Tabela normal padrão para proporção abaixo

RKA1JV - A altura de um grupo de alunos de ensino fundamental tem distribuição normal com uma média de 150 centímetros. E um desvio-padrão de 20 centímetros, Darnell é um aluno de ensino fundamental e tem 161,4 centímetros de altura. Qual proporção de alunos tem altura menor do que a de Darnell? Vamos entender o que ele está perguntando. Ele disse que a altura tem uma distribuição normal. Vou colocar aqui uma curva normal para a gente dar uma olhada. Nesse caso aqui, a média dessa distribuição é de 150 centímetros. Vou colocar aqui que a média é de 150 centímetros. Já o Darnell tem 161,4 centímetros. Ele está aqui um pouquinho acima da média. Vou colocá-lo aqui, não está exato, mas dá para ter uma ideia. Ele quer saber qual é a proporção dos alunos que são menores do que o Darnell. O que a gente tem que descobrir é qual é essa área aqui, debaixo da curva normal que está para trás da linha do Darnell. Isso vai dar para a gente essa proporção que ele está pedindo. Mas como a gente pode fazer isso? Um jeito é a gente pensar em quantos desvios-padrão o Darnell está para cima da média. A gente consegue fazer isso porque a gente sabe qual é o desvio-padrão das alturas. E a gente sabe qual é a diferença entre a altura do Darnell e a média. E quando a gente descobrir quantos desvios-padrão ele está acima da média que é o nosso índice "Z", a gente pode olhar numa tabela "Z", que vai dizer para a gente qual proporção é menor do que aquele número em uma distribuição normal como essa aqui. Vamos fazer isso, vou abrir minha calculadora aqui para facilitar as contas. O Darnell tem 161,4 centímetros e a média é 150 centímetros. O Darnell é 11,4 centímetros acima da média. Quantos desvios-padrão acima da média é isso aqui? O desvio-padrão é 20 centímetros. Se a gente pegar isso aqui e dividir por 20, a gente vai ter 0,57. Então, o Darnell é 0,57 desvios-padrão acima da média. Esse aqui, então, é o nosso índice "Z" que a gente vai olhar na tabela. Deixe-me abrir a tabela aqui. Essa aqui, então, é uma tabela "Z". Ela parece um pouco confusa, um pouco complicada na primeira vez que a gente olha. Mas, na verdade, ela é bem simples. É só a gente lembrar que o índice "Z" é a quantidade de desvios-padrão que a gente está acima da média numa distribuição normal. Então, aqui nessa tabela, a primeira coluna dela tem o índice "Z" até a casa dos décimos. Depois, em cada coluna subsequente, a casa dos centésimos. Vamos supor, aqui, que tenha uma pessoa nessa turma que tem exatamente a média. Tem exatamente 150 centímetros. Ela vai estar zero desvio-padrão acima da média. Claro, ela está em cima da média. Se a gente fosse procurar essa pessoa aqui, ela estaria no "zero zero". Olha o número que está aqui, 0,5, ou seja, se o seu índice "Z" for zero, vai ter 50% do gráfico para trás da sua curva normal. Que é exatamente o que vai acontecer se você estiver na média. Só que aqui no nosso caso, o Darnell não está na média, ele está um pouquinho acima, ele está 0,57 desvios-padrão acima da média. Então, vamos procurá-lo aqui. A gente viria aqui no 0,5, iria acompanhar essa linha aqui até chegar no 0,7 aqui. E a gente iria encontrar esse número, que significa o quê? Significa que 71,57% das pessoas seriam mais baixas do que o Darnell, caso a distribuição das alturas realmente siga uma curva normal. Ou seja, elas estariam para trás dele aqui no gráfico. Mas, como exercício pediu a proporção de alunos que têm altura menor do que ele, então seria essa aqui mesmo, 0,7157. Com 4 casas decimais, que foi como ele pediu.