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Complemento relativo ou diferença entre conjuntos

Neste vídeo, mostramos um exemplo de como encontrar o complemento relativo ou a diferença de dois conjuntos A e B. Versão original criada por Sal Khan.

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Transcrição de vídeo

RKA11C O que quero fazer neste vídeo é definir a diferença entre o conjunto "A" e o conjunto "B". E, para começar, eu vou colocar aqui o meu conjunto "A". Deixe-me só colocar no mesmo tom de verde que eu coloquei anteriormente. Então, eu vou colocar aqui o meu conjunto "A"... E aqui eu tenho os meus conjuntos que estão definidos de forma numérica, mas poderiam ser, sei lá, animais de fazenda ou presidentes famosos... enfim. Eu coloquei números, porque quero manter as coisas bem simples. Eu vou começar aqui com o meu conjunto "A", e agora vou subtrair aqui o meu conjunto "B". E essa é uma das maneiras de fazer isso. E o que será "A" menos "B"? Vamos colocar aqui. Bom, vamos pensar um pouco sobre isso. Na verdade, o conjunto "A menos B" vai ser o quê? Vai ser tudo que tem em "A", mas não tem em "B". O que eu vou fazer é pegar todos os elementos do conjunto "A" e retirar os que estão no conjunto "B". Então eu vou retirar o elemento 17 e o elemento 19. É, na verdade, eu teria que retirar o elemento número 6 também, mas aqui eu não tenho o 6. Bom, vamos pensar nisso aqui. Vamos lá. Então eu terei o 5, o 3... o 17 não entra, porque ele está aqui. Então agora eu vou colocar o 12, o 17 eu tenho que retirar, e agora eu vou colocar... Bom, o 19 também não posso, porque ele já está aqui. Não tenho mais elemento nenhum para colocar, então eu posso fechar aqui o meu conjunto. Por fim, este aqui é o conjunto "B" subtraído do conjunto "A". Logo, a nossa maneira de pensar nisso foi: pegamos todos os elementos que estavam no conjunto "A", mas não estavam no conjunto "B". E uma outra maneira seria pensar em todos os elementos que não estão no conjunto "B", mas estão no conjunto "A". Bom, deixe-me escrever isso aqui para ficar um pouco mais claro. Logo, você pode ver isso como "B" subtraído de "A". Então, "B" subtraído de "A". Esta é uma das maneiras de se ver isso. Ou ainda, você pode ver isso como um complemento relativo de "B em A". Então, complemento relativo de "B em A". A gente ainda vai falar um pouco mais sobre o complemento, vai ver várias coisas sobre isso. Mas, só para termos uma ideia, o complemento relativo de "B" é todas as coisas que não estão em "B". Então, não estão em "B". Todas as coisas que não estão "B" são um complemento relativo ao conjunto "B". Bom, e essas coisas têm que estar em "A". Neste caso aqui, complemento relativo de "B em A". Você poderia pensar: "Ah, então são todas as coisas, todos os números que não estão no conjunto 'B'." Bom, então você deve estar pensando em todos os números do universo, não é? Você poderia até ser um pouco mais abrangente... sei lá, poderia pensar até em cores. Imagina? Pode ser uma cor laranja, que também não está aqui dentro deste conjunto. Poderia ser qualquer coisa que não está dentro do conjunto, mas aqui nós estamos tratando de números. Então, vamos ficar só com números por enquanto. E, neste caso, também estamos tratando do complemento relativo de "B em A". Então são todos os elementos que não estão "B", mas estão em "A". E todos os elementos que não estão "B", mas estão em "A" são 5, 3 e 12. Porque não tem mais elementos que estejam em "A" e não estejam em "B". E agora que você entendeu isso, como subtrair o conjunto "B" do conjunto "A", você vai ficar com a seguinte dúvida: "Bom, eu tinha aqui o conjunto 'A', 5, 3, 17, 12 e 19, e, quando eu subtraí o conjunto 'B', entendi que você subtraiu aqui o 17. Aí, eu retirei o 17 do conjunto e também retirei o 19, mas eu não deveria ter também subtraído o número 6? Porque, se fosse em outro sistema, sei lá, se a gente estivesse fazendo uma conta, poderia dar o número 6 negativo ou alguma coisa assim... Mas, neste caso aqui dos conjuntos, o que acontece?". Bom, na verdade, esse número 6 é uma zebra. Porque nós não temos ele aqui em cima e temos aqui embaixo. Mas, na verdade, isso não altera muito, porque, quando a gente tem um número que não está no outro conjunto, por exemplo, o número não está aqui no conjunto "A", não temos o 6 aqui, isso não faz a menor diferença. A gente pode esquecer o 6 para lá, e a gente vai continuar tendo a nossa operação de subtração para conjuntos bem definida. O importante é retirar do conjunto "A", os números que estão no conjunto "B". Mas, se não tiver o número, não tem problema nenhum. Você pode ter várias zebras aqui no conjunto "A", e isso não vai mudar em nada o seu problema. E uma outra maneira de denotarmos "A" menos "B", ou "B" subtraído de "A", seria escrever de outra forma, seria escrever assim: escrever "A", e depois teríamos uma figura mais ou menos assim, e então colocamos aqui o "B". Isso parece estranho, não é? Parece que é um sinal de divisão, mas, quando tratamos de conjuntos, isto aqui também significa subtração de conjuntos. Isso significa pegar os elementos que estão no conjunto "A" e retirar os elementos do conjunto "B", ou pegar os elementos do conjunto "B" e retirá-los do conjunto "A". Tanto faz a maneira de pensar. E você poderia dizer que é o complemento relativo de "B em A". Bom, uma outra maneira de fazermos isso... vamos pensar agora no contrário. Vamos tentar fazer agora "B" barra... "B" menos "A". Então, o que seria isso? Bom, nós podemos escrever isso como sendo "B" menos "A". Então, "B" menos "A". Podemos escrever dessa forma. Isso vai ser igual ao quê? Vai ser igual... agora vamos pensar aqui. Então nós temos o conjunto "B", e o conjunto "B"... Eu vou retirar os elementos que estão no conjunto "A", tem que pensar o "B" como sendo o universo. Então eu vou pegar tudo que tem em "B" e vou colocar aqui. Só que eu tenho que retirar o que tem em "A". Por exemplo, o 17 eu já tenho no conjunto "A", então não posso colocar ele aqui, porque é tudo que está em "B", mas não está em "A". Então aqui eu tenho o 19, o 19 também está em "A", e agora sobrou o 6, mas o 6 não está em "A", a gente não precisa retirá-lo do conjunto. Então a gente tem o 6 como sendo resultado de "B" menos "A". A gente vai colocar aqui somente o 6, o único elemento, o que torna este conjunto aqui unitário. E, por fim, o que aconteceria se eu pegasse o complemento de "A", em relação a "A"? Bom, isto aqui seria "A" menos "A". Então, eu teria que pegar todos os elementos de "A" e retirar os elementos de "A". Vou começar aqui com o número 5. Eu tenho o número 5 e vou retirar o número 5, porque ele está em "A". E também eu vou pegar o número 3, vou retirar o número 3, porque ele também está em "A". A mesma coisa com o 17, a mesma coisa com o 12, o 19 também... Enfim, não vai sobrar ninguém! Este conjunto aqui vai ficar como? Ele vai ficar vazio. Então este conjunto também é chamado de conjunto vazio. Este aqui é o conjunto vazio. E uma outra maneira de denotar isso é pôr este símbolo aqui, que a gente chama de conjunto nulo. E por que conjunto nulo ou conjunto vazio? Porque não tem nenhum elemento dentro dele. Espero que vocês tenham gostado, até um próximo vídeo!