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Curso: Estatística e probabilidade > Unidade 7

Lição 9: Probabilidade condicional e independência
Matemática
Estatística e probabilidade
Probabilidade
Probabilidade condicional e independência
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Diagramas de árvore e probabilidade condicional

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Exemplo: bagagens em um aeroporto

Um aeroporto monitora bagagens contra itens proibidos e um alarme deve disparar toda vez que um item proibido for detectado.
  • Suponha que 5% das bagagens contenham itens proibidos.
  • Se uma bagagem contém um item proibido, há uma chance de 98% de o alarme disparar.
  • Se uma bagagem não contém nenhum item proibido, há uma chance de 8% de o alarme disparar.
Dado que uma bagagem escolhida aleatoriamente dispare o alarme, qual é a probabilidade de ela conter um item proibido?
Vamos dividir esse problema em partes menores e resolvê-lo passo a passo.

Iniciar um diagrama de árvore

A chance de o alarme disparar depende do fato de a bagagem conter, ou não conter, um item proibido; portanto, primeiramente, devemos fazer uma distinção entre as bagagens que contêm e as que não contêm um item proibido.
"Suponha que 5% das bagagens contenham itens proibidos".
Questão 1
Qual é a probabilidade de uma bagagem escolhida aleatoriamente NÃO conter um item proibido?
P(sem item proibido)=
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7/4
  • um número misto, como 1 3/4
  • um número decimal exato, como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi

Preencher o diagrama de árvore

"Se uma bagagem contém um item proibido, há uma chance de 98% de o alarme disparar".
"Se uma bagagem não contém um item proibido, há uma chance de 8% de o alarme disparar".
Podemos usar esses fatos para preencher os próximos ramos do diagrama de árvore assim:
Questão 2
Dado que uma bagagem contém um item proibido, qual é a probabilidade de o alarme NÃO disparar?
?1=
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7/4
  • um número misto, como 1 3/4
  • um número decimal exato, como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi

Questão 3
Dado que uma bagagem NÃO contém um item proibido, qual é a probabilidade de o alarme NÃO disparar?
?2=
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7/4
  • um número misto, como 1 3/4
  • um número decimal exato, como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi

Completar o diagrama de árvore

Para completar o diagrama de árvore, multiplicamos as probabilidades ao longo dos ramos.
Esse é o diagrama completo:

Resolver o problema original

"Dado que uma bagagem escolhida aleatoriamente dispare o alarme, qual é a probabilidade de ela conter um item proibido?"
Use as probabilidades do diagrama de árvore e a fórmula da probabilidade condicional:
P(proibido | alarme)=P(P∩A)P(A)
Questão 4
Calcule a probabilidade de uma bagagem escolhida aleatoriamente conter um item proibido E disparar o alarme.
P(P∩A)=
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7/4
  • um número misto, como 1 3/4
  • um número decimal exato, como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi

Questão 5
Calcule a probabilidade de uma bagagem escolhida aleatoriamente disparar o alarme.
P(A)=
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7/4
  • um número misto, como 1 3/4
  • um número decimal exato, como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi

Questão 6
Dado que uma bagagem escolhida aleatoriamente dispare o alarme, qual é a probabilidade de ela conter um item proibido?
Use três casas decimais em sua resposta.
P(P|A)=
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7/4
  • um número misto, como 1 3/4
  • um número decimal exato, como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi

Agora é a sua vez!

Um hospital está fazendo testes em pacientes para verificar uma determinada doença. Se um paciente tiver a doença, o teste deve retornar um resultado "positivo". Se o paciente não tiver a doença, o teste deve retornar um resultado "negativo". No entanto, nenhum teste é perfeito.
  • 99% dos pacientes que têm a doença terão resultado positivo.
  • 5% dos pacientes que não têm a doença também terão resultado positivo.
  • 10% da população em questão tem a doença.
Se um paciente escolhido aleatoriamente tiver resultado positivo, qual é a probabilidade de ele ter a doença?
Etapa 1
Calcule a probabilidade de um paciente escolhido aleatoriamente ter a doença E ter resultado positivo.
P(D∩+)=
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7/4
  • um número misto, como 1 3/4
  • um número decimal exato, como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi

Etapa 2
Calcule a probabilidade de um paciente escolhido aleatoriamente ter resultado positivo.
P(+)=
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7/4
  • um número misto, como 1 3/4
  • um número decimal exato, como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi

Etapa 3
Se um paciente escolhido aleatoriamente tiver resultado positivo, qual é a probabilidade de ele ter a doença?
Arredonde para a terceira casa decimal.
P(D|+)=
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7/4
  • um número misto, como 1 3/4
  • um número decimal exato, como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi

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