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Valor esperado em uma pescaria

Neste vídeo, vemos um exemplo em que multiplicamos a probabilidade por valores e somas para encontrar o valor esperado. Versão original criada por Sal Khan.

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Transcrição de vídeo

RKA3JV - Olá, pessoal. Mais uma questão de apostas aqui. Você e seu amigo Jeremias estão pescando em um lago que contém 10 trutas e 10 peixes-lua. Cada vez que algum de vocês pega um peixe, joga-o na água novamente. Isto aqui é importante, joga-o na água novamente. Jeremias oferece a você duas apostas diferentes. Na aposta 1, se os próximos 3 peixes que ele pegar forem todos peixes-lua, você paga 100 dólares para ele, caso contrário, ele vai pagar 20 dólares para você. Na aposta 2, se você pegar ao menos 2 peixes-lua, dos próximos 3 peixes que pescar, ele vai te pagar 50 dólares, caso contrário, você paga 25 dólares para ele. Então, a primeira pergunta: qual é o valor esperado para a aposta 1? Então, vamos definir aqui como a nossa variável aleatória "x", o lucro da aposta 1. Então, o lucro da aposta 1  é a nossa variável aleatória "x". Agora, a gente pode calcular o nosso valor esperado de "x", que vai ser a probabilidade, se os próximos 3 peixes que ele pegar forem todos peixes-lua. Então, a probabilidade de Jeremias pegar 3 peixes-lua. E isto daqui multiplicado pelo dinheiro que eu vou ter que pagar para ele, ou seja, -100, porque vai ser, no meu caso, o lucro negativo. Porque eu vou ter que dar dinheiro para ele, eu vou perder dinheiro, no caso, eu vou ter prejuízo. E isso aqui somado à probabilidade de ele não pegar. Então, a probabilidade de Jeremias não, ou melhor, vou escrever isto aqui de outro jeito. Eu vou escrever isto aqui como toda a probabilidade que restar. Ou seja, se 100% é o total, 100% menos essa a probabilidade de Jeremias pegar 3 trutas seguidas, desculpa, 3 peixes-lua seguidos, vai ser a probabilidade, nós vamos colocar aqui, vai ser a probabilidade de ele não pegar os 3, ou seja, o total que é 1 menos a probabilidade de Jeremias pegar 3 peixes-lua. Isso aqui multiplicado pelo valor que eu vou ganhar se isso acontecer, que vai ser 20 dólares. Eu estou chamando esta moeda de dólar, mas pode ser real também, pode ser qualquer moeda que vocês quiserem, mas vou chamar de dólar neste exercício. Então, vamos começar. Qual vai ser a probabilidade  de Jeremias pegar 3 peixes-lua seguidos? Então, vamos pensar aqui. Qual é a probabilidade de ele pegar um peixe-lua, um só, em uma lagoa. Ele tem 10 peixes-lua dentre 20 peixes, que são os peixes totais, o número de peixes total. Então, vai dar 10/20 que é a mesma coisa que 1/2. E se ele joga o peixe de volta para a lagoa, o número total continua sempre igual. E qual vai ser, então, a probabilidade de ele pegar um peixe-lua de novo? Vai ser também 1/2. E, pela terceira vez, também vai ser 1/2, e isto daqui dá 1/8. Então, eu já vou escrever que a probabilidade de Jeremias pegar 3 peixes-lua, vai ser 1/8. E isso aqui multiplicado por -100. Agora, somado a "1 - 1/8", que vai ser 1 menos a probabilidade de Jeremias pegar 3 trutas. Então, 1 - 1/8 vezes 20, e isso aqui vai ser igual, eu vou pegar a calculadora, e isso aqui vai ser igual, eu vou apagar tudo que está aqui, isso aqui vai ser 1/8 vezes (-100), isso aqui somado a (1 − 1/8), isso aqui multiplicado por 20. E o resultado disso vai ser 5. Então, eu posso colocar aqui já o resultado disso vai ser 5. Eu estava chamando isso de, vamos colocar apenas um cifrão, para não confundir vocês com moedas. Então, vai ser 5 dólares, no caso, que eu  estava falando no começo do exercício. Então, qual é o valor esperado para a aposta 2? Na aposta 2, eu tenho que pegar ao menos 2 peixes-lua nos próximos 3 peixes que eu pegar. Ele vai me pagar 50 dólares se eu pegar 2 peixes-lua, e se eu não conseguir eu vou pagar para ele 25 dólares. Então, vamos pensar aqui em todas as possibilidades que eu posso pescar. Então, eu posso pescar peixe-lua, peixe-lua, peixe-lua. Eu posso pescar peixe-lua, peixe-lua, truta. Eu posso pescar peixe-lua, truta, truta. Eu também posso pescar peixe-lua, truta, peixe-lua. Eu também posso pescar truta, peixe-lua, peixe-lua. Eu posso pescar truta, peixe-lua, truta. Eu posso pescar, vamos ver quais faltam. Truta, truta, peixe-lua. E tudo truta, truta, truta, truta. Eu chamei peixe-lua de "S" aqui só para ter o nome da variável. E quantas dessas vezes eu vou pegar ao menos 2 peixes-lua? Então, eu vou pegar ao menos 2 peixes-lua aqui, aqui, aqui e aqui. Ou seja, são 4 vezes dentre 8 vezes que são o número total. Então, isto aqui dá 4/8 que é essencialmente 1/2. Então, só definindo a nossa  outra variável aleatória, que eu defini como "y", o lucro da aposta 2, o lucro da aposta 2. Então, o lucro, eu posso pegar o valor esperado do lucro da aposta 2, e isso aqui vai ser igual à probabilidade, vou colocar dessa cor aqui, a probabilidade de eu pegar é ao menos 2. Eu vou colocar reticências aqui para não ter que escrever tudo por extenso. Vezes o tanto que eu vou ganhar, que vai ser 50. E isto aqui somado a 1 menos a probabilidade de eu pegar ao menos 2, 1 menos a probabilidade  de eu pegar ao menos 2. Isto aqui multiplicado pelo tanto que eu vou perder, que vai ser 25. Então, o nosso valor esperado de "y" vai ser igual a, então, a probabilidade de eu pegar ao menos 2 é 1/2, como a gente viu aqui. Então, 1/2 vezes 50 dá 25. Isso aqui somado a 1 − 1/2, porque aqui é a probabilidade é 1/2, vai dar 1/2, vezes 25 vai dar 12,5. Só que aqui, desculpe-me, estava quase me esquecendo de um detalhe muito importante aqui. Isto aqui não é 25, isto aqui é -25, deixe-me pegar mais espaço aqui, -25. Então, isso daqui vai dar 25 − 12,5 que é, essencialmente, 12,50 reais, dólares, ou qualquer moeda que a gente esteja analisando aqui. Então, aqui deu 5, nós já temos os dois valores da aposta 1 e da aposta 2. E, agora, a gente quer saber, o Jeremias  quer apostar um total de 50 vezes. Se a gente quer maximizar o nosso valor esperado, o que a gente deve fazer? Então, a gente pode escolher a aposta 2, que é o que maior tem o valor esperado aqui, todas as 50 vezes. Então, muito obrigado, e até a próxima!