Desafio de trigonometria: área de um triângulo

RKA2JV - "O triângulo ABC é um triângulo retângulo com AC = 7, BC = 24, e reto em C." Então, vamos desenhar como seria esse esquema. Vou colocar o ângulo reto, que é o ângulo C, bem na origem. Então, digamos que este ponto aqui é o ponto C. Aqui eu vou ter o ponto A. Do C até o A, eu tenho que este segmento vale 7, não é? Que é o comprimento de AC. Então, aqui vale 7. Depois, eu tenho a hipotenusa deste triângulo retângulo aqui. E aí, este pontinho aqui em cima, este vértice, vai ser o ponto B E ele nos diz no problema que BC = 24, então, este pedaço aqui vale 24. Depois ele nos diz o quê? Que "o ponto M é o ponto médio de AB", ou seja, AB está aqui, o ponto M vai ficar bem no meio deste segmento. Por aqui, assim. Aqui vai estar o ponto M, que é o ponto médio do segmento AB. Isso significa que esta distância aqui é exatamente igual a esta distância. Depois ele nos fala aqui que "o ponto D está do mesmo lado de C em relação à reta AB". Então, se a gente considerar este segmento AB aqui, esta reta, se a estendermos, o ponto D vai estar deste lado aqui, do lado esquerdo, aqui por baixo, está do mesmo lado do C. Então, ele vai estar por aqui, assim, já que olha só, ele diz: "de maneira que AD = BD = 15". Ou seja, do A até o D e do B até o D vai ter o mesmo valor, a mesma medida. Então, digamos que o D está por aqui, assim. Aqui está o ponto D. E aí, o problema nos diz que, de D até B e de D até A, as medidas são iguais, são equidistantes. Ou seja, todos os pontos que estão equidistantes do B e do A estão sobre esta reta aqui. Todos os pontos sobre esta reta vão ser equidistantes de B e de A. E aí, o que ele nos diz é que, do D até o B (este pedaço aqui), vale 15 e, do D até o A (este pedaço aqui), também vale 15. E aí o problema continua: "Dado que a área do triangulo CDM", ou seja, o triângulo CDM vai ser qual? Do C até o D aqui, certo? Do D até o M, e do M até o C. Este é o triângulo aqui que está sendo considerado: CDM. Portanto, "dado que a área do triângulo CDM pode ser escrita como 'm' vezes a raiz quadrada de 'n', sobre 'p', onde 'm', 'n' e 'p' são números inteiros positivos, 'm' e 'p' são números primos entre si", o que significa que não dá para simplificar, "e 'n' não é divisível pelo quadrado de qualquer número primo", ou seja, esta raiz quadrada aqui também não dá para simplificar, "calcule m + n + p." Então, essencialmente, o que eu preciso fazer é calcular a área deste triângulo aqui, do triângulo CDM. Então, vamos tentar começar a abordar este problema. Na verdade, eu vou abordar de maneira analítica. Eu vou ver as coordenadas destes pontos aqui. Então, digamos que aqui eu tenha o eixo do X, e aqui eu tenha o eixo do Y, para cá. Certo? Y e X aqui. Então, a coordenada deste ponto A aqui vai ser (7, 0). É ou não é? 7 para X, zero para Y. Do ponto C vai estar bem na origem, vai ser (0, 0). E a coordenada do ponto B vai ser (0, 24), certo? Portanto, a coordenada do ponto M, como ele é o ponto médio do segmento AB, vai ser exatamente a média do X destes dois segmentos, dos pontos A e B, e do Y, também dos pontos A e B. Ou seja, o M vai ser: 7/2 (para X), porque aqui é 7 + 0, que dá 7, e dividido por 2 dá 7/2; e 24 + 0 dá 24, que dividido por 2 dá 12. Então, esta vai ser a coordenada do ponto M. E agora? Digamos que agora eu queira saber quanto mede o lado AB. Ora, posso usar o teorema de Pitágoras. Este ângulo é um ângulo reto, eu sei que um dos catetos mede 24, o outro mede 7. Logo, pelo teorema de Pitágoras, nós vamos ter que: 24² + 7² vai ser igual ao lado AB elevado ao quadrado. Portanto: 24² (que dá 576), mais 7² (que dá 49) vai ser igual a (AB)². Agora nós temos 576 + 49. Se fosse uma soma com 50, aqui daria 626. Então, tiro 1, 625. Então, 625 vai ser igual a (AB)². Logo, extraindo a raiz quadrada dos dois lados, eu vou ter que o lado AB vale a raiz de 625, que é 25. Ou seja, do B até o A mede 25, e metade dessa distância, ou seja, este pedaço aqui, do M até o B, vai valer 25/2, e do M até o A, também 25/2. Pois bem, outra coisa que nós sabemos é que este triângulo aqui, CMA, é um triângulo isósceles. Como eu sei disso? Ora, a coordenada do X deste ponto M é 7/2, que é a metade da coordenada entre o ponto C e o ponto A. Ou seja, como ele divide este segmento CA bem ao meio aqui, então, eu posso dizer que este triângulo CMA é um triângulo isósceles, ele é simétrico. Eu posso, por exemplo, inverter este triângulo, e tudo bem. Ou seja, este lado aqui, o lado CM, tem a mesma medida do lado MA. Ou seja, este lado mede 25/2 também. Vou botar aqui: 25/2. Este lado aqui, CM. Então, eu já sei a medida de um dos lados deste triângulo aqui, que eu quero saber. Agora, vamos ver se a gente descobre este lado aqui. É bem simples: a gente tem aqui um triângulo retângulo, exatamente porque esta reta aqui, que passa por BM, é perpendicular a este lado AB, porque todos os pontos que são equidistantes de B e de A vão estar sobre esta reta que é perpendicular ao lado AB. Ou seja, daqui eu posso determinar o valor de BM usando novamente o teorema de Pitágoras, já que eu sei a hipotenusa e sei um dos catetos. Então, eu vou ter o seguinte: (25/2)², mais o lado (DM)², que é o eu quero saber, igual a 15². Ou seja, aqui eu vou ter 625/4, e aqui eu vou ter quanto? Vou ter 225. Então, eu posso escrever que (DM)² vai ser igual a 225, que, colocando no denominador 4, vai ser igual a 900, não é? 900/4. E aí, 900/4 menos 625/4. Esta subtração aqui vai dar quanto? 900/4 menos 625/4, vai dar 275/4. Ou seja, aquele lado DM vai ser igual à raiz quadrada disto aqui: 275/4. 275 é a mesma coisa que 25 vezes 11, já que 25 vezes 12 é 300. Tudo isso dividido por 4. Ou seja, isto aqui vai ser igual a: raiz de 25 dá 5; a raiz de 11 vai continuar ali, porque não dá para extrair a raiz quadrada de 11, não é uma raiz quadrada exata, tudo isso dividido por 2 (a raiz de 4 é 2). Então, este lado DM aqui, eu posso escrever: é 5 raiz de 11, sobre 2. Agora, para calcular a área deste triângulo, que é o que nós queremos, basta que eu saiba este valor aqui: a altura do triângulo. Certo? Pois a área do triângulo é base vezes altura, sobre 2. E aí, como é que a gente vai poder descobrir o valor desta altura? Ora, podemos tentar aqui a lei dos cossenos. Na verdade, se eu souber o seno deste ângulo aqui, eu vou poder descobrir o valor desta altura, já que o seno é o cateto oposto ao ângulo sobre a hipotenusa, que nós acabamos de calcular. Então, basta que eu saiba o seno deste ângulo. Bem, para isso, vamos considerar este triângulo aqui: o BMC. Nós sabemos a medida deste lado aqui, que é 25/2; deste lado aqui, que também é 25/2; e deste aqui, que é 24. O que eu quero saber aqui é o seno do ângulo CMD, ou seja, este ângulo aqui, que eu vou chamar de θ ("teta"). Isso pode ser uma coisa difícil de fazer, mas, se eu considerar este ângulo θ aqui e este ângulo de 90 graus, ou seja, este ângulo todo como sendo 90 graus, mais θ, ou θ + 90 graus, aí sim eu posso aplicar a lei dos cossenos, olha só. Na verdade, primeiro deixe-me redesenhar este triângulo BCM aqui, só para ficar mais simples de enxergar. Vai ser algo assim. Então, nós temos aqui o ponto B, o ponto C e o ponto M. E agora, quanto mede este ângulo aqui? Este ângulo é θ mais 90 graus, não é? Ou seja, a medida deste ângulo é θ + 90 graus. E aqui nós temos: 24, 25/2, e aqui também, 25/2. E, para descobrir agora a medida deste θ, eu vou usar a lei dos cossenos. Então, vamos lá. Eu vou ter o seguinte: o lado oposto ao ângulo ao quadrado, ou seja, 24², é igual a (25/2)², mais (25/2)², menos 2 vezes (25/2), vezes, novamente, (25/2), vezes o cosseno deste ângulo. Então, o cosseno de θ + 90 graus. Beleza? Mas aí, você pode pensar assim: "Ora, aqui eu tenho um cosseno de θ + 90 graus. O que eu quero saber é o seno de θ." Mas aí você pode ter a seguinte realização na sua mente: nós sabemos a seguinte identidade trigonométrica: que o cosseno de um ângulo qualquer "x" é igual ao seno de 90 graus menos o "x". Ou seja, fazendo este "x" igual a θ + 90 graus, eu vou ter que o cosseno de θ + 90 é igual ao seno de 90 graus, menos θ, menos 90 graus. Está aí. Aí eu posso simplificar este 90 com este 90, e isto vai ser igual ao seno de -θ. E nós sabemos que o seno de -θ é a mesma coisa que menos o seno do ângulo θ. Ou seja, eu posso simplificar isto aqui e colocar aqui o seno de θ. Mas, como aqui é menos seno de θ, eu vou mudar este sinal aqui. Vai ficar positivo aqui na frente. Agora vamos ver quanto isto vai dar: 24² é a mesma coisa que 576. Isto vai ser igual a: 2 vezes (25/2)², mais, aqui eu tenho, novamente, 2 vezes (25/2)². Olha aí, então, 2 vezes (25/2)², vezes, ainda, o seno de θ. Beleza? Ou seja, eu posso simplificar ainda mais esta expressão da seguinte forma: 576 é igual, vou colocar o 2 vezes (25/2)² em evidência, então, vou ter 2 vezes (25/2)², que vai multiplicar por 1 mais o seno de θ. E aí eu retorno para esta expressão aqui de cima, sim ou não? Aqui, agora, eu vou dar uma simplificada também. Isto aqui vai ser 625/4. Quando eu multiplicar por 2, vai ser 625/2. Então, se eu multiplicar em ambos os lados da equação pelo inverso desta fração aqui, eu vou ter 576 vezes 2, sobre 625, e isto vai ser igual a 1 mais o seno de θ. Agora eu posso subtrair 1 dos dois lados. O que eu vou ter, então? Ora, aqui eu vou ter que o seno de θ vai ser igual a 576 vezes 2 (isso vai dar 1.152), sobre 625, menos 1. Eu subtraí 1 dos dois lados. Só que este 1 (este -1, no caso) eu vou escrever como -625/625. Isto aqui vai ser igual a quanto? Ora, agora vou ter que fazer aqui uma leve conta de subtração, não é? Então, vamos lá: 1.152 - 625. Quanto dá isso? Ora, 12 - 5 vai dar 7; 4 - 2 vai dar 2; e 11 - 6 vai dar 5. 527. Ou seja, isto vai dar 527/625. Agora você pode até não perceber, mas nós já estamos na reta final do problema. Deixe-me só desenhar aquele triângulo CDM de uma maneira diferente aqui embaixo. Mais ou menos assim. Está aqui o triângulo CDM. Aqui eu tenho o ponto C, aqui eu tenho o ponto D e aqui eu tenho o ponto M. Eu sei que este lado DM, que nós calculamos, é 5 raiz de 11, sobre 2. Então, 5 raiz de 11, sobre 2. Nós sabemos, também, que o lado CM vale 25/2. Então, 25/2. E nós também sabemos o seno deste ângulo aqui, do ângulo θ. E quanto é? Ora, o seno de θ, nós acabamos de calcular aqui: 527/625. E agora nós podemos usar essa informação do seno de θ para calcular esta medida aqui, da altura do triângulo. Como esta altura forma um ângulo de 90 graus, eu posso usar que o seno de θ é o oposto sobre a hipotenusa. Ou seja, isto aqui vai ser igual à altura, que eu vou chamar de "h", a altura "h" daquele triângulo, sobre 5 raiz de 11 sobre 2. E agora, o que eu posso fazer é multiplicar em ambos os lados da equação, da igualdade aqui, por 5 raiz de 11 sobre 2. Então, vou ter que a altura "h" é igual a 527/625, vezes 5/2 raiz de 11. É ou não é? Agora, o que eu posso fazer é simplificar este 5 com o 625. Então, eu vou ter o seguinte: 527 raiz de 11, aqui em cima, 527 vezes a raiz de 11. E, aqui embaixo, vai dar 125 vezes 2, que dá 250. Agora eu tenho o seguinte: a área do triângulo é igual a 1/2 vezes a base (a metade da base), então, 25/2, vezes a altura. Qual é a altura? 527 raiz de 11, sobre 250. E quanto vai ser isso? Ora, aqui eu posso simplificar este 25 com o 250, que vai dar 10 aqui embaixo. Então, eu vou ter: 2 vezes 2 é 4, vezes 10 é 40. Aqui no denominador eu vou ter 40. E, aqui em cima, 527 raiz de 11. Olha aí. Só que ele não quer que a gente ache a área no problema. Vamos ver o que ele quer lá no enunciado. Ele quer que a gente ache "m + n + p", quando a área está neste formato aqui, não é? Foi exatamente o que nós achamos. Ou seja, o que ele quer, na verdade, é 527 + 11 + 40. Quanto vai dar isso, então? Ora, 527 mais 11 mais 40. Isto vai dar igual a 538 mais 40, que dá 578. Ufa! Por agora é só. Até o próximo vídeo!