Exemplo de probabilidade de proporções amostrais

RKA3JV - Olá, meu amigo ou minha amiga! Tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo da Khan Academy Brasil. Neste vídeo, vamos resolver um exercício sobre a probabilidade da proporção da amostra. O exercício diz o seguinte: suponha que 15% dos 1.750 alunos em uma escola têm experimentado níveis extremos de estresse durante o mês passado. Ao ficar sabendo dessa informação, um jornal escolar ficou curioso para saber mais sobre isso. Então, eles decidiram perguntar a uma simples amostra aleatória de 160 alunos se eles experimentaram níveis extremos de estresse durante o mês passado. Posteriormente, eles descobriram que 10% da amostra respondeu "sim" para a pergunta. Assumindo que a verdadeira proporção é de 15%, o que o problema disse aqui em cima? Ele disse que 15% da população de 1.750 alunos, realmente, experimentou níveis extremos de estresse durante o mês passado. Então, essa é a verdadeira porporção. Deixe-me escrever isso aqui. A verdadeira proporção para a nossa população é 0,15. Qual é a probabilidade aproximada para que mais de 10% da amostra tenha relatado que eles experimentaram níveis extremos de estresse durante o mês passado? Pause este vídeo e veja se você pode responder qual das quatro opções aqui é a correta. Então, pause o vídeo e faça isso! Bem, vamos lá agora! A forma que vamos usar para resolver isso é pensar sobre a distribuição de amostragem da nossa proporção de amostra. Primeiro, vamos conferir se essa distribuição de amostragem é, aproximadamente, normal. E se for aproximadamente normal, podemos usar sua média e o desvio padrão para criar uma distribuição normal, que tenha essa mesma média e o mesmo desvio padrão, a fim de aproximar a probabilidade do que eles estão pedindo. Vamos fazer essa primeira parte! Como decidimos isso? Bem, tem uma regrinha que nós podemos usar! Se o tamanho de amostra, vezes a proporção da população for maior ou igual a 10, e se o tamanho da amostra vezes 1 menos a proporção da população, também for maior ou igual a 10, então, a nossa distribuição de amostragem de nossa proporção da amostra é aproximadamente normal. Neste caso, aqui, o jornal está pedindo a 160 alunos. Então, esse é o tamanho da amostra, 160. A verdadeira proporção da população é 0,15. Este produto precisa ser maior ou igual a 10. Então, a gente tem 160 vezes 0,15 = 24. E 24 é, realmente, maior que 10. Agora, a gente verifica a segunda parte. Para isso, eu pego o tamanho da amostra que é 160, vezes 1 menos p. Ou seja, 1 - 0,15. Que neste caso é 0,85. Bem, sem dúvida, vai ser maior ou igual a 10. Mas vamos fazer o cálculo. Temos aqui que 160 vezes 0,85 é igual a 136, que é muito maior do que 10. Com essas duas premissas sendo satisfeitas, temos que a distribuição da amostragem da nossa proporção de amostra é aproximadamente normal. Então, qual é a média e qual é o desvio padrão de nossa distribuição de amostragens? Bem, a média de nossa distribuição da amostragem vai ser apenas a nossa proporção populacional. Nós já vimos isso em outros vídeos. Então, neste caso, será igual a 0,15. E o desvio padrão da nossa distribuição de amostragem da nossa proporção de amostra é igual a √p(1 - p) / n, que é igual a √0,15 · 0,85 e tudo isso sobre o tamanho da mostra que, neste caso, é 160. Eu vou pegar a calculadora para fazer essa conta. Eu multiplico 0,15 com 0,85 e divido isso por 160. Por último, eu tiro a raiz quadrada. Então, isso vai me dar quanto? Aproximadamente, 0,028. Então, eu vou colocar aqui, aproximadamente 0,028. Como isso vai ser aproximadamente uma distribuição normal, então, podemos desenhar uma curva clássica de sino aqui, que é a curva característica de uma distribuição normal. Algo, mais ou menos, assim. E nossa distribuição normal vai ter uma média e vai estar bem aqui no meio. Essa é a média de nossa distribuição de amostragem, e isso é igual à nossa proporção da população, que é 0,15. A gente também sabe qual é o desvio padrão, que vai ser aproximadamente igual a 0,028. O que nós queremos saber aqui é qual é a probabilidade aproximada de que mais de 10% da amostra tenha relatado que eles experimentaram níveis extremos de estresse durante o mês passado. Podemos dizer que 10% estaria bem aqui. Sendo assim, a probabilidade de que em uma amostra de 160 a gente tenha uma proporção para essa amostra que é maior que 10%, vai ser toda essa área bem aqui. Então, a área que representa a probabilidade de que sua proporção de amostra seja maior do que 10%, conforme foi falado. Bem, para calcular isso, eu vou pegar uma calculadora científica que faz isso. Aqui, eu vou ao menu escolher uma função de distribuição normal cumulativa. Então, eu seleciono isso e aperto o "enter". Aí eu preciso preencher com alguns parâmetros. Qual é o meu limite inferior? Bem, o meu limite inferior é de 10%, ou seja, 0,1. E qual é o meu limite superior? Bem, eu vou colocar 1, porque essa é a proporção mais alta que poderíamos ter em uma distribuição de amostragem da proporção da amostra. Agora, qual é a nossa média? Já sabemos que é 0,15. E qual é o desvio padrão de nossa distribuição de amostragem? Bem, é aproximadamente 0,028. Agora, eu clico em "enter". Ah, um detalhe! Se você estiver fazendo um teste, você realmente precisa descrever isso. Você tem que dizer o que está digitando na calculadora e os parâmetros que você está inserido na função distribuição normal cumulativa. Agora, clicando em "enter", temos isso, que é aproximadamente 96%. Então, isso é aproximadamente 0,96. E aí, marcamos essa terceira alternativa aqui. Como eu disse, se você estivesse fazendo um teste, você deveria escrever isso aqui. Usando a função distribuição normal cumulativa com limite inferior a 0,10. Com limite superior, que você colocou 1. Com uma média igual a 0,15, e com desvio padrão igual a 0,028. Tudo isso, para que as pessoas que avaliarem o seu teste saibam o que você está fazendo. Mas, enfim, eu espero que você tenha compreendido tudo o que a gente conversou aqui e que isso seja útil para você. E, mais uma vez, eu quero deixar para você um grande abraço, e até a próxima!