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Desafio de trigonometria: área de um triângulo

Neste vídeo, resolvemos um problema bem complicado de trigonometria geométrica que apareceu como problema 11 no exame AIME II de 2003. Versão original criada por Sal Khan.

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Transcrição de vídeo

RKA2JV - "O triângulo ABC é um triângulo retângulo com AC = 7, BC = 24, e reto em C." Então, vamos desenhar como seria esse esquema. Vou colocar o ângulo reto, que é o ângulo C, bem na origem. Então, digamos que este ponto aqui é o ponto C. Aqui eu vou ter o ponto A. Do C até o A, eu tenho que este segmento vale 7, não é? Que é o comprimento de AC. Então, aqui vale 7. Depois, eu tenho a hipotenusa deste triângulo retângulo aqui. E aí, este pontinho aqui em cima, este vértice, vai ser o ponto B E ele nos diz no problema que BC = 24, então, este pedaço aqui vale 24. Depois ele nos diz o quê? Que "o ponto M é o ponto médio de AB", ou seja, AB está aqui, o ponto M vai ficar bem no meio deste segmento. Por aqui, assim. Aqui vai estar o ponto M, que é o ponto médio do segmento AB. Isso significa que esta distância aqui é exatamente igual a esta distância. Depois ele nos fala aqui que "o ponto D está do mesmo lado de C em relação à reta AB". Então, se a gente considerar este segmento AB aqui, esta reta, se a estendermos, o ponto D vai estar deste lado aqui, do lado esquerdo, aqui por baixo, está do mesmo lado do C. Então, ele vai estar por aqui, assim, já que olha só, ele diz: "de maneira que AD = BD = 15". Ou seja, do A até o D e do B até o D vai ter o mesmo valor, a mesma medida. Então, digamos que o D está por aqui, assim. Aqui está o ponto D. E aí, o problema nos diz que, de D até B e de D até A, as medidas são iguais, são equidistantes. Ou seja, todos os pontos que estão equidistantes do B e do A estão sobre esta reta aqui. Todos os pontos sobre esta reta vão ser equidistantes de B e de A. E aí, o que ele nos diz é que, do D até o B (este pedaço aqui), vale 15 e, do D até o A (este pedaço aqui), também vale 15. E aí o problema continua: "Dado que a área do triangulo CDM", ou seja, o triângulo CDM vai ser qual? Do C até o D aqui, certo? Do D até o M, e do M até o C. Este é o triângulo aqui que está sendo considerado: CDM. Portanto, "dado que a área do triângulo CDM pode ser escrita como 'm' vezes a raiz quadrada de 'n', sobre 'p', onde 'm', 'n' e 'p' são números inteiros positivos, 'm' e 'p' são números primos entre si", o que significa que não dá para simplificar, "e 'n' não é divisível pelo quadrado de qualquer número primo", ou seja, esta raiz quadrada aqui também não dá para simplificar, "calcule m + n + p." Então, essencialmente, o que eu preciso fazer é calcular a área deste triângulo aqui, do triângulo CDM. Então, vamos tentar começar a abordar este problema. Na verdade, eu vou abordar de maneira analítica. Eu vou ver as coordenadas destes pontos aqui. Então, digamos que aqui eu tenha o eixo do X, e aqui eu tenha o eixo do Y, para cá. Certo? Y e X aqui. Então, a coordenada deste ponto A aqui vai ser (7, 0). É ou não é? 7 para X, zero para Y. Do ponto C vai estar bem na origem, vai ser (0, 0). E a coordenada do ponto B vai ser (0, 24), certo? Portanto, a coordenada do ponto M, como ele é o ponto médio do segmento AB, vai ser exatamente a média do X destes dois segmentos, dos pontos A e B, e do Y, também dos pontos A e B. Ou seja, o M vai ser: 7/2 (para X), porque aqui é 7 + 0, que dá 7, e dividido por 2 dá 7/2; e 24 + 0 dá 24, que dividido por 2 dá 12. Então, esta vai ser a coordenada do ponto M. E agora? Digamos que agora eu queira saber quanto mede o lado AB. Ora, posso usar o teorema de Pitágoras. Este ângulo é um ângulo reto, eu sei que um dos catetos mede 24, o outro mede 7. Logo, pelo teorema de Pitágoras, nós vamos ter que: 24² + 7² vai ser igual ao lado AB elevado ao quadrado. Portanto: 24² (que dá 576), mais 7² (que dá 49) vai ser igual a (AB)². Agora nós temos 576 + 49. Se fosse uma soma com 50, aqui daria 626. Então, tiro 1, 625. Então, 625 vai ser igual a (AB)². Logo, extraindo a raiz quadrada dos dois lados, eu vou ter que o lado AB vale a raiz de 625, que é 25. Ou seja, do B até o A mede 25, e metade dessa distância, ou seja, este pedaço aqui, do M até o B, vai valer 25/2, e do M até o A, também 25/2. Pois bem, outra coisa que nós sabemos é que este triângulo aqui, CMA, é um triângulo isósceles. Como eu sei disso? Ora, a coordenada do X deste ponto M é 7/2, que é a metade da coordenada entre o ponto C e o ponto A. Ou seja, como ele divide este segmento CA bem ao meio aqui, então, eu posso dizer que este triângulo CMA é um triângulo isósceles, ele é simétrico. Eu posso, por exemplo, inverter este triângulo, e tudo bem. Ou seja, este lado aqui, o lado CM, tem a mesma medida do lado MA. Ou seja, este lado mede 25/2 também. Vou botar aqui: 25/2. Este lado aqui, CM. Então, eu já sei a medida de um dos lados deste triângulo aqui, que eu quero saber. Agora, vamos ver se a gente descobre este lado aqui. É bem simples: a gente tem aqui um triângulo retângulo, exatamente porque esta reta aqui, que passa por BM, é perpendicular a este lado AB, porque todos os pontos que são equidistantes de B e de A vão estar sobre esta reta que é perpendicular ao lado AB. Ou seja, daqui eu posso determinar o valor de BM usando novamente o teorema de Pitágoras, já que eu sei a hipotenusa e sei um dos catetos. Então, eu vou ter o seguinte: (25/2)², mais o lado (DM)², que é o eu quero saber, igual a 15². Ou seja, aqui eu vou ter 625/4, e aqui eu vou ter quanto? Vou ter 225. Então, eu posso escrever que (DM)² vai ser igual a 225, que, colocando no denominador 4, vai ser igual a 900, não é? 900/4. E aí, 900/4 menos 625/4. Esta subtração aqui vai dar quanto? 900/4 menos 625/4, vai dar 275/4. Ou seja, aquele lado DM vai ser igual à raiz quadrada disto aqui: 275/4. 275 é a mesma coisa que 25 vezes 11, já que 25 vezes 12 é 300. Tudo isso dividido por 4. Ou seja, isto aqui vai ser igual a: raiz de 25 dá 5; a raiz de 11 vai continuar ali, porque não dá para extrair a raiz quadrada de 11, não é uma raiz quadrada exata, tudo isso dividido por 2 (a raiz de 4 é 2). Então, este lado DM aqui, eu posso escrever: é 5 raiz de 11, sobre 2. Agora, para calcular a área deste triângulo, que é o que nós queremos, basta que eu saiba este valor aqui: a altura do triângulo. Certo? Pois a área do triângulo é base vezes altura, sobre 2. E aí, como é que a gente vai poder descobrir o valor desta altura? Ora, podemos tentar aqui a lei dos cossenos. Na verdade, se eu souber o seno deste ângulo aqui, eu vou poder descobrir o valor desta altura, já que o seno é o cateto oposto ao ângulo sobre a hipotenusa, que nós acabamos de calcular. Então, basta que eu saiba o seno deste ângulo. Bem, para isso, vamos considerar este triângulo aqui: o BMC. Nós sabemos a medida deste lado aqui, que é 25/2; deste lado aqui, que também é 25/2; e deste aqui, que é 24. O que eu quero saber aqui é o seno do ângulo CMD, ou seja, este ângulo aqui, que eu vou chamar de θ ("teta"). Isso pode ser uma coisa difícil de fazer, mas, se eu considerar este ângulo θ aqui e este ângulo de 90 graus, ou seja, este ângulo todo como sendo 90 graus, mais θ, ou θ + 90 graus, aí sim eu posso aplicar a lei dos cossenos, olha só. Na verdade, primeiro deixe-me redesenhar este triângulo BCM aqui, só para ficar mais simples de enxergar. Vai ser algo assim. Então, nós temos aqui o ponto B, o ponto C e o ponto M. E agora, quanto mede este ângulo aqui? Este ângulo é θ mais 90 graus, não é? Ou seja, a medida deste ângulo é θ + 90 graus. E aqui nós temos: 24, 25/2, e aqui também, 25/2. E, para descobrir agora a medida deste θ, eu vou usar a lei dos cossenos. Então, vamos lá. Eu vou ter o seguinte: o lado oposto ao ângulo ao quadrado, ou seja, 24², é igual a (25/2)², mais (25/2)², menos 2 vezes (25/2), vezes, novamente, (25/2), vezes o cosseno deste ângulo. Então, o cosseno de θ + 90 graus. Beleza? Mas aí, você pode pensar assim: "Ora, aqui eu tenho um cosseno de θ + 90 graus. O que eu quero saber é o seno de θ." Mas aí você pode ter a seguinte realização na sua mente: nós sabemos a seguinte identidade trigonométrica: que o cosseno de um ângulo qualquer "x" é igual ao seno de 90 graus menos o "x". Ou seja, fazendo este "x" igual a θ + 90 graus, eu vou ter que o cosseno de θ + 90 é igual ao seno de 90 graus, menos θ, menos 90 graus. Está aí. Aí eu posso simplificar este 90 com este 90, e isto vai ser igual ao seno de -θ. E nós sabemos que o seno de -θ é a mesma coisa que menos o seno do ângulo θ. Ou seja, eu posso simplificar isto aqui e colocar aqui o seno de θ. Mas, como aqui é menos seno de θ, eu vou mudar este sinal aqui. Vai ficar positivo aqui na frente. Agora vamos ver quanto isto vai dar: 24² é a mesma coisa que 576. Isto vai ser igual a: 2 vezes (25/2)², mais, aqui eu tenho, novamente, 2 vezes (25/2)². Olha aí, então, 2 vezes (25/2)², vezes, ainda, o seno de θ. Beleza? Ou seja, eu posso simplificar ainda mais esta expressão da seguinte forma: 576 é igual, vou colocar o 2 vezes (25/2)² em evidência, então, vou ter 2 vezes (25/2)², que vai multiplicar por 1 mais o seno de θ. E aí eu retorno para esta expressão aqui de cima, sim ou não? Aqui, agora, eu vou dar uma simplificada também. Isto aqui vai ser 625/4. Quando eu multiplicar por 2, vai ser 625/2. Então, se eu multiplicar em ambos os lados da equação pelo inverso desta fração aqui, eu vou ter 576 vezes 2, sobre 625, e isto vai ser igual a 1 mais o seno de θ. Agora eu posso subtrair 1 dos dois lados. O que eu vou ter, então? Ora, aqui eu vou ter que o seno de θ vai ser igual a 576 vezes 2 (isso vai dar 1.152), sobre 625, menos 1. Eu subtraí 1 dos dois lados. Só que este 1 (este -1, no caso) eu vou escrever como -625/625. Isto aqui vai ser igual a quanto? Ora, agora vou ter que fazer aqui uma leve conta de subtração, não é? Então, vamos lá: 1.152 - 625. Quanto dá isso? Ora, 12 - 5 vai dar 7; 4 - 2 vai dar 2; e 11 - 6 vai dar 5. 527. Ou seja, isto vai dar 527/625. Agora você pode até não perceber, mas nós já estamos na reta final do problema. Deixe-me só desenhar aquele triângulo CDM de uma maneira diferente aqui embaixo. Mais ou menos assim. Está aqui o triângulo CDM. Aqui eu tenho o ponto C, aqui eu tenho o ponto D e aqui eu tenho o ponto M. Eu sei que este lado DM, que nós calculamos, é 5 raiz de 11, sobre 2. Então, 5 raiz de 11, sobre 2. Nós sabemos, também, que o lado CM vale 25/2. Então, 25/2. E nós também sabemos o seno deste ângulo aqui, do ângulo θ. E quanto é? Ora, o seno de θ, nós acabamos de calcular aqui: 527/625. E agora nós podemos usar essa informação do seno de θ para calcular esta medida aqui, da altura do triângulo. Como esta altura forma um ângulo de 90 graus, eu posso usar que o seno de θ é o oposto sobre a hipotenusa. Ou seja, isto aqui vai ser igual à altura, que eu vou chamar de "h", a altura "h" daquele triângulo, sobre 5 raiz de 11 sobre 2. E agora, o que eu posso fazer é multiplicar em ambos os lados da equação, da igualdade aqui, por 5 raiz de 11 sobre 2. Então, vou ter que a altura "h" é igual a 527/625, vezes 5/2 raiz de 11. É ou não é? Agora, o que eu posso fazer é simplificar este 5 com o 625. Então, eu vou ter o seguinte: 527 raiz de 11, aqui em cima, 527 vezes a raiz de 11. E, aqui embaixo, vai dar 125 vezes 2, que dá 250. Agora eu tenho o seguinte: a área do triângulo é igual a 1/2 vezes a base (a metade da base), então, 25/2, vezes a altura. Qual é a altura? 527 raiz de 11, sobre 250. E quanto vai ser isso? Ora, aqui eu posso simplificar este 25 com o 250, que vai dar 10 aqui embaixo. Então, eu vou ter: 2 vezes 2 é 4, vezes 10 é 40. Aqui no denominador eu vou ter 40. E, aqui em cima, 527 raiz de 11. Olha aí. Só que ele não quer que a gente ache a área no problema. Vamos ver o que ele quer lá no enunciado. Ele quer que a gente ache "m + n + p", quando a área está neste formato aqui, não é? Foi exatamente o que nós achamos. Ou seja, o que ele quer, na verdade, é 527 + 11 + 40. Quanto vai dar isso, então? Ora, 527 mais 11 mais 40. Isto vai dar igual a 538 mais 40, que dá 578. Ufa! Por agora é só. Até o próximo vídeo!