mesma coisa que o "e" elevado a "a", elevado ainda a -½. Isso é uma propriedade das potências. Quando você tem uma potência elevada a uma outra potência, você pode simplesmente pegar esses dois aqui e multiplicar. Isso aqui, essa primeira parte, eu poderia escrever como sendo 1 sobre √2πσ², eu estou apenas, no caso, brincando com a fórmula, né? Pois acho que se você vir essa fórmula escrita de várias maneiras diferentes, você pode ter um pouco mais de intuição sobre como ela funciona. Eu acho muito interessante porque essa fórmula tem o π e o "e" nela, é ou não é? Duas constantes matemáticas muito importantes que aparecem nessa fórmula, tantos fenômenos naturais, enfim, são descritos por essa fórmula e, novamente, o π e o "e" se fazem presentes. Então eu poderia, no caso, colocar aqui, no lugar disso aqui, nessa fórmula que eu estou reescrevendo, isso aqui que eu fiz aqui embaixo, ou seja, o "e" elevado a (x - μ) sobre σ, tudo isso aqui elevado ao quadrado e tudo isso daqui, a partir do "e", também elevado, nesse caso aqui, a -½, por essa propriedade que eu expliquei aqui embaixo, certo? Agora, o expoente -½ é a mesma coisa que 1 sobre a raiz quadrada disso aqui tudo, é ou não é? Ou seja, eu poderia reescrever isso aqui tudo, vou fazer aqui embaixo, como sendo 1 sobre √2πσ², que nada mais é que a variância, vezes "e" elevado a isso aqui, como nós dissemos, isso aqui é igual a "z", "z" é quantas vezes, ou seja, quantos desvios-padrão nós estamos afastados da média. Então seria "e" elevado a "z", que ainda está elevado ao quadrado, certo? E de repente, toda aquela fórmula de cima se torna algo muito claro, olha aqui, 1 sobre... Você pode simplesmente dizer √2π vezes a variância vezes "e" elevado ao número de desvios-padrão que nós estamos afastados da média elevado ao quadrado. Ou seja, a raiz quadrada disso aqui tudo, você pega o inverso, e aí você tem a distribuição normal. Agora você já sabe pelo resto da sua vida que você pode pegar esta fórmula aqui, na verdade, brincar um pouquinho com ela que você vai ter um entendimento mais profundo do que ela significa, é ou não é? Pois bem, agora vamos mudar aqui alguns parâmetros que estão escritos na planilha. Aqui é o seguinte, nós temos a média, que está em zero, o desvio-padrão, que está em 4, e a variância, 16, é o quadrado do desvio-padrão, é ou não é? Agora deixa eu mudar esse parâmetro aqui da média, por exemplo, para 5, vamos ver o que vai mudar no gráfico. Olha lá para o gráfico. Enter... 5, e o gráfico andou para a direita 5 unidades, olha aqui. Ele estava centralizado aqui e agora está à direita 5 unidades. E agora o que vai acontecer se eu mudar de 5 aqui para -5? Vamos ver. -5, enter, e o gráfico se deslocou 5 unidades para a esquerda a partir da origem, a partir daqui do centro, é ou não é? Na verdade, ele estava centrado aqui nos 5 anteriormente, veio para o -5, então ele se deslocou, na verdade, 10 unidades para a esquerda, em relação ao centro, 5 unidades para a esquerda. O que vai acontecer agora se eu mudar o desvio-padrão? Ora, o desvio-padrão é o quê? Ele é a raiz quadrada da variância, e a variância é a distância ao quadrado em relação à média. Então, o desvio-padrão é como se fosse a distância intermediária em relação à média, então quanto menor o desvio-padrão, mais próximo da média um conjunto de pontos estará. Então vamos mudar aquele parâmetro do desvio-padrão, vamos botar um 2, vamos diminuir. Vamos ver o que vai acontecer, suspeito que o gráfico vai ficar mais estreito, vai ficar mais longo aqui para cima e mais estreito. Exatamente por isso que eu expliquei agora, vamos dar o enter. Enter, olha aí o que aconteceu. Exatamente o que eu previa, é ou não é? Como eu diminuí o desvio-padrão, ele tende a ficar mais próximo da média do que longe. Agora vamos aumentar, vamos colocar 10 aqui no desvio-padrão, em vez de 2, 10. Olha o que vai acontecer, esticou o gráfico, ficou mais achatado, e essa aqui é a grande diferença, pois a distribuição binomial é sempre finita, você pode ter apenas um número finito de valores, enquanto a distribuição normal é infinita, ela segue aqui para o mais infinito e para o menos infinito também. Ou seja, ela é definida sobre todos os números reais na reta real aqui, beleza? Ou seja, analisando esse gráfico aqui, por exemplo, a probabilidade de eu obter um mil aqui nesse gráfico, lá embaixo, é muito, muito, muito pequena, mas ela existe, beleza? Exatamente porque ela é infinita, ela nunca vai encostar aqui no eixo do "x". O que isso quer dizer? Por exemplo, há uma pequena, pequeníssima probabilidade de os átomos do meu corpo se organizarem de maneira que eu, por exemplo, atravesse a cadeira que estou sentado agora. É algo extremamente improvável, mas tem umas chances de acontecer, sim. A distribuição normal diz exatamente isso, que qualquer coisa pode acontecer, mesmo que ela seja muito improvável. Quando você calcula a distribuição normal, você não pode simplesmente olhar para um ponto no gráfico, você tem que calcular a área sob a curva, por baixo da curva, beleza? E essa área debaixo da curva está sempre entre dois pontos. Então, digamos, por exemplo, que esta aqui é a nossa distribuição normal e que eu queira saber qual é a probabilidade de eu ter um zero. Eu não sei qual fenômeno está sendo descrito aqui, mas quero saber a probabilidade de eu obter um zero. E aí, se eu disser exatamente zero, olha aqui, a probabilidade é zero. Exatamente porque não há nenhuma área aqui neste intervalo, é só o zero, né? Então seria uma linha reta, não tem área. O que eu tenho que fazer aqui então é dar uma margem, por exemplo, a probabilidade entre -0,05 e +0,05. Deixa eu digitar isso aqui. Aqui em cima, está vendo? Isso aqui vai ser o quê, então? Eu vou digitar aqui -0,05 e aqui do outro lado, 0,05, e dar um enter. Você vê que deu uma probabilidade muito pequena. Agora deixa eu botar aqui -1 até 1. -1 até 1. Enter. Olha lá, 7%. E o que 7% significa? Como que se calcula esse 7%? Deixa eu mostrar para você aqui agora, olha só. Vou mostrar o que o Excel está fazendo aqui nesse caso. A gente está indo do -1, que está por aqui assim, até o 1, que está por aqui assim. E aí, ele está calculando a área debaixo dessa curva aqui, que vai ser então essa área aqui. E para as pessoas que entendem cálculo, essa área aqui é o que, na verdade? Ela é a integral de -1 até 1 disso aqui tudo. Onde, neste caso, o σ vale 10 porque ele é o de vídeo desvio-padrão, né? A média, que é no lugar do μ aqui, vale -5, e aí eu vou agora colocar nessa integral isso aqui, substituindo os valores. Então a integral de -1 até 1 de quê? De 1 sobre o desvio-padrão, que é o σ, que vale 10, então aqui vai ficar o 10, √2π, tudo isso multiplicado por "e", que está elevado a -½ vezes o quê? Vezes isso aqui, né? "x" menos μ, né? Como μ é -5, então vai ficar +5, -(-5), que dá +5, sobre a variância, a variância é 100, então aqui vai entrar o 100, e tudo isso aqui ainda está elevado ao quadrado. E aí, é claro como é uma integral, vamos colocar o "dx". E aí, o resultado dessa conta toda aqui, dessa integral, vai dar 7%, beleza? Ou, é claro como todo mundo sabe, 7% é 7 sobre 100, e a área debaixo dessa curva aqui, então, é de 0,07. Porém, essa integral aqui não é uma coisa fácil de se calcular analiticamente, até mesmo para quem conhece cálculo. Então ela tende a ser resolvida numericamente. E aí existe uma outra coisa que você pode usar que vai facilitar na hora de calcular essa área, que é a função de distribuição cumulativa. E o que é a função de distribuição cumulativa? Ora, a função de distribuição cumulativa é uma função em relação a "x", isso nos dá a área sob a curva de uma região que vai até o "x". Então digamos que o "x" esteja por aqui assim. Aqui está o "x", e essa função vai nos dar essa área toda aqui, daqui até o "x", certo? Uma outra maneira de ver isso aqui é o seguinte: Qual é a probabilidade que você pare em um valor que seja menor que "x"? Então ela é a integral de menos infinito até o valor "x" dessa nossa função aqui, da função de densidade de probabilidades. Ou seja, p(x)dx. E aí quando você usa essa função de distribuição normal no Excel, você normalmente faz o seguinte, vou colocar aqui como "norm.dist", tá? E aí você tem que fornecer o "x", a média, que é o μ, você fornece o desvio-padrão, que é o σ, e aí você diz, sempre que você quiser a distribuição cumulativa, nesse caso você diz "verdadeiro". Ou, se você quiser apenas essa distribuição normal, então você diz "falso". Então, se eu quisesse plotar, digamos, isso que a gente fez aqui, eu colocaria em letras maiúsculas "falso", ou em inglês, "false", né? Agora deixa eu só chegar aqui um pouquinho para baixo para a gente mostrar melhor a função de distribuição cumulativa, olha aí. Quando você diz "verdade" lá em cima, que eu falei "falso" ou "verdadeiro", quando você diz verdade, ou "true", em inglês, você obtém esse gráfico aqui, que é o gráfico da função de distribuição cumulativa. Então aqui você pode ver a distribuição normal e a função de distribuição cumulativa, a diferença dos gráficos. Só como exemplo, digamos que eu queira calcular a probabilidade de obter um número menor que 20, 20 está aqui, né? Então eu quero qualquer valor menor que 20 dada esta distribuição normal aqui. E aí, quando você vem aqui no gráfico da função de distribuição cumulativa, você vê que, para obter um número menor que 20, é bem alta probabilidade, é quase 100%, está aqui, é ou não é? E isso, claro, faz todo o sentido, porque a maior parte da área sob essa curva está exatamente antes do 20. A maior área possível aqui, no caso, ela está aqui nesta região, sim ou não? Se eu quiser saber também, por exemplo, a probabilidade de obter um número menor que -5, como -5 está bem aqui na média, a probabilidade vai ser bem aqui, 50%, é ou não é? Deixa eu baixar aqui para você ver melhor como está exatamente aqui no -5, ó, 50%, pois é exatamente metade da área do gráfico, a outra metade está à direita do -5. E aí, quando eu quero calcular aqui, por exemplo, a probabilidade de eu tirar um número entre -1 e 1, o que eu faço aqui? Deixa eu apagar primeiro toda esta coisa que eu escrevi aqui. O -1 está por aqui assim, né? Então eu calculo toda essa área aqui, à esquerda do -1, certo? Ou seja, tudo isso aqui, toda essa área aqui antes do -1, e aí depois eu calculo a probabilidade de obter um número menor que 1. Deixa eu mudar a cor aqui só para a gente analisar melhor. O 1 está por aqui assim, ó. Então, eu calculo a probabilidade do 1, que vai ser isso aqui, beleza? Depois, é só calcular essa diferença, ou seja, eu subtraio a área amarela dessa área aqui toda, que está feita em violeta. E quando eu faço isso, eu obtenho exatamente essa área aqui, que é o que eu quero, ó. Então o que eu descobri aqui foi o seguinte: a probabilidade de eu obter, digamos, o 1, o zero está aqui, o 1 está por aqui assim. Ele está bem aqui, né? E aí, depois de ter o -1, números menores que -1, está por aqui assim, e a diferença entre estas duas, eu vou subtrair este número aqui desse número aqui, e isso me diz a probabilidade de que eu esteja entre estes dois números, beleza? Ou seja, exatamente esta área aqui, certo? Quando eu fizer isso, eu calculo esta área aqui. Eu encorajo você a brincar com o Excel um pouquinho e tentar descobrir as propriedades dessas coisas que a gente está falando aqui neste vídeo, beleza? E aí, é o seguinte, quando você volta aqui para este gráfico da distribuição normal, a gente tem que isso aqui, essa linha, é a média, né? Aqui, eu tenho um desvio-padrão, aqui, eu tenho outro desvio-padrão, certo? Aqui, eu tenho um desvio-padrão abaixo da média e um desvio-padrão acima da média. E aí, e se eu quiser saber, digamos, a probabilidade de eu estar bem próximo aqui da média, né? Então eu vou colocar aqui na probabilidade um desvio-padrão. A média a gente sabe que é -5, né? Que está aqui neste gráfico. Então vou colocar de -15 até o desvio-padrão acima da média, ou seja, -5 + 10, que vai dar 5. E aí, eu obtenho 68,3% e sempre será assim, você sempre vai ter uma probabilidade de 68,3% de estar dentro de um desvio-padrão em relação à média. Tudo isso, claro, assumindo que a gente tenha uma distribuição normal. E aí, só para ficar claro, deixa eu apagar isso aqui também, esse número de 68,3% que nós acabamos de calcular é exatamente a área desta região aqui debaixo da curva entre os dois desvios-padrão, né? E aí, eu posso comparar esse resultado que eu obtive aqui, de 68,3%, com a função de distribuição cumulativa. Olha aí, vamos ver, então, como é que vai ficar isso. A gente está analisando, então, a área da região que vai estar entre o 5, né? 5 está aqui, ó. Certo? Aqui o 5, bem por aqui, assim. E o -15. Olha o -15 aqui. -15 está aqui. Agora, então, eu preciso subtrair este número aqui desse número. Então, digamos que esta probabilidade aqui seja de 18% e aí, quando eu fizer essa subtração que eu falei, eu vou obter exatamente aquele resultado de 68,3%, certo? Então o que isso essencialmente quer dizer? Deixa eu apagar aqui só para você entender melhor. Quando eu pego esta parte dos 5, esse valor aqui na função de distribuição cumulativa do 5, eu calculo esta área aqui, certo? Esta área toda do 5 em diante aqui para a esquerda. E todos os números menores do que 5. E aí, quando eu calculo essa probabilidade aqui do -15, eu estou fazendo -15 para a esquerda, certo? Dos números menores que -15. Então eu pego esta área aqui. E aí, quando eu subtraio esta área aqui do -15 para a esquerda dessa área toda aqui, do 5 para a esquerda, eu vou ter exatamente aquele valor, 68,3%, que é esta área aqui que está sob, debaixo desta curva, beleza? Está claro? Então, aqui eu fiz apenas alguns exemplos só para você perceber como funciona, dar um pouquinho de intuição sobre o que é a distribuição normal e tudo o mais. O que quero, na verdade, é que você pegue essa planilha e brinque um pouquinho com ela. Por exemplo, aqui, digamos que eu queira que a média agora, em vez de -5, seja 5. O que vai acontecer? Olha para o gráfico. Enter. O gráfico foi todo para a direita. Deixa eu apagar isso aqui, né? Esses gráficos que eu fiz aqui. Só para você analisar melhor, que esse gráfico saiu daqui da média, era -5, agora ele foi 5 unidades para a direita do zero, certo? Então 10 unidades a direita de onde ele estava antes. Ou seja, o que aconteceu aqui é que ele saiu daqui e veio para cá, né? E aí, por exemplo, se eu fizer... Eu quero fazer o desvio padrão valendo 6, olha o que vai acontecer com o gráfico. Ele deu uma estreitada, ele ficou mais estreito, sim ou não? E aí, se eu diminuir mais ainda o desvio-padrão, colocar 2 e der um Enter aqui, olha só o que acontece. Ficou ainda mais estreito. Eu plotei os números, o gráfico está representando aqui apenas os números que estão entre o -20 e o 20, certo? E aí, eu fui incrementando esses valores em uma unidade, 20, -19, -18. Então o que acontece aqui, na verdade, é que essa linha não uma linha contínua, são pontos, -20, e depois outro ponto no -19, e aí conecta estes pontos com uma linha reta. Aqui, eu calculei a distância de cada um destes pontos e a média e isso me diz o seguinte, por exemplo, que o ponto -20 é 25 a menos que a média, olha aqui, a média está aqui no 5, né? Então, -20 está a 25 unidades, ele é 25 a menos do que a média, beleza? Daí, aqui, à direita, eu vou ter aquele valor, esse valor anterior aqui dividido por σ, ou seja, dividido pelo desvio-padrão, isso daqui é o índice "z" padronizado. Ou seja, o índice "z", né? Índice "z". Isso me diz a quantos desvios-padrão esse -20 está lá da média. E neste nosso caso aqui, o -20 está a 12,5 desvios-padrão da média, abaixo da média, está negativo aqui, é ou não é? Aí, aqui eu vou ter a altura, né? Por exemplo, aqui no, digamos, -2, a altura do -2 está onde? Está por aqui assim, mas a do 2 está um pouquinho melhor. A altura do 2 está por aqui. Então vão ser estes valores aqui, certo? Depois joguei isso na função de distribuição cumulativa e aí me deu a probabilidade, olha aí. Então isso é a probabilidade de que eu esteja menor do que estes números aqui, certo? E apesar de aqui estar marcando 0%, na verdade, não é zero, é uma probabilidade muito, muito, muito pequena, só que foi arredondada, por isso que deu 0,0, está com uma casa decimal aqui apenas. Se eu colocasse várias casas decimais e aparecesse, sei lá, 0,000000... e lá no final, um 1, isso aqui, no caso, foi arredondado, certo? E outra coisa que você tem que ter na sua mente é que a probabilidade de você, desde o menos infinito até o mais infinito, essa probabilidade vai ser igual a 1, é 100%, porque você vai estar pegando toda a área sob esta curva aqui, certo? Isso pode acontecer, por exemplo, se eu colocar um número muito pequeno aqui, digamos -1.000, e um número muito grande aqui, digamos 1.000. Olha lá, vai dar 100%, mas, na verdade, não é 100%, pois eu tenho números ainda menores que -1.000 e maiores do que 1.000 que ainda vão ter uma probabilidade muito pequena, mas que existe, certo? Isto aqui está apenas arredondado, não é 100% na verdade. Aqui, provavelmente daria 99,99999%, por exemplo. E para calcular, no caso, foi arredondado, mas para calcular isso daqui, na verdade, eu peguei a função de distribuição cumulativa deste ponto, números menores que este, a função de distribuição cumulativa deste outro ponto aqui, números menores que -1.000, subtraí, e aí encontrei este valor aqui próximo de 100%, beleza? Eu espero que este vídeo aqui tenha dado uma visão bacana sobre a distribuição normal. Eu encorajo realmente você a brincar com esta planilha ou até mesmo, quem sabe, fazer uma planilha dessa você próprio, por sua conta. A gente pode, até em exercícios futuros, por exemplo, fazer uma planilha mais ou menos parecida com essa, mas modelada para o que a gente quer, por exemplo, para o mercado financeiro etc. Tá bom? Então este vídeo é sobre isso, espero que você tenha gostado. Até o próximo vídeo!