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Impacto de transformar (dimensionamento e deslocamento) variáveis aleatórias

Transformações lineares (soma e multiplicação de uma constante) e seus impactos sobre o centro (média) e a dispersão (desvio-padrão) de uma distribuição.

Transcrição de vídeo

RKA2G - E aí, pessoal, tudo bem? Nesta aula, nós vamos ver o impacto de transformar variáveis aleatórias, ou seja, mexer no seu dimensionamento e no seu deslocamento. Para isso, nós temos uma variável aleatória. Vamos dizer que seja a altura de uma pessoa selecionada aleatoriamente saindo de um shopping. E aqui nós temos a curva  das distribuições de probabilidades. Eu também coloquei a média dessa distribuição aqui e também coloquei um desvio padrão acima da média e um desvio padrão abaixo da média. Basicamente, o que vamos ver nesta aula é o que acontece com a média e o desvio padrão quando somamos um número a essa variável aleatória, ou o que acontece quando multiplicamos a variável aleatória por um escalar, ou seja, multiplicamos por uma constante. Primeiro vamos pensar na soma. Digamos que nós temos uma variável aleatória "y" aqui e ela vai ser igual à variável "x" somada com uma constante que eu vou chamar de "k". Isto não é uma variável, é uma constante. Poderia ser, por exemplo, 10. É como se esta fosse a altura da pessoa que está saindo do shopping e você estivesse adicionando mais 10 cm à altura dela. A minha pergunta é: como isso afetaria na média e no desvio padrão de "y"? Para você visualizar melhor, pense que o centro das distribuições está aqui e, quando você soma uma constante "k", você mexe o centro em "k" unidades para cá. Com isso, toda a distribuição é deslocada em "k" unidades para a direita. E, claro, esse deslocamento depende do "k". Pode ser um deslocamento maior ou um deslocamento menor. Esta é a nova distribuição para a variável "y". Basicamente, nós movemos a distribuição em "k" unidades para a direita. E, claro, este sinal aqui é importante porque, se subtrairmos a variável aleatória "x" em "k" unidades, vamos mover toda a distribuição para a esquerda. Isso claramente muda a média. A média agora vai ser "k" maior. A média de "y" vai ser a média de "x" somada com este "k". E o desvio padrão, será que mudou? Lembre-se: o desvio padrão é o meio de medir a propagação da média. E isso não vai mudar. Então, para a variável "x" este comprimento aqui é o desvio padrão, que vai ser o mesmo desvio padrão da variável "y". Ou seja, este pedacinho aqui é o desvio padrão de "y". Portanto, o desvio padrão de "y" é igual ao desvio padrão de "x". Se você adiciona uma constante a uma variável aleatória "x", você vai mudar a média, mas não vai mudar o desvio padrão. Agora, o que acontece se você dimensionar  uma variável aleatória? Por exemplo, vamos dizer que nós temos uma outra variável aleatória aqui, que eu vou chamar de "z", e que eu pegue uma constante "k" e multiplique pela variável aleatória "x". De novo, este "k" é uma constante, não uma variável aleatória. Vai ser um número. Por exemplo, pode ser o número 2. Mas o que isso causa na distribuição? Vou colocar a curva da distribuição da variável aleatória "x" aqui de novo. O que acontece é que, se este "k", por exemplo, valesse 2, a distribuição seria "esticada" por um valor 2. E, como a área sempre tem que ser a mesma, isto aqui seria achatado. É mais ou menos assim que ficaria a distribuição da variável aleatória "z". Esta é a curva de "z". Com isso, você pode ver duas coisas importantes. A primeira é que a média com certeza mudou. E a segunda é que o desvio-padrão foi redimensionado. Ou seja, este desvio padrão de "z" é o desvio padrão de "x" multiplicado por uma constante "k". Isto é igual a uma constante "k" vezes desvio padrão de "x". E a média é multiplicada, também, por um fator "k". Então, a média da variável aleatória "z" é igual à constante "k" vezes a média da variável "x". Para resumir: se você tem uma variável aleatória "x" e soma com uma constante, isso vai mudar a média, mas não vai mudar o desvio padrão. Agora, se você multiplicar a variável aleatória por uma constante "k", isso vai mudar tanto a média quanto o desvio padrão. Eu espero que esta aula tinha te ajudado e até a próxima, pessoal!