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Curso: Estatística e probabilidade > Unidade 9
Lição 2: Variáveis aleatórias contínuasFunção densidade de probabilidade
Funções de densidade de probabilidade para variáveis aleatórias contínuas. Versão original criada por Sal Khan.
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Transcrição de vídeo
RKA2JV -
Olá, pessoal! Nos últimos vídeos, eu estava
demonstrando para vocês que existem dois tipos
de variáveis aleatórias. Então, eu vou botar
aqui os dois tipos. São as variáveis
aleatórias discretas, e são as variáveis
aleatórias contínuas. A gente já conversou bastante
sobre as variáveis aleatórias discretas, eu já fiz um
exemplo de moedas. Agora, está na hora
de eu mostrar para vocês um pouco sobre essas
variáveis aleatórias contínuas. Então, eu vou definir aqui
uma variável aleatória "y", que vai ser
o número exato de chuva, vamos
colocar em milímetros, amanhã. Bem, eu posso agora
desenhar aqui um gráfico. Vamos mais
para baixo. Agora eu posso desenhar
aqui um gráfico, então, da distribuição da
densidade de probabilidade. Então, vou fazer
aqui o meu gráfico. Este aqui é o eixo Y,
este aqui vai ser o eixo X. E eu posso não saber a função
que descreve as probabilidades, mas eu sei que ela vai se parecer
mais ou menos com isto aqui. Isto aqui,
esta curva. Agora ela começa a descer,
e vai até o infinito. Então, aqui no eixo X,
é o valor de chuva em milímetros. E aqui, no nosso eixo Y,
é a probabilidade. Então, vamos supor, eu não sei qual
vai ser o valor máximo de probabilidade, mas vamos dizer que vai ser
algo em torno de 50%, ou 0,5. E aqui eu tenho os
valores de 0 mm, 1 mm, 2 mm, 3 mm, 4 mm,
e acho que até 4 já está bom. Então, eu quero que vocês
pensem o seguinte: qual vai ser
a probabilidade de amanhã chover
exatamente 2 mm de chuva? Então, você, já acostumado com
as variáveis aleatórias discretas, você só vem aqui,
mais ou menos no 2 aqui, traça uma linha até lá em cima,
na curva, e vê que aqui é o pico da curva. Vai ser, então, mais ou menos,
coincide justamente com este 0,5. Então, você diz que
a probabilidade é de 50% ou 0,5. E a resposta está errada.
A probabilidade não vai ser de 50%. Porque, embora a gente
esteja acostumado a ouvir, nos noticiários
da televisão, de que "ontem choveu 2 mm de chuva",
ou "o tanto de chuva esperado é de 3 mm", a gente não tem como
saber o valor exato de chuva. O que eu quero dizer: aqui nesta
proposição, eu pedi o valor exato de 2 mm. Então, isso significa que tem
que chover 2 mm, e não 1,999, ou 2,1,
ou 2,0001. Entendeu? Então, nenhum
destes valores aqui serve. Eu estou falando de
um valor exato: 2 mm, sem nenhuma casa depois,
ou nenhuma molécula de água a mais e nenhuma molécula
de água a menos. Então, o motivo pelo qual
eu fiz esta proposição aqui, para mostrar que
esta probabilidade é zero, é para introduzir vocês
um pouco mais àquela noção de que a probabilidade
de uma variável aleatória contínua só pode ser avaliada, digamos,
dentro de um intervalo. Então, eu vou fazer
uma outra proposição aqui, vou botar
aqui embaixo. Eu quero saber a probabilidade
de chover algum valor, vou botar aqui, y - 2, com uma tolerância
de 0,1 mm de chuva. Então, isto aqui, basicamente,
é a mesma coisa que, desculpe-me, esqueci
de explicar isso aqui. Isto aqui é a mesma coisa que
dizer que a probabilidade, eu quero saber a probabilidade
de chover entre 1,9 mm e 2,1 mm. Então, basicamente eu pegaria aqui
o valor de 1,9, mais ou menos aqui, e aqui, 2,1. Eu sei que talvez não ficou um
valor muito exato no gráfico, mas só para vocês
terem uma ideia. Então, para vocês que já estão
acostumados com o cálculo, vocês poderiam dizer
que a probabilidade vai ser o valor
desta área aqui, embaixo deste gráfico,
esta área toda aqui. Quem já sabe cálculo, já sabe
o formalismo matemático do cálculo, isto aqui seria o mesmo que
dizer que é a integral definida de 1,9 até 2,1
de f(x) dx, em que f(x) fosse esta função aqui,
f(x) seria esta curva toda aqui. Eu desenhei
muito errado ali. f(x) seria esta
curva toda aqui. Eu poderia chamar
isto de f(x). E o valor dessa integral
nos daria justamente a área embaixo da
curva nesse intervalo, que daria também, justamente,
a probabilidade que a gente procura. E, usando esse mesmo
formalismo matemático para analisar o porquê
de essa probabilidade ser zero, quando a gente pediu
aqui a probabilidade de amanhã chover
exatamente 2 mm de chuva, a gente vai ver que,
aqui no valor, vai ser uma linha. Vai ser exatamente, digamos,
a área embaixo desta linha. E, pelo menos a nossa
definição de linha, você pode dizer que a área
vai ser a base vezes a altura. Só que, pela nossa
definição de "linha", linhas neste caso só vão ter altura,
elas não vão ter uma largura. A gente define linha, justamente,
como não tendo largura. E outra coisa eu acho que vocês
já devem ter se dado conta também é que a soma de
toda esta área aqui, a soma de toda
esta área aqui, todo o caminho para o infinito
junto com esta do meio aqui, vai ser
igual a 100%. Porque é óbvio que,
se a gente tem uma probabilidade, assim que a gente
escolher um intervalo, esse intervalo vai dar um valor para
a gente que é alguma coisa de 1. Porque nunca a probabilidade
de acontecer é maior que 1, ou que 100%. Vamos supor: "amanhã tem 140%
de chance de chover 3 mm." Isso não faz sentido nenhum,
dizer uma probabilidade desse modo. Essa noção é
facilmente visualizada em um gráfico de variáveis
aleatórias discretas. Eu vou dar aqui um exemplo
de variáveis aleatórias discretas. Vou pegar
o exemplo da moeda, que eu acho que é
o exemplo mais conhecido e mais fácil
de desenhar também. Então, vou desenhar aqui a distribuição
de probabilidade para os giros das moedas. Fazer aqui, só terminar
de pintar este quadrinho. E aqui vai ser 1,
aqui vai ser zero e eu vou definir a minha
variável aleatória "x" em que 1,
se der cara, e zero,
se der coroa. Então, aqui a gente já tem:
a probabilidade aqui seria de 50%, ou 0,5, e a soma das
duas seria 1. Mas não necessariamente
precisa ser 50% cada, não precisa ser
um valor igual. Se a moeda fosse
viciada, por exemplo, aqui poderia ser 0,6
e aqui poderia ser 0,4, contanto que a soma dos dois
finalizasse 1, um inteiro, ou 100%. E, se vocês ficaram
meio intrigados com toda essa parte de cálculo
e cálculo de integrais aqui, eu sugiro que vocês assistam
aos nossos vídeos de cálculo, porque vai dar uma boa noção
para vocês de integrais, e vocês provavelmente vão precisar
usar isso no ensino superior. Então, fica aí uma dica para
o próximo vídeo que vocês assistirem. Espero ter ajudado.
Até a próxima!