Probabilidade dependente: moedas

RKA - Você tem 8 moedas em uma sacola, 3 delas são adulteradas de forma que tenham 60% de chance de dar cara quando são jogadas. As demais não são adulteradas, 3 moedas são adulteradas e tem 8 moedas. Quando o problema diz que elas são moedas não adulteradas quer dizer que elas têm chance de 50% de dar cara e 50% de dar coroa. Você tira 1 moeda aleatoriamente da sacola e joga 2 vezes. Qual é a probabilidade de tirar 2 caras? Essa é uma questão interessante, mas se expandir basicamente usando um diagrama de árvore para visualizar as probabilidades, a gente vai conseguir visualizar a questão um pouco melhor. Digamos que tem uma sacola em que 3 moedas são adulteradas, a gente pode visualizar a sacola. Não precisa fazer todas as vezes. Eu vou fazer as moedas não adulterados em branco. 1, 2, 3, 4, 5, moedas não adulteradas e tem 3 moedas adulteradas em laranja. 1, 2, 3... e tudo é a minha sacola. Minha sacola de moedas... Se eu pegar qualquer uma dessas moedas brancas, vamos ter 50% de chance de tirar cara em qualquer jogada. A probabilidade de tirar 2 caras em seguida seria 50% vezes 50% para essas 2 moedas, mas não sei se vou tirar 1 moeda branca. Se eu tirar 1 dessas moedas laranjas, tem 60% de chance de tirar cara. Se eu tirar uma dessas moedas laranjas, a probabilidade de tirar cara 2 vezes vai ser 60% vezes 60%. Como faço para considerar essa condição de que não sei se tirei 1 moeda branca não adulterada, ou 1 moeda laranja adulterada? Vamos considerar que as moedas brancas e laranjas, todas parecem ser moedas normais. Então, vou desenhar um diagrama de árvore aqui, acho que posso chamar de árvore de probabilidade. Existe alguma probabilidade de tirar 1 moeda não adulterada. E existe alguma probabilidade de tirar 1 moeda adulterada. Qual é a probabilidade de tirar 1 moeda não adulterada? 1, 2, 3, 4, 5 de um total de 8 moedas não são adulteradas. Existe uma probabilidade de 5/8. Vou escrever no galho. Existe uma chance de 5/8 de tirar 1 moeda não adulterada e tem 3... 1, 2, 3 chances de 8 de tirar 1 moeda adulterada. Se eu perguntar: qual é a probabilidade de tirar 1 moeda não adulterada? Você diria 1/50, e qual a probabilidade de tirar 1 moeda adulterada? 3/8. E você poderia converter em decimal ou em porcentagem. Considerando que tirei 1 moeda não adulterada, qual é a probabilidade de tirar cara 2 vezes? Vou escrever assim porque isso é somente notação. A probabilidade de... vou chamar de cara cara... tirar 2 caras em seguida, considerando que tem 1 moeda não adulterada. Essa notação parece bem elaborada, mas na verdade é assim, se soubesse ao certo que a moeda que tirou não é adulterada, e, sim, que ela tem 50% de chance de dar cara. Qual é a probabilidade de tirar 2 caras em seguida? A gente pode dizer, vai ser de 50%. Então, 50% vezes 50%, que é igual a 25%. Qual é a probabilidade de ter tirado 1 moeda não adulterada e de tirar 2 caras em seguida? Considerando que tem 1 moeda não adulterada, tem 25% de chance de tirar 2 caras em seguida, mas a probabilidade de tirar 1 moeda não adulterada e 2 caras em seguida, será de 5/8 vezes os 25%. Então, todo esse galho... Talvez seja melhor desenhar assim. A probabilidade de toda essa série de eventos acontecer, começando com você tirando a moeda não adulterada e depois tirando 2 caras em seguida, será de 5/8 vezes isto aqui, vezes 0,25. Quero deixar isso bem claro. O 0,25 é a probabilidade de tirar 2 caras em seguida, considerando que sabia que tirou 1 moeda não adulterada. Mas a probabilidade de toda essa série de eventos acontecer teria que multiplicar pela probabilidade de ter tirado uma moeda não adulterada. Uma outra forma de pensar é que a probabilidade de ter tirado 1 moeda não adulterada e que tem 2 caras em seguida... Vamos fazer a mesma coisa para a moeda adulterada. A probabilidade... Eu vou fazer na mesma cor, verde. A probabilidade de tirar cara cara, considerando que a minha moeda é adulterada, se de alguma forma soubesse que a sua moeda é adulterada, Qual é a probabilidade de tirar 2 caras em seguida? Nessa mesma moeda adulterada, a chance é de 60% de ser cara, e vai ser igual a 0,6 vezes 0,6, que é 0,36. Se tem uma moeda adulterada, se tem certeza que tem uma moeda adulterada, tem 36% de chance de tirar 2 caras em seguida. Se quer saber a probabilidade de toda essa série de eventos, a probabilidade de ter tirado 1 moeda adulterada e tirar 2 caras em seguida, jogando essa moeda, a probabilidade de ser adulterada e tirar 2 caras em seguida, considerando que tinha 1 moeda adulterada, você multiplicaria esses 3/8 vezes 0,36, e vai ser igual a 3/8 vezes 0,36. Vamos pegar a calculadora. Se eu pegar 5 dividido por 8, vezes 0,25, tenho 0,15625. É igual a 0,15625, e se eu calcular a outra parte, se tenho 3 dividido por 8 vezes 0,36, isso me dá 0,135. Se alguém te perguntar qual é a probabilidade de tirar a moeda não adulterada e depois tirar 2 caras em seguida com essa moeda não adulterada, a resposta seria esse número. Se quisesse a probabilidade de tirar a moeda adulterada e depois tirar 2 caras em seguida com essa moeda, a resposta seria esse número. Se alguém perguntasse qual é a probabilidade de tirar duas caras em seguida, porque essa é a pergunta: Qual é a probabilidade de tirar duas caras? Dá para tirar as caras através desse método, pegando a moeda não adulterada, ou através desse método, pegando a moeda adulterada. Como podemos fazer de qualquer uma das formas, dá para somar as probabilidades, qualquer um desses eventos está de acordo com as nossas restrições. Então podemos somar essas duas coisas. A gente pode somar 0,135 mais 0,15625. E tem 0,29125, a probabilidade é de 0,29125, que é a soma de 0,15625 com 0,135. E se quiser escrever em porcentagem, basicamente multiplica por 100 e coloca o sinal de porcentagem aqui e fica igual a 29,125%, ou se arredondar para o centésimo mais próximo, esse seria o número exato. Ou podemos dizer que é aproximadamente 29,13%, dependendo de quanto precisamos arredondar. A gente tem um pouco menos de 1/3 de chance de isso acontecer. E o motivo é... se na sacola só tivessem moedas não adulteradas, existiria 25% de chance de isso acontecer, porque elas seriam todas iguais. Joga duas vezes, 25% de chance. Nossa chance é um pouco maior porque existe uma probabilidade, existe uma probabilidade de 3/8 de tirar 1 moeda que tem uma chance maior de cair cara.