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Probabilidade condicional e independência

Em probabilidade, dizemos que dois eventos são independentes quando o fato de saber que um evento ocorreu não altera a probabilidade do outro evento.
Por exemplo, a probabilidade de uma moeda justa mostrar "cara" depois de ser lançada é de 1/2. E se soubéssemos que o dia era terça-feira? Isso altera a probabilidade de se tirar "cara"? É claro que não. A probabilidade de se tirar "cara", sabendo que o dia é terça-feira, continua sendo 1/2. Então, o resultado de se lançar uma moeda e de o dia ser terça-feira são eventos independentes; saber que era terça-feira não mudou a probabilidade de se tirar "cara".
Nem toda situação é tão óbvia quanto essa. Por exemplo, gênero e dominância de um lado do corpo (canhoto ou destro)? Talvez pareça que o gênero de uma pessoa e o fato de ela ser canhota sejam eventos totalmente independentes. Mas, quando analisamos as probabilidades, vemos que cerca de 10% de todas as pessoas são canhotas, mas que aproximadamente 12% das pessoas do sexo masculino são canhotas. Sendo assim, esses eventos não são independentes, já que saber que uma pessoa qualquer é do sexo masculino aumenta a probabilidade de que ela seja canhota.
A ideia principal é que verifiquemos a independência com probabilidades.
Dois eventos, A e B, são independentes se P(| B)=P(A) e P(| A)=P(B).

Exemplo 1: renda e universidades

Pesquisadores entrevistaram alunos recém-formados de duas universidades diferentes quanto à renda anual deles. A tabela a seguir mostra os dados de 300 alunos que responderam à pesquisa.
Renda anualUniversidade AUniversidade BTOTAL
Inferior a $20.000362460
De $20.000 a $39.99910956165
Igual ou superior a $40.000354075
TOTAL180120300
Suponha que tenhamos escolhido um aluno aleatoriamente a partir desses dados.
Os eventos "renda igual ou superior a $40.000" e "frequentou a Universidade B" são independentes?
Vamos verificar usando a probabilidade condicional.
Exemplo 1: problema A
Qual é a probabilidade de um aluno selecionado aleatoriamente receber $40.000 ou mais?
P(igual ou superior a $40.000)=
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7/4
  • um número misto, como 1 3/4
  • um número decimal exato, como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi

Exemplo 1: problema B
Qual é a probabilidade de um aluno selecionado aleatoriamente receber $40.000 ou mais, sabendo-se que ele era da Universidade B?
P(igual ou superior a $40.000| Uni. B)=
  • Sua resposta deve ser
  • uma fração própria, como 1/2 ou 6/10
  • um número decimal exato, como 0,75

Exemplo 1: problema C
Os eventos "renda igual ou superior a $40.000" e "frequentou a Universidade B" são independentes?
Escolha 1 resposta:

Exemplo 2: renda e universidades (continuação)

Aqui estão os mesmos dados do exemplo anterior:
Renda anualUniversidade AUniversidade BTOTAL
Inferior a $20.000362460
De $20.000 a $39.99910956165
Igual ou superior a $40.000354075
TOTAL180120300
Suponha que tenhamos escolhido um aluno aleatoriamente a partir desses dados.
Os eventos "renda inferior a $20.000" e "frequentou a Universidade B" são independentes?
Vamos verificar usando a probabilidade condicional.
Exemplo 2: problema A
Qual é a probabilidade de um aluno selecionado aleatoriamente receber menos de $20.000?
P(inferior a $20.000)=
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7/4
  • um número misto, como 1 3/4
  • um número decimal exato, como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi

Exemplo 2: problema B
Qual é a probabilidade de um aluno selecionado aleatoriamente receber menos de $20.000 sabendo-se que ele era da Universidade B?
P(inferior a $20.000| Uni. B)=
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7/4
  • um número misto, como 1 3/4
  • um número decimal exato, como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi

Exemplo 2: problema C
Os eventos "renda inferior a $20.000" e "frequentou a Universidade B" são independentes?
Escolha 1 resposta:

E se as probabilidades forem muito próximas?

Quando verificamos independência em conjuntos de dados no mundo real, é raro conseguir probabilidades perfeitamente iguais. Quase todos os eventos reais que não envolvem jogos de azar são dependentes em algum grau.
Na prática, muitas vezes assumimos que eventos são independentes e testamos essa suposição em dados da amostra. Se as probabilidades forem significativamente diferentes, então concluímos que os eventos não são independentes. Aprenderemos mais sobre esse processo em estatística inferencial.
Por último, tenha cuidado para não tirar conclusões sobre causa e efeito, a menos que os dados sejam obtidos de um experimento bem desenvolvido. Como desafio, você consegue pensar em algumas variáveis externas (sem ser as universidades) que possam ser a causa da diferença de renda entre os alunos das duas universidades do Exemplo 2?

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