Variância de uma população

RKA10E Vamos supor que queiramos julgar qual é a experiência das pessoas que trabalham na Khan Academy. Podemos começar esse estudo olhando para a média aritmética dos anos de trabalho de cada pessoa na Khan Academy. Como é uma população pequena, teremos apenas 5 pessoas trabalhando, podemos usar todos os dados para analisar. Vamos organizar uma pequena tabela, na qual temos os anos de experiência... na Khan Academy. Uma pessoa tem experiência de 1 ano, a outra pessoa tem experiência de 3 anos, existe uma que tem 5 anos de experiência, outra com 7 anos e uma bem mais experiente, com 14 anos. Para estudar a média aritmética desses valores, já que estamos falando de toda a população, seria média aritmética populacional, nós temos que obter a soma de todos eles e dividir por 5, que é o número de elementos. Representando aqui, por meio de uma somatória, nós teríamos a somatória com "i" iniciando em 1 e indo até o número de elementos, que é 5, de todos os termos "xi", ou seja, vou somar o primeiro, depois, o segundo até chegar no quinto e tudo isso dividido pelo número de elementos que aqui é 5. Traduzindo isso, teríamos: x₁ + x₂ + x₃ + x₄ + x₅, tudo isso dividido por 5. Esse é o cálculo da média aritmética. Substituindo os valores e fazendo as contas com a ajuda da calculadora, nós vamos chegar à média aritmética populacional. Vamos somar: 1 + 3 + 5 + 7 + 14, e o resultado de tudo de tudo isso será dividido por 5. Eu tenho exatamente 6, então a média aritmética do tempo de trabalho de quem atua na Khan Academy é de 6 anos. Mas vamos trabalhar com outra questão. Como os dados estão, em termos de distância, organizados em torno da média, que é 6? Para obter uma informação sobre isso, vamos usar a variância. Nesse caso, a variância... variância... populacional. Populacional porque estamos falando de todos os elementos da distribuição e não apenas de uma amostra, de um subconjunto. A variância é indicada pela letra σ² e ela é obtida através da distância de cada elemento até a média e depois elevando ao quadrado, somando e dividindo pelo número de elementos, ou seja, a média deles. Em outras palavras, do elemento 1. Vamos fazer (1 - 6)² +... Agora tudo de novo para o 3: (3 - 6)² + (5 - 6)² + (7 - 6)² + (14 - 6)². E tudo isso dividido por 5, porque temos 5 elementos. Fazendo as contas... aqui temos 5² é 25, na verdade, -5² dá 25, mais -3² dá 9, mais -1² dá 1, mais 1² dá 1 de novo, mais 14 - 6 dá 8², que dá 64 e tudo dividido por 5. Vamos fazer a conta. Então... temos aqui... 25 + 9 + 1 + 1 + 64 e tudo dividido por 5, o que vai me dar 20. Aqui temos 20. Então a média dos quadrados das distâncias de cada termo até a média é 20. Nós escrevemos acima, por meio de uma somatória, a média da população. A ideia agora é escrever a variância populacional de uma maneira parecida. Vamos analisar como ficaria. Em uma população, a variância populacional é igual a... se você observar, temos uma somatória com um certo padrão, todo o resultado é dividido pelo número de elementos. Então vou colocar aqui a barra da divisão, o denominador vai ser "n", que é o número total de elementos da população, o numerador vai ser a somatória... de todos estes termos. E estes termos são exatamente o quê? Cada elemento da distribuição, então vou colocar como "xi", vai ser x₁, x₂... menos a média populacional e depois elevados o quadrado. E o "i", o índice do "x", vai de 1 até "n", que é o número de termos ou número de elementos da população. E o que esta fórmula quer dizer? Vamos retomar. Está dizendo que para obter a variância populacional, você pega cada termo da população, cada elemento, cada número que faz parte da distribuição, dele você subtrai a média populacional, esta é a média populacional... média populacional... eleva ao quadrado... então você fez isso para um certo termo, vamos marcá-lo. Adicione com... faça de novo para o próximo elemento até esgotar todos e o resultado desta soma você divide pelo número de elementos que tem a população. Essa é a maneira de calcular a variância populacional. Aproveite, estude bem. Até o próximo vídeo!