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Prova do valor esperado de uma variável aleatória geométrica

Transcrição de vídeo

o Olá meu amigo minha amiga tudo bem com você seja muito bem-vindo ou bem-vindo a mais um vídeo daquela Academy Brasil e nesse vídeo vamos conversar sobre o valor esperado da variável aleatória geométrica e para começar Observe aqui uma variável aleatória geométrica clássica estamos definindo como o número de ensaios Independentes que precisamos ter sucesso onde a probabilidade de sucesso para cada tentativa é p minúsculo já vimos isso antes quando eu apresentei as variáveis aleatórias geométricas agora o objetivo desse vídeo a pensar sobre qual é o valor esperado de uma variável aleatória geométrica como essa aí eu vou dizer a resposta aí em vídeos futuros nós vamos aplicar essa fórmula Afinal o objetivo desse vídeo é apenas demonstrar isso matematicamente enfim o valor esperado de uma variável aleatória geométrica vai ser um sobre a probabilidade de sucesso em qualquer e Vamos demonstrar isso bem o valor esperado de qualquer variável aleatória vai ser apenas os resultados das probabilidades ponderados pelo número de cada tentativa então você poderia dizer que o valor esperado é igual a probabilidade de nossa variável aleatória ser igual a 1 x 1 isso mais a probabilidade que nossa variável aleatória seja igual a 2 vezes 2 e aí a gente continua fazendo isso sucessivamente um detalhe é que uma variável aleatória geométrica só pode assumir valores um dois três quatro e assim por diante não vai assumir o valor zero porque você não pode ter um sucesso se você ainda não fez um teste mas aqui isso vai ser igual bem isso vai ser igual a qual é a probabilidade de termos um sucesso em nosso primeiro teste eu vou escrever isso aqui então esse vai ser apenas PE é que vai ser isso qual é a probabilidade de Não termos um sucesso em nossa primeira tentativa mas a gente ter um sucesso é nossa segunda tentativa bem isso vai ser um menos p e os quer dizer que não temos sucesso na primeira tentativa mas aí temos que multiplicar isso por pia afinal foi um sucesso na segunda tentativa Vamos colocar mais alguns termos aqui o que vai ser isso bem a probabilidade de que x seja igual a três E para isso temos que ter duas tentativas sem sucesso a probabilidade de duas tentativas sem sucesso é um menos B ao quadrado e aí temos uma tentativa com sucesso pegou a ideia geral vamos reescrever isso daqui para deixar tudo um pouco mais simples então o valor esperado pelo menos para os propósitos dessa demonstração o valor esperado de X vai ser igual vou escrever isso daqui como um p mais 2 PVC e vamos p mais três vezes 1 - pi ao quadrado e nós vamos continuar e continuar fazendo isso OK mas Como descobrimos o resultado dessa soma bem eu vou usar alguns truques matemáticos aqui agora você já viu alguma coisa sobre série geométrica infinita não foi então eu vou usar uma técnica muito semelhante o que eu vou fazer aqui é multiplicar esse valor esperado por 1 - p Então vamos fazer isso vamos ter aqui um menos P vezes o valor esperado de x e isso é igual ao que tudo bem ao fazer isso eu também tenho que multiplicar cada um desses termos por um menu inspirado então multiplicamos um p com o menos P depois multiplicamos duas pe - 1 com o menos pia Ah isso fica igual ao que fica igual a duas vezes o menos pior quadrado bem eu acho que você já viu o Anderson vai dar não é Afinal basta continuar o samba adicionando e adicionando a partir daí agora vamos fazer algo muito divertido interessante pelo menos um ponto de vista matemático se isso é igual a isso e o lado esquerdo é igual ao lado direito vamos apenas subtraíram de valores de ambos os lados da Igualdade então no lado esquerdo ou teria o valor esperado de x menos isso ou seja - 1 - p vezes o valor esperado de X Eu apenas fiz uma subtração aqui desse lado mas também vamos fazer o mesmo do lado direito bem eu poderia subtrair essa expressão dessa outra mas isso é equivalente então ao subtrair essas expressões o que eu ganho bem vamos ver eu vou colocar um pé aqui aí eu vou ter um menos p e então se eu subtrair UNP vezes um menos pedir 2p vezes 1 - p bem eu só vou ficar com mais um p vezes ou menos P então E aí surgiu isso eu vou ficar com um px1 - pi ao quadrado e vamos continuar e continuar fazendo isso bem deixa eu sempre ficar isso um pouco eu distribuir esse negativo só poderia ser mais então isso seria P - 1 e então se distribuirmos esse valor esperado de X ficamos com o lado esquerdo da Igualdade sendo igual a vamos ver nós temos o valor esperado de x + p vezes o valor esperado de x menos o valor esperado de X sendo assim eles se cancelam isso vai ser igual a pia mais vezes 1 - p mais P vezes 1 - pi ao quadrado e assim por diante bem no lado esquerdo tudo que eu tenho é um P vezes o valor esperado de X se eu quiser resolver para o valor esperado de X Eu apenas de viu dos dois lados por P bem matematicamente isso é permitido e isso é o a ginástica matemática que estamos fazendo eu estou apenas dividindo tudo porque Em ambos os lados do lado esquerdo então eu vou ter apenas o valor esperado de X agora se eu dividir todos esses termos aqui por P esse primeiro o termo vai se tornar um o segundo termo vai se tornar um menos P esse terceiro termo se eu dividir por ver se torna mais um menos pior quadrado e assim por diante agora o que legal sobre isso é que isso é uma série geométrica clássica com uma proporção comum de 1 - p esse esse termo é completamente desconhecido para você eu aconselho você estudar sobre isso afinal isso é um dos motivos dessa variável aleatória que estamos estudando ser chamada de geométrica Então procure vídeos aqui naquela Academy sobre isso estude um pouco inclusive existem alguns vídeos que realizamos uma demonstração utilizando uma técnica muito semelhante a que estamos usando aqui na qual e essa soma é igual a 1 sobre 1 menos a nossa proporção comum e nesse caso a nossa proporção comum é um menos P então isso tudo aqui vai ser igual ao que bem Estamos na reta final e isso vai ser igual a 1 sobre 1 menos um mais P que é de fato = 1 sobre pia então está aí utilizando uma matemática é bem legal nós demonstramos que o valor esperado de uma variável aleatória geométrica É de fato = 1 sobre P Eu espero que você tenha compreendido tudo direitinho que conversamos aqui e mais uma vez eu quero deixar para você um grande abraço e até a próxima