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Função densidade de probabilidade

Funções de densidade de probabilidade para variáveis aleatórias contínuas. Versão original criada por Sal Khan.

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Transcrição de vídeo

RKA2JV - Olá, pessoal! Nos últimos vídeos, eu estava demonstrando para vocês que existem dois tipos de variáveis aleatórias. Então, eu vou botar aqui os dois tipos. São as variáveis aleatórias discretas, e são as variáveis aleatórias contínuas. A gente já conversou bastante sobre as variáveis aleatórias discretas, eu já fiz um exemplo de moedas. Agora, está na hora de eu mostrar para vocês um pouco sobre essas variáveis aleatórias contínuas. Então, eu vou definir aqui uma variável aleatória "y", que vai ser o número exato de chuva, vamos colocar em milímetros, amanhã. Bem, eu posso agora desenhar aqui um gráfico. Vamos mais para baixo. Agora eu posso desenhar aqui um gráfico, então, da distribuição da densidade de probabilidade. Então, vou fazer aqui o meu gráfico. Este aqui é o eixo Y, este aqui vai ser o eixo X. E eu posso não saber a função que descreve as probabilidades, mas eu sei que ela vai se parecer mais ou menos com isto aqui. Isto aqui, esta curva. Agora ela começa a descer, e vai até o infinito. Então, aqui no eixo X, é o valor de chuva em milímetros. E aqui, no nosso eixo Y, é a probabilidade. Então, vamos supor, eu não sei qual vai ser o valor máximo de probabilidade, mas vamos dizer que vai ser algo em torno de 50%, ou 0,5. E aqui eu tenho os valores de 0 mm, 1 mm, 2 mm, 3 mm, 4 mm, e acho que até 4 já está bom. Então, eu quero que vocês pensem o seguinte: qual vai ser a probabilidade de amanhã chover exatamente 2 mm de chuva? Então, você, já acostumado com as variáveis aleatórias discretas, você só vem aqui, mais ou menos no 2 aqui, traça uma linha até lá em cima, na curva, e vê que aqui é o pico da curva. Vai ser, então, mais ou menos, coincide justamente com este 0,5. Então, você diz que a probabilidade é de 50% ou 0,5. E a resposta está errada. A probabilidade não vai ser de 50%. Porque, embora a gente esteja acostumado a ouvir, nos noticiários da televisão, de que "ontem choveu 2 mm de chuva", ou "o tanto de chuva esperado é de 3 mm", a gente não tem como saber o valor exato de chuva. O que eu quero dizer: aqui nesta proposição, eu pedi o valor exato de 2 mm. Então, isso significa que tem que chover 2 mm, e não 1,999, ou 2,1, ou 2,0001. Entendeu? Então, nenhum destes valores aqui serve. Eu estou falando de um valor exato: 2 mm, sem nenhuma casa depois, ou nenhuma molécula de água a mais e nenhuma molécula de água a menos. Então, o motivo pelo qual eu fiz esta proposição aqui, para mostrar que esta probabilidade é zero, é para introduzir vocês um pouco mais àquela noção de que a probabilidade de uma variável aleatória contínua só pode ser avaliada, digamos, dentro de um intervalo. Então, eu vou fazer uma outra proposição aqui, vou botar aqui embaixo. Eu quero saber a probabilidade de chover algum valor, vou botar aqui, y - 2, com uma tolerância de 0,1 mm de chuva. Então, isto aqui, basicamente, é a mesma coisa que, desculpe-me, esqueci de explicar isso aqui. Isto aqui é a mesma coisa que dizer que a probabilidade, eu quero saber a probabilidade de chover entre 1,9 mm e 2,1 mm. Então, basicamente eu pegaria aqui o valor de 1,9, mais ou menos aqui, e aqui, 2,1. Eu sei que talvez não ficou um valor muito exato no gráfico, mas só para vocês terem uma ideia. Então, para vocês que já estão acostumados com o cálculo, vocês poderiam dizer que a probabilidade vai ser o valor desta área aqui, embaixo deste gráfico, esta área toda aqui. Quem já sabe cálculo, já sabe o formalismo matemático do cálculo, isto aqui seria o mesmo que dizer que é a integral definida de 1,9 até 2,1 de f(x) dx, em que f(x) fosse esta função aqui, f(x) seria esta curva toda aqui. Eu desenhei muito errado ali. f(x) seria esta curva toda aqui. Eu poderia chamar isto de f(x). E o valor dessa integral nos daria justamente a área embaixo da curva nesse intervalo, que daria também, justamente, a probabilidade que a gente procura. E, usando esse mesmo formalismo matemático para analisar o porquê de essa probabilidade ser zero, quando a gente pediu aqui a probabilidade de amanhã chover exatamente 2 mm de chuva, a gente vai ver que, aqui no valor, vai ser uma linha. Vai ser exatamente, digamos, a área embaixo desta linha. E, pelo menos a nossa definição de linha, você pode dizer que a área vai ser a base vezes a altura. Só que, pela nossa definição de "linha", linhas neste caso só vão ter altura, elas não vão ter uma largura. A gente define linha, justamente, como não tendo largura. E outra coisa eu acho que vocês já devem ter se dado conta também é que a soma de toda esta área aqui, a soma de toda esta área aqui, todo o caminho para o infinito junto com esta do meio aqui, vai ser igual a 100%. Porque é óbvio que, se a gente tem uma probabilidade, assim que a gente escolher um intervalo, esse intervalo vai dar um valor para a gente que é alguma coisa de 1. Porque nunca a probabilidade de acontecer é maior que 1, ou que 100%. Vamos supor: "amanhã tem 140% de chance de chover 3 mm." Isso não faz sentido nenhum, dizer uma probabilidade desse modo. Essa noção é facilmente visualizada em um gráfico de variáveis aleatórias discretas. Eu vou dar aqui um exemplo de variáveis aleatórias discretas. Vou pegar o exemplo da moeda, que eu acho que é o exemplo mais conhecido e mais fácil de desenhar também. Então, vou desenhar aqui a distribuição de probabilidade para os giros das moedas. Fazer aqui, só terminar de pintar este quadrinho. E aqui vai ser 1, aqui vai ser zero e eu vou definir a minha variável aleatória "x" em que 1, se der cara, e zero, se der coroa. Então, aqui a gente já tem: a probabilidade aqui seria de 50%, ou 0,5, e a soma das duas seria 1. Mas não necessariamente precisa ser 50% cada, não precisa ser um valor igual. Se a moeda fosse viciada, por exemplo, aqui poderia ser 0,6 e aqui poderia ser 0,4, contanto que a soma dos dois finalizasse 1, um inteiro, ou 100%. E, se vocês ficaram meio intrigados com toda essa parte de cálculo e cálculo de integrais aqui, eu sugiro que vocês assistam aos nossos vídeos de cálculo, porque vai dar uma boa noção para vocês de integrais, e vocês provavelmente vão precisar usar isso no ensino superior. Então, fica aí uma dica para o próximo vídeo que vocês assistirem. Espero ter ajudado. Até a próxima!