Análise de probabilidade de evento para independência

RKA1JV - As cores favoritas de Thomas são azul e verde. Ele tem uma camiseta azul, uma camiseta verde, um chapéu azul, um cachecol verde, uma calça azul e uma calça verde. Thomas pega uma dessas peças de vestuário aleatoriamente. Seja "A" o evento onde ele pega uma vestimenta azul, seja "B" o evento onde ele pega uma camiseta, quais dessas sentenças aqui são verdadeiras? A gente vai ver essas sentenças abaixo e marcar as verdadeiras. A gente vai trabalhar com o "P" de "A" dado "B", vai trabalhar com "P" de "A", "P" de "B", "P" de "B" dado "A" e "P" de "A e B". Logo antes de fazermos isso aqui, é melhor calcularmos essas coisas, então vamos primeiro pensar em "P" de "A". Portanto, se eu quero calcular a probabilidade do evento "A", eu tenho que saber o que é o evento "A". O evento "A" é onde ele pega uma vestimenta azul. Primeiro vamos ver quais são todos os eventos possíveis, tenho 1, 2, 3, 4, 5 6, um total de 6 eventos. E em quais deles ele pega uma vestimenta azul? Aqui 1, 2, 3, em 3 eventos ele pega uma vestimenta azul. Isso aqui é 3/6 ou 1/2, ambos são a mesma coisa. E agora qual é a probabilidade do evento ser "B"? Ou seja, qual é o "P" de "B"? Mais uma vez, nós temos que fazer da mesma forma, vamos olhar aqui primeiro o que é um evento "B". O evento "B" é onde ele pega uma camiseta. Mais uma vez, eu tenho 6 possibilidades no total. E quantas são as possibilidades em que ele pega uma camiseta? Aqui eu tenho uma, ele pegou uma camiseta, aqui eu tenho mais uma e também pegou uma camiseta, eu tenho apenas essas duas, então, aqui 2 sobre 6, ou a mesma coisa que 1 sobre 3, 1/3. Agora vamos calcular qual é a probabilidade de "A" dado "B". Deixe-me só fazer isso aqui com uma cor um pouco diferente, fazer com outra cor, vamos lá. Fazer aqui, qual a probabilidade de "A" dado "B"? O que quer dizer isso? Quer dizer que a probabilidade de acontecer o evento "A" dado que já aconteceu o evento "B". Então, é a probabilidade de acontecer o evento "A" dado que já aconteceu o evento "B". A gente aqui tem duas possibilidades só, repare: o evento "B" é o evento dele pegar uma camiseta. Se ele já pegou uma camiseta, ele está nessa situação, então, só tem essas duas possibilidades: ou ele pegou uma camiseta azul, ou ele pegou uma camiseta verde. Mas no evento "A", ele pega uma vestimenta azul, então, quero aqui a vestimenta azul. Então isso aqui é igual a 1/2, ele tem 1/2 de probabilidade de pegar uma vestimenta azul dado que ele já pegou uma camiseta, porque ele só tem essas duas possibilidades aqui. Agora, vamos calcular a probabilidade de "B" dado "A". A probabilidade de "B" dado "A", então, o que significa isso aqui agora? A gente vai ter o seguinte: a probabilidade de "B" dado "A", vai acontecer o que aqui? Agora eu já sei que ele pegou uma vestimenta azul, porque é a probabilidade "B" dado "A", ou seja, "A" já aconteceu, então, ele já pegou uma vestimenta azul. Em quais opções que eu tenho vestimenta azul? Tenho vestimenta azul aqui, tenho vestimenta azul aqui, e tenho vestimenta azul aqui, então, eu tenho, no total, 3 possibilidades. E a única possibilidade que envolve ele pegar, também, uma camiseta, é essa aqui. Só tem uma possibilidade de ele pegar uma camiseta dado que ele já pegou uma vestimenta azul, então, aqui eu tenho uma possibilidade, eu fico com 1/3, uma chance em 3. Agora, pessoal, nós poderemos calcular qual a probabilidade de "A" e "B". Então é isso que nós vamos calcular aqui agora, com probabilidade de "A" e "B", aqui, vamos colocar o "A", probabilidade de "A", e aqui vamos colocar o "B", probabilidade "A e B". Agora, para que eu tenha a probabilidade de "A e B", tem que acontecer as duas coisas ao mesmo tempo, ou seja, tem que ser uma vestimenta azul e tem que ser uma camiseta. E a única peça que é uma vestimenta azul e uma camiseta é essa aqui. Então, só tenho uma possibilidade em 6, isso é igual a 1/6. Agora que nós já calculamos todos esses valores aqui, nós podemos partir para as perguntas. Vamos ver aqui. A primeira pergunta é: "P" de "A" dado "B" é igual a "P" de "A". Está dizendo que a probabilidade de Thomas pegar uma vestimenta azul, sabendo que ele já escolheu uma camiseta, é igual probabilidade de Thomas pegar uma vestimenta azul. Isso é verdade, porque "P" de "A" dado "B" é igual a "P" de "A", "P" de "A" dado B é 1/2, "P" de "A" é 1/2 também, isso aqui é verdadeiro. Então, isso aqui é verdadeiro, na verdade, essa frase está traduzindo essa expressão matemática. Vamos ver a segunda agora: "P" de "B" dado "A" é igual a "P" de "B". Também é verdade, ambos são 1/3. Isso aqui também é verdade. A probabilidade de Thomas pegar uma camiseta, sabendo que ele escolheu uma vestimenta azul, é igual à probabilidade de Thomas pegar uma camiseta, então, isso aqui é verdadeiro. Agora, nossa terceira premissa: os eventos "A" e "B" são eventos independentes. A gente tem que saber quando o evento é independente. Então, o evento é independente quando, deixe-me escrever isso aqui na notação matemática. Vou escrever aqui "P" de "A" dado "B" é igual a "P" de "A", quando isso acontece, os eventos são independentes. A gente já viu que isso acontece, da mesma forma, podemos dizer que "P" de "B" dado "A" é igual a "P" de "B", nós vimos também que isso acontece. Até agora isso é verdade, e tem uma outra premissa também: quando você teve "P" de "A e B", isso aqui é igual a "P" de "A" vezes "P" de "B". Nesse caso aqui, o "P" de "A" é 1/2, o "P" de "B" é 1/3 e 1/2 vezes 1/3 dá o "P" de "A e B", então, 1/2 vezes 1/3 dá 1/6, isso também é verdade. Como essas três premissas claramente são verdade, então, essa aqui também é verdade. Os eventos "A" e "B" são eventos independentes, podemos marcar também os eventos "A" e "B" são independentes. Agora vamos a essa premissa: os resultados dos eventos "A" e "B" são dependentes um do outro. Então, isso aqui é falso, porque nós acabamos de dizer o contrário, isso aqui é falso. E a última: "P" de "A e B" é igual a "P" de "A" vezes "P" de "B", nós já vimos que isso é verdadeiro. A probabilidade de Thomas pegar uma vestimenta azul que seja uma camiseta é igual à probabilidade de Thomas pegar uma vestimenta azul, multiplicada pela probabilidade de ele pegar uma camiseta. Isso é verdade, "P" de "A e B" é 1/6, "P" de "A" é 1/2, vezes 1/3, que também dá 1/6. Nós temos todas as premissas verdadeiras, menos essa quarta premissa aqui. Espero que vocês tenham gostado. Até o próximo vídeo!