Lei dos grandes números

RKA3JV O que eu quero discutir, neste vídeo, é uma coisa que gera bastante confusão e é um dos conceitos fundamentais da probabilidade. É a chamada lei dos grandes números. Lei dos grandes números. Basicamente, para explicá-la, vou ter que definir uma variável aleatória "x". Podia ser qualquer letra, uma variável aleatória de qualquer letra, e seja também o valor esperado para essa variável aleatória "x". O que a lei dos grandes números diz, é que se eu pegar "n" observações, "n" dados, a partir da minha variável aleatória, "n" tentativas, e fazer a média delas todas, somar todas elas e fazer a média. Eu vou me aproximar cada vez mais do valor esperado para essa variável aleatória. Então, basicamente, eu vou só escrever isso de uma maneira mais formal. Então, se eu pegar a variável aleatória "x" com "n" observações nela, e colocar aqui em cima uma barra, ou seja, o valor médio. A média dessas "n" observações. Isso aqui vai ser igual ao valor esperado, para essa variável aleatória "x", quando "n" se aproxima ou tende ao infinito. Então, vamos pensar no que a gente acabou de escrever aqui. Eu quero que vocês peguem bastante essa parte aqui, eu quero que vocês decorem isso para o resto do vídeo. E vamos pensar no que a gente acabou de escrever aqui. A média de "n" observações da variável aleatória "x" é igual ao valor esperado para essa variável aleatória "x", quando "n" tende ao infinito. Ou seja, se eu pegar, por exemplo, vamos colocar aqui, variável "x". Então, se eu pegar primeiro, se eu fizer várias tentativas. Vamos supor que eu estou jogando uma moeda, aí eu pego o primeiro resultado. Depois, eu pego o segundo resultado. Depois, eu pego o terceiro resultado. Depois, eu faço isso até o infinito, onde aqui eu vou ter Xn. Se eu fizer tudo isso, se eu fizer a média de tudo, ou seja, dividir tudo isso por "n", que é o número cada vez mais próximo de infinito que eu tiver aqui, isso aqui vai tender ao valor esperado para a minha variável aleatória de "x", isso quando o meu "n" tender ao infinito. O motivo pelo qual eu disse que é uma lei um pouco que, digamos que várias pessoas se enganam quando vão falar dela, é por causa disso aqui. Vamos supor que eu vou definir aqui. Acho que a maneira mais fácil de explicar isso vai ser fazer um exemplo mesmo. Então, eu vou definir uma variável "x", como o número de coroas, após jogar 100 moedas. Então, o que a lei dos números grandes diz é que se eu pegar o valor, começar a fazer testes aqui, começar a jogar essas moedas e ir somando. Vamos supor que eu joguei a primeira vez as 100 moedas e eu tive 55 coroas, aí eu joguei de novo as 100 moedas e tive 45 coroas, aí eu joguei mais uma vez, e tive 50 coroas. E assim, eu vou indo, vou jogando, jogando. Quanto mais dados eu tiver aqui, quanto mais observações eu fizer em cima da minha variável aleatória, e fizer depois e dividir pelo número de observações que eu fizer, mais próximo chegarei desse número do valor esperado para esse número, que no caso seria 50%. Porque se a gente for fazer o valor esperado aqui, o valor esperado da nossa variável aleatória "x" vai ser o número total de possibilidades, ou seja, 100 vezes a probabilidade que vai ser de 50%, ou 0,5. 100 vezes 0,5, isto daqui daria 50. Então, o meu valor esperado é 50. Então, conforme a gente colocar mais termos, mais observações aqui na nossa variável aleatória "x", mais isso deve se aproximar de 50. Só que isso gera algumas confusões que eu vou tentar exemplificar neste gráfico aqui. Eu vou fazer um gráfico aqui. Meu eixo "y", meu eixo "x". O meu eixo "x" vai ser o número de observações e o meu eixo "y", não se confundam com isso, o meu eixo "y" vai ficar "x". No caso, este "x" é variável aleatória. Eu vou usar o eixo "y" como a variável aleatória "x". E se a gente for traçar a linha do valor esperado, vai estar aqui mais ou menos em 50%. A gente pode traçar essa linha. Vou deixar aqui como a nossa linha de valor esperado ao longo de todo este gráfico, toda a extensão deste gráfico. E agora, a gente pode começar a traçar aqui quando nosso "n" for 1, Quando nosso "n" for 1, então, nosso primeiro valor foi 55. Então, a nossa média, por enquanto, destes valores, vai ser 55, mais ou menos aqui. Agora, se eu for pegar e colocar este valor 45, também na minha segunda observação, a média não vai ser 45. A minha nova média vai ser 55, mais 45 que vai dar 100. 55 + 45 = 100. E isso daqui, dividido pelo número de termos, que eu já coloquei, que vai ser 2. E isso aqui vai ser igual a 50. Então, minha nova média vai ser 50. Então, se depois de acionar 50, a minha nova média vai ser 100 + 50 dividido por "n" que é 3. Então, vai ser 150/3 que daria 50 novamente, na terceira jogada. E eu posso fazer isso aqui infinitamente. E acaba, sei lá, digamos que se uma hora o meu valor médio estiver, mais ou menos aqui, digamos, após "n" jogadas. Se após "n" jogadas, o meu valor médio estiver aqui em cima. Vamos fazer este risco só para ficar bem claro. O meu valor médio estiver aqui em cima. Isso gera uma falácia conhecida como "a falácia do jogador ou do apostador". É uma falácia bem interessante, porque as pessoas realmente acreditam que isso seja verdade, que isso seja um dos grandes conceitos da probabilidade, o que não é. Mas, vamos supor que você está em um cassino jogando um dado e você jogou cinco vezes, todas as cinco vezes caiu o número 6 no dado. Então, como o seu valor médio vai estar lá em cima no 6, e a gente sabe que a probabilidade é 1/6 para cada número do dado cair. A pessoa pensa que, pelos deuses da probabilidade, então, quer dizer que agora a probabilidade de cair 6 está menor. E não é isso que acontece. A probabilidade de sair 6 não está menor, a probabilidade de cair o número 6 de novo, depois das 6 vezes que eu joguei, vai ser a mesma probabilidade que já era antes de eu jogar essas 6 vezes. A probabilidade vai ser sempre igual. Só que não importa se eu tive "n" jogadas e o meu valor médio está lá em cima, porque eu ainda tenho aqui, deixe-me fazer aqui. Porque eu ainda tenho aqui infinitas jogadas para o meu valor voltar a convergir para o meu o valor esperado. E é isso que a lei dos grandes números quer dizer.