Lucro esperado com um bilhete de loteria

RKA3JV - Olá, galera! Então, o Sandro está apostando em um jogo de loteria, em que deve escolher dois números de 0 a 9, e então, uma letra do alfabeto completo com 26 letras, ele pode escolher o mesmo número duas vezes. Se o seu bilhete corresponder aos dois números, então, deixe-me marcar aqui, se o bilhete corresponder aos dois números e uma letra, escolhidos na ordem, ele recebe o grande prêmio de 10.405. E se apenas a letra estiver certa, então, vou marcar com outra cor, se apenas a letra estiver certa, mas um ou ambos os números não, ele recebe o prêmio menor de 100 dólares, no caso, "100 dinheiros", porque não tem a unidade de dinheiro aqui. Com qualquer outro resultado ele não recebe nada. Então, qualquer outro resultado, ele não recebe nada. Eu devia ter feito isso em outra cor. Ele não recebe nada. E a aposta custa 5, acho que vou chamar de reais, eu acho que vai ficar melhor para falar depois. Então, a aposta custa 5 reais. E ele escolheu o bilhete 04R. Então, vamos começar aqui definindo a nossa variável aleatória "x". Eu vou defini-la como sendo o lucro líquido. O lucro líquido de jogar no número 04R. E agora, um bom começo é tentar achar o valor esperado disso daqui. Se a gente souber o valor esperado de "x", a gente vai saber o valor esperado, que vai ser o lucro líquido, propriamente dito, o lucro líquido de jogar do bilhete 04R. Então, como é que a gente vai saber o valor esperado? Então, vamos fazer aqui a nossa expressão. O valor esperado da nossa variável aleatória "x", vai ser igual, então, vamos pensar no que é um lucro líquido. O lucro líquido, neste caso a loteria, vai ser a probabilidade de eu acertar a aposta que eu fiz, vezes realmente o lucro que eu vou ter com essa aposta, se eu ganhar. Lembrando que o lucro vai ser o tanto que eu vou ganhar, menos o tanto que eu gastei. Isso é normal, é a forma que a gente aprende no colégio, não vai mudar isso, é igual. Então, vamos começar aqui anotando. Vai ser a probabilidade de ganhar o prêmio grande, vezes o prêmio grande que vai ser 10.405 menos, deixe-me colocar aqui de cor vermelha, menos 5, que é o tanto que a gente teve que pagar pelo nosso bilhete. Isto daqui, somado com a probabilidade do prêmio pequeno, vezes o tanto que eu vou ganhar com o prêmio pequeno, que vai ser 100 reais, menos 5 reais, e isso ainda somado com a probabilidade de não ganhar, probabilidade de não ganhar nenhum destes prêmios. E ainda, se eu não ganhar nenhum destes prêmios, eu só vou ter gasto 5 reais. Então, o meu lucro vai ser negativo. No caso, eu não vou ter lucro, eu vou ter prejuízo de 5 reais. Então, vamos começar calculando cada uma dessas probabilidades separadamente. Então, eu vou começar aqui com a probabilidade de eu ganhar o prêmio grande. Deixe-me anotar aqui, probabilidade do grande. E isso aqui vai ser igual a, então, vamos ver. Para ganhar o prêmio grande, eu tenho que corresponder aos dois números e uma letra escolhida na ordem. Então se, por acaso, eu escolher dois números e uma letra, e estiverem certos, eu vou ganhar o prêmio grande. E qual que vai ser a probabilidade de eu escolher um número certo? Bem, eu tenho 10 números no total. Zero, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Eu tenho que escolher um deles. Então, a probabilidade vai ser de 1/10. 1 em cada 10 vezes a probabilidade de eu acertar. Isso multiplicado por 1/10 de novo, porque os números podem ser repetidos. Aqui diz que ele pode escolher o mesmo número duas vezes. Então, eu posso ter número repetido. E agora, vezes a probabilidade de eu acertar a letra. Então, eu tenho 26 letras no alfabeto. Aqui está o alfabeto completo com 26 letras, e a probabilidade de eu acertar essa única letra vai ser de 1/26. E isso aqui resulta em uma probabilidade de 1/2600. Então, agora a gente pode calcular a probabilidade de eu ganhar a aposta pequena. Então, a probabilidade de eu ganhar a aposta pequena vai ser, no caso aqui, eu vou ganhar a aposta pequena quando apenas a letra estiver certa, mas ambos os números não. Ou seja, qualquer número que eu colocar vai dar aposta pequena, desde que eu acerte a letra. Então, a probabilidade de eu ganhar o prêmio pequeno, vai ser 1/26, que é a probabilidade de eu acertar a letra. Mas, este 1/26 conta qualquer destes, qualquer número que eu jogar aqui, e conta também as vezes em que eu ganhar o prêmio grande. Ou seja, a probabilidade de eu ganhar o prêmio pequeno vai ser de 1/26, menos o tanto de vezes que eu tenho de probabilidade de ganhar o prêmio total, o prêmio grande. Então, menos 1/2600. E, por enquanto, está ficando bem consistente os nossos resultados. E agora, a probabilidade de não ganhar. Vou colocar aqui: probabilidade de não ganhar, infelizmente, não ganhar esse prêmio aqui, vai ser todas as outras vezes, todos os outros resultados possíveis. Ou seja, 1, que é 100%, menos as vezes que eu ganho o prêmio grande, 1/2600, menos o tanto de vezes que eu ganho o prêmio pequeno, que vai ser 1/26. Está ficando sem espaço aqui, deixe-me anotar aqui para o lado, 1/26 - 1/2600. Então, continuando. Agora, a gente já pode trocar os valores aqui. Então, eu colocar mais para baixo aqui. Já pode começar a trocar os valores. Então, a probabilidade de eu ganhar o prêmio grande vai ser de 1/2600, como a gente viu aqui em cima. Isso multiplicado por 10.405 - 5. Ou seja, isso aqui vai dar 10.400. Vezes 10.400. E isso daqui somado com a probabilidade de eu ganhar o prêmio pequeno, que vai ser de 1/26 - 1/2600. E isso aqui tudo multiplicado pelo lucro de eu ganhar o prêmio pequeno, que vai ser de 95. Então, 95. E isso aqui somado com a probabilidade, vezes o lucro de eu não ganhar. Então, a probabilidade de eu não ganhar vai ser 1 - 1/2.600. E aí eu já vou passar os sinais aqui. Então, por aqui ser negativo, este número fica negativo. E por aqui ser negativo, este número vai ficar positivo. Então, aqui eu já posso colocar -1/26 + 1/2.600. E este número todo multiplicado por -5. E agora, para resolver esta conta monstruosa, eu vou abrir minha calculadora gráfica. É sempre bom ter uma calculadora ao lado quando resolve contas desse tipo. Então, eu vou ligar minha calculadora e vou fazer essa multiplicação de 1/2.600, isso daqui multiplicado por 10.400. Agora, isso daqui somado com 1/26 - 1/2.600. Isso aqui tudo multiplicado por 95. Isso aqui agora somado, o último termo do nosso imenso cálculo. 1 - 1/2.600 - 1/26 + 1/2.600. Eu sei que cancela aqui, mas eu vou colocar só para vocês verem que a conta complexa vai dar um resultado bem tranquilo de multiplicar depois. Então, isso aqui multiplicado por -5. E o resultado disso vai ser, rufem os tambores, 2.80. Então, aqui, o nosso valor esperado vai ser de aproximadamente R$ 2,80. Ou seja, isso é uma loteria muito estranha! E vale a pena jogar, porque o lucro esperado por cada bilhete é de R$ 2,80. Então, muito obrigado, e até a próxima!