Processo de Poisson 1

RKA3JV - Vamos supor que vocês sejam algum tipo de engenheiro de tráfego e vocês estão querendo saber a quantidade de carros que passam em um determinado ponto da estrada, em um determinado intervalo que vocês decidem. Então, vocês querem realmente calcular a probabilidade de número de carros que vão passar por este ponto da estrada que vocês estão observando. Então, vocês podem sentar o dia todo e contar quantos carros passam, só que isso não vai ser uma estimativa muito próxima, porque, sei lá, pode ser que passem mais carros ou menos carros. Então, existe uma maneira melhor de fazer isso que envolve o que nós vamos fazer neste vídeo. Então, a primeira maneira, o começo para isso, nós vamos definir a nossa variável aleatória "x" como sendo o número de carros, o número de carros por hora. Assim está bom. Então, a gente pode dizer, por exemplo, a gente pode calcular, dizer que o valor esperado, vamos supor, a gente pode ficar lá sentado o dia inteiro contando quantos carros passam em 1 hora. Ah, antes de continuar, vale a pena lembrar que nós temos que imaginar aqui, neste caso, que cada hora não vai ser diferente da outra. Na vida real, a gente sabe que na hora do rush passariam mais carros do que na madrugada, por exemplo. Mas aqui, especificamente neste exemplo, a gente tem que continuar considerando que uma hora é independente da outra, um evento não tem correlação com o outro. Então, a probabilidade de passar um número de carros em todas as horas vai ser igual. Então, se eu ficar sentado lá olhando quantos carros passam por hora, eu posso, então, chamar este número de carros que vão passar por hora de λ, e dizer que este λ vai ser o número de carros por hora. E a gente tem aqui o valor esperado, e a gente sabe, lembrando que se a gente for considerar isso aqui uma distribuição binomial, este número vai ser igual à multiplicação do número de tentativas vezes a probabilidade de cada tentativa acontecer. Isso aqui é o valor esperado da distribuição binomial que a gente viu nos últimos vídeos. Então, se a gente for transformar este λ nesta multiplicação de "n" vezes "p", a gente vai ter o número de tentativas, que vão ser 60. Ou seja, 60 minutos em 1 hora. Isto aqui, multiplicado pela probabilidade de cada tentativa. Então, a probabilidade de cada tentativa vai ser λ por 60, que vai ser o número de carros por minuto. Então, λ/60, que vai ser o número de carros por minuto. Agora, a gente chegou aqui em uma estimativa, no nosso valor esperado de carros. E, a partir disso, sabendo que é uma distribuição binomial, a gente pode calcular, por exemplo, a probabilidade da nossa variável aleatória, sei lá, o número de carros "k" que a gente decide, um número arbitrário que nós escolhemos. E este número "k", eu acho que eu fui para baixo aqui. Coloquei de novo para cima. Então, este número "k" pode ser 3, pode ser 4, pode ser 5. Isto aqui vai ser "n", ou seja, 60, que é o número de tentativas, "k". A gente já viu isso nos últimos vídeos, eu só estou relembrando. Multiplicado pela probabilidade de sucesso, que vai ser λ/60, elevado a "k", vezes a probabilidade de não ter sucesso. Ou seja, 1 (100%) menos a probabilidade de sucesso, e isso aqui elevado a "n - k". Ou seja, 60 menos "k". E eu acho que aqui já deu para começar a ver onde está o problema desta parte aqui. Vamos supor que passem, a gente está contando cada tentativa como, no caso, um intervalo de 1 minuto. Em 1 minuto, vamos supor que passem 5 carros. Se passarem estes 5 carros, os 5 carros não serão contabilizados como 5 carros, mas como um carro só. Porque é como se a gente estivesse contando só se passou carro ou não neste intervalo de 1 minuto. Então, o que a gente precisa fazer aqui, vocês já devem ter imaginado, então é só aumentar o intervalo. Então, em vez de considerar um intervalo com 60 minutos, eu posso considerar como 3.600 segundos, que é quantos segundos há em 1 hora, unidade básica. Então, eu vou colocar uma igualdade, e vou fazer com 3.600, "k", multiplicado por λ/3.600 elevado a "k", vezes 1 - λ/3.600 elevado a 3.600 - k. E aqui a gente chegou a uma estimativa um pouco melhor, realmente. Mas vamos supor que passem dois carros com uma diferença de meio segundo entre cada um. A gente não vai contabilizar esses dois carros, eu sei que a gente cada vez está dificultando mais o problema, mas é para mostrar por que a gente vai precisar do processo de Poisson. Poisson, se escreve Poisson, como está no nome do vídeo, só que é francês, então se pronuncia "Poessam". Eu acho que é mais ou menos assim que se pronuncia, eu espero que seja, pelo menos. Então, neste vídeo, no próximo vídeo, na verdade, nós vamos fazer este processo e, eu só tenho que garantir agora, neste vídeo, que a gente tenha algumas ferramentas matemáticas na nossa bagagem. Então, eu preciso ter certeza que vocês saibam que, eu já vou até mostrar aqui, eu preciso ter certeza que vocês saibam que o limite quando o "x" tende ao infinito de (1 + a/x) elevado a "x", é igual a "e" elevado a "a". Eu já fiz outras demonstrações aqui no canal de como chegar nisso aqui, mas eu vou fazer aqui de novo uma breve explicação. Então, vamos considerar aqui a/x como sendo um outro número, por exemplo, 1/n. Então, a gente pode reescrever este limite como sendo o limite quando o "n" tende a infinito de 1 mais, como eu chamei este a/x de 1/n, eu posso trocar aqui por 1/n. E isso aqui elevado, nós podemos fazer aqui uma multiplicação em cruz, e nós vamos ter que "x" é igual a "a" vezes "n". Eu acho que devia ter feito aqui primeiro, mas quando a gente leva este "x" para o infinito, quando este "x" vai para o infinito, o que acontece com o "a"? Ele também vai para o infinito para manter os dois lados da igualdade iguais, por isso que é uma igualdade, no caso. Por isso que eu posso chamar esse "x" aqui de "n", fazer essa troca toda que eu acho que eu pulei um passo aqui. Mas é isso. Isso daqui, então, este "x", eu posso trocar aqui em cima por "a" vezes "n". Então, agora eu vou fazer o que vai acontecer. Vai ser uma mágica, digamos. Mas é aquele negócio que todos nós aprendemos no ensino médio de elevar um expoente ao outro. Porque aqui quando eu tinha "a" vezes "n" era a mesma coisa que eu elevar isto tudo a "a". Então, se eu multiplicasse esse "a" vezes "n", seria "a" vezes "n" aqui. Então, eu só vou passar a fazer essa coisa que eu acabei de falar. Então, aqui vai ser o limite quando o "n" tende ao infinito de 1 + 1/n. Isso aqui, elevado a "n". E isso tudo aqui elevado a "a". Como eu tenho um "n" aqui e tenho um "n" aqui, e eu não preciso deste "a", eu posso fazer este limite todo e deixar o "a", elevado para fora. Então, eu posso colocar isso aqui como o limite quando o "n" tende ao infinito, quando "n" tende a infinito, de 1 + 1/n elevado a "n", isso tudo elevado a "a". Este limite que a gente chegou aqui dentro, é uma das formas de se chegar no número de euler, número neperiano, o famoso "e". Então, vocês podem, eu já fiz em outros vídeos, mas vocês podem tentar aqui, colocar cada vez números maiores no lugar de "n", cada vez mais vocês vão se aproximando do número "e". Então, eu já posso tirar isso daqui, e marcar como "e". Então, só sobrou este "e" elevado a "a". Então, isso aqui é igual a "e" elevado a "a". Isso é uma das coisas que a gente tem que saber para o próximo vídeo. E a outra coisa que a gente precisa saber é que "x" fatorial sobre "x", menos "k" fatorial é igual a "x" vezes x - 1, vezes x - 2, e assim vai até chegar a "x - k + 1". A gente já está cansado de fazer isso aqui, só que esta foi de longe a maneira mais abstrata que a gente já escreveu isso na história destes vídeos. Então, isso aqui é a mesma coisa que, eu vou fazer aqui em termos de números mesmo. Eu vou colocar "x" como 7, e o "k" como 2. Então, 7!/(7− 2)! Isso aqui vai ser igual a 7! que é 7 vezes 6 vezes 5 vezes 4 vezes 3 vezes 2 vezes 1, e isso tudo sobre (7 − 2)! que é 5! Então, 5 vezes 4 vezes 3 vezes 2 vezes 1. Então, eu posso cortar isso tudo com isso tudo, e sobrou só 7 vezes 6, que se a gente for ver, é justamente o número de termos que vai ter aqui, que sobrou aqui. O número de termos que sobrou aqui vai ser este número mais 1. Então, o que a gente pode ver aqui é que aqui eu tenho um termo, dois, três, e esta multiplicação toda vai ter "x" menos "k", vai ter exatamente, desculpa, "k" termos. Aqui fica um "k". E o termo que sobra, os termos que sobram aqui, por exemplo, vão ser "x - k + 1". Ou seja, 7 − 2 = 5, 5 + 1 = 6. Então, o último termo é este termo aqui, é o termo "k", "x - k +1". Lembrando, 7 − 2 = 5, mais 1, é igual a 6. Então, este nosso número, este nosso último número seria este último termo aqui, o nosso termo "k". Então, sabendo isso, a gente pode ir para o próximo vídeo. Até a próxima, pessoal!