Desafio de trigonometria: área de um hexágono

RKA10MP – Sejam A = (0, 0) e B = (b, 2) pontos no plano cartesiano. Seja ABCDEF um hexágono equilátero convexo. Um hexágono equilátero convexo é um hexágono que não é côncavo. Um hexágono côncavo teria mais ou menos este aspecto: um, dois, três, quatro, cinco, seis lados. Teria este aspecto mais ou menos. Mas você percebe pelo enunciado que ele não diz que o hexágono não é regular. Diz apenas que é equilátero, os lados são iguais, e também é convexo. Então o que não sabemos é se todos os ângulos do hexágono… não deste, mas do hexágono convexo, se todos os ângulos são iguais. A gente só sabe que todos os lados são iguais. Então ele nos dá um hexágono equilátero convexo tal que o ângulo FAB é igual a 120°. E ele nos dá um montão de lados que são paralelos aos outros, e as coordenadas "y" dos seus vértices são elementos distintos do conjunto . A área do hexágono pode ser escrita na forma m√n em que "m" e "n" são números inteiros positivos e "n" não é divisível pelo quadrado de qualquer número primo. E o que isso quer dizer? Isso quer dizer que esta raiz quadrada já não pode mais ser simplificada. Calcule m + n. Então só para a gente visualizar melhor isso, deixe-me desenhar um plano cartesiano. Primeiro, o eixo do "x". E agora o eixo do "y", aqui está o eixo do "y" do meu plano cartesiano. Um dos vértices sei, com certeza, que está no ponto (0, 0). Portanto, já posso marcar na origem o vértice "A" que está no ponto (0, 0). E sabemos também que as outras coordenadas do eixo do "y" são elementos deste conjunto . E que, além disso, cada coordenada "y" tem um destes números, eles não compartilham números iguais. E isso quer dizer o quê? Isso quer dizer que as coordenadas do "y" não estarão sobre a mesma linha horizontal. Ou seja, vou desenhar só para ficar mais fácil de entender. A gente tem "y" igual a zero, que é o próprio eixo do "x", a gente tem "y" igual a 2 por aqui assim, "y" igual a 4, a 6, a 8 e a 10. O que a gente sabe é que "A" já tem zero, então vou cortá-lo deste conjunto, pois já foi usado uma vez, não precisa usar mais. O "B", a coordenada "y" de "B" é 2, então já posso cortar o 2 também. Portanto, como a coordenada "y" do "B" é no 2, ele estará em algum lugar aqui este ponto "B" estará em algum lugar sobre este pontilhado que estou fazendo. Digamos que esteja por aqui. Digamos que esteja por aqui, e já vou ter um dos lados do hexágono, que vai ser este lado, daqui até aqui. Vou dizer que meu hexágono tem um lado o "S", e como ele é um hexágono equilátero, isso quer dizer que todos os lados do hexágono, quando eu desenhá-lo aqui, vão ter lados iguais a "S". Ou seja, então, este pontinho vai ser o vértice "B", que tem coordenadas (b, 2), não sei quanto é este "b", mas por aqui estará o vértice "B. Agora é o seguinte, o próximo ponto que está conectado a este ponto "A", que vai formar um lado do hexágono, é o ponto "F". FA é um lado do hexágono. Só que este "F", por exemplo, não pode estar no 6, pois estará muito longe desse ponto "A", e não teria a mesma distância desse lado que desenhamos. Portanto, "F" vai ter que estar sobre este ponto do "y" igual a 4. "F" vai ter que estar por aqui. E como tem que ter mais ou menos a mesma medida desse lado "S", digamos que ele esteja por aqui, o ponto "F", então o lado seria este. Portanto, este pontinho vai ser o vértice "F". E agora o vértice "C". É claro, ele não vai mais poder estar sobre esta linha horizontal do 4, aqui no "y" igual a 4, então vai ter que estar no 6. Então digamos que o vértice "C" esteja por aqui. E o que sabemos é que se este lado mede "S" e este também mede "S", e este outro lado, de "B" até "C", também vai medir "S", então aqui é o vértice "C". E já usamos 4, 6. E agora o vértice "D". Este vértice obviamente não vai mais poder estar sob a linha horizontal do 6, então provavelmente estará no 8. Mas o que vou fazer agora, no caso, é localizar o vértice "E". Então, digamos que o vértice "E" esteja aqui. No caso do ponto "E", ele estará exatamente sobre o eixo do "y". E como eu sei disso? Porque "A" está sobre o eixo do "y", está no ponto (0, 0). E como os lados são iguais deste hexágono, então este lado "S", de "A" até "F", é a mesma medida de "F" até "E", então vai ser "S" aqui também. Logo, é um triângulo isósceles. E portanto, este lado AE seria uma base deste triângulo isósceles. Logo "E" tem que estar em cima do eixo "y", desse jeito mesmo. E é claro, além disso, estes dois triângulos isósceles que falei se transformam em dois triângulos retângulos, se eu traçar esta altura do triângulo. E é claro, isso vai dividir o lado AE ao meio e a hipotenusa vai ser o lado "S". E no caso para o vértice "D", já usamos 8, e o vértice "D" vai seguir a mesma lógica disso que eu acabei de falar. Então ele vai ficar sobre "y" igual a 10, digamos por aqui, e faz todo o sentido ele ficar por aqui porque é o seguinte, deste ponto "B" até "C", eu andei para cima quatro unidades, e aqui eu ia formar também um outro triângulo isósceles. Aqui está o ponto "D", e aqui também tenho que ir para cima quatro unidades para conectar lá naquele ponto "D". Portanto, o que eu sei é que a coordenada de "D", como ela estará bem em cima desse pontinho "b" também, ele vai ser "b" para o "x" e 10 para o "y". Então finalmente vou ter o meu hexágono, quando ligar este "E" lá no "D" dessa forma. Agora ele nos dá algumas informações sobre o paralelismo desses lados. Ele nos diz que o AB é paralelo ao DE, então DE está aqui, DE vai ser paralelo ao AB. Depois ele fala que BC é paralelo ao EF, então BC está aqui, vai ser paralelo ao EF aqui. E finalmente, o lado CD vai ser paralelo ao FA, então CD está aqui paralelo ao lado FA, que está bem aqui. E do jeito que desenhamos realmente está fazendo sentido. Agora temos que descobrir qual é a área desse hexágono, e me parece que um bom ponto de partida é descobrir a medida desse lado o "S". E para a gente descobrir este valor do "S", vamos chamar este ângulo de θ. Ele nos diz também que o ângulo FAB é igual a 120°, então este ângulo FAB. Então este ângulo de 120° dessa forma. E agora este outro ângulo vai ser 180° menos 120° menos θ. 180° menos 120° dá 60°, então vai ser 60° menos θ. 60° menos θ. E o motivo pelo qual fiz isso é porque agora tenho algumas informações importantes. Eu sei que daqui deste ponto "B" até o eixo do "x" são duas unidades de medida. E do ponto "F" até o ponto "x", até o eixo do "x", são 4, viajamos 4 para cima. E agora podemos usar esta informação para descobrir a medida do "S", já que ele vai ser a hipotenusa destes triângulos retângulos. Então deixe-me desenhar, redesenhar, no caso, estes dois triângulos retângulos. Este primeiro vai ter mais ou menos este formato, aqui vai ser o lado "S", aqui vai medir 2, e daqui até aqui é uma parte do eixo do "x", então aqui é "S", aqui vai ser o ângulo θ e aqui mede 2. E este outro triângulo retângulo vai se parecer mais ou menos com isso. Este ângulo vai medir 60° menos θ e esta altura vai medir 4. Agora vou ter o seguinte, neste triângulo, que é exatamente igual a este o senθ vai ser igual ao oposto, que é 2, sobre a hipotenusa, que é "S". E neste outro, sabemos que a hipotenusa também é "S", este lado todo é "S", sen(60° - θ) vai ser igual a quanto? Vai ser igual ao oposto, que é 4, sobre a hipotenusa, que é "S". E agora posso fazer o seguinte, se eu multiplicar em ambos os lados da equação por 2 vou ter que senθ vai ser igual a 4 sobre "S", e aqui sen(60° - θ) também é 4 sobre "S". Então a gente pode fazer o seguinte, podemos dizer que 2 senθ é igual a sen(60° - θ). E aqui posso usar uma das identidades trigonométricas que sei para reescrever sen(60° - θ). Sen(a - b), como sabemos vai ser, no caso, sen60° vezes cosθ menos cos 60° multiplicado pelo senθ, e tudo isso vai ser igual a 2 senθ. E posso simplificar da seguinte maneira, sen60° é √3 sobre 2, e cos60° é igual a ½. E o que vou fazer agora é somar em ambos os lados da equação por ½ senθ, por isso aqui. Vou somar e este lado vai desaparecer, vai dar zero, e do outro lado vai aparecer ½ senθ mais 2 senθ, que vai dar 5 sobre 2 vezes senθ. Eu apenas somei ambos os lados por ½ senθ. Então ½ senθ mais 2 senθ, 5 sobre 2 senθ. Isso vai ser igual a √3 sobre 2 que multiplica cosθ. Agora só para simplificar um pouco mais eu posso multiplicar ambos os lados por 2, e aí vou ter que 5 senθ vai ser igual a √3 cosθ. E o que vou fazer aqui vai ser elevar ambos os lados ao quadrado para ter aquela relação que sen²θ mais cos²θ é igual a 1. E aqui vou fazer o seguinte, 5² vai ser igual a 25 sen²θ. E desse outro lado, vou simplificar com esta raiz quadrada, vai dar 3, Só que em vez de colocar cos²θ, vou colocar 1 menos sen²θ. Cos²θ é a mesma coisa que 1 menos sen²θ. Só para ficar claro para você, o que eu fiz foi elevar ambos os lados ao quadrado, dessa forma. Então vou ter o seguinte, que 25 sen²θ é igual, aplicando a distributiva aqui, 3 menos 3 sen²θ. Agora posso somar 3 sen²θ dos dois lados da igualdade, e a gente vai ter o seguinte, que 28 sen²θ estou somando dos dois lados por 3 sen²θ, é igual a 3. Posso dizer ainda que sen²θ é igual a 3 sobre 28. E para simplificar mais ainda, extraindo a raiz quadrada em ambos os lados, vou ter que senθ é igual a √3 sobre 28. Dá para simplificar? Até dá, vamos lá. Neste caso, 28 é 4 vezes 7, poderia simplificar 4, mas, na verdade, vou deixar do jeito que está e se precisar, eu simplifico depois. Agora é o seguinte, posso usar esta informação do senθ para relacionar com "S" lá em cima. O que fizemos aqui então? Antes de mexer com isso tudo, fazer essa bagunça toda, chegamos à conclusão que senθ é igual a 2 sobre "S". Ou seja, pegando o recíproco das duas frações vou ter que "S" sobre 2 é igual a 1 sobre senθ. Ou ainda, multiplicando por 2 em ambos os lados, que "S" vai ser igual a 2 sobre senθ. Logo posso substituir e no lugar do senθ colocar um valor que encontrei para ele, o "S" vai ser igual a duas vezes... Como senθ está no denominador, posso inverter simplesmente a fração, eu tinha encontrado 3 sobre 28, √3 sobre 28, então vou colocar 2 vezes √28 sobre 3. Está aqui embaixo, descobrimos que senθ é igual a √3 sobre 28, então posso inverter já que está no denominador, vai ficar dessa forma. Daí já descobrimos o valor de "S", está aqui o valor de "S". E agora que sabemos o valor do "S", será que a gente consegue determinar o valor da área do hexágono? Para achar a área do hexágono primeiro eu percebo o seguinte, este triângulo, veja se você concorda comigo, a base dele, que é daqui do vértice "A" até o vértice "E", mede 8, e aí podemos descobrir o valor disso através do teorema de Pitágoras, dessa altura. E vai ser o seguinte, sei que esta medida vale quanto? Vale 4, é metade de toda esta base que vale 8. E este lado "S" mede quanto? Mede 2 vezes √28 sobre 3. Então já posso usar o teorema de Pitágoras para descobrir a medida "h" desta altura. Vamos ter h² mais 4² que dá 16, na verdade, vou botar 16 direto, igual a S², "S" é isso aqui. Quando elevarmos isso ao quadrado, vai dar 4 vezes 28 sobre 3. E se eu subtrair 16 em ambos os lados, vou ter que h² é igual a 4 vezes 28 sobre 3 menos 16. Se eu quiser escrever 16 com um denominador 3, basta multiplicar 16 por 3. E 16 vezes 3 vai dar 48, então 48 sobre 3. E nesse caso, não quero multiplicar 4 por 28, posso transformar 48 em 4 vezes 12, e vou ter o seguinte, 4 vezes 28 menos 4 vezes 12 então vou ter h² é igual a 4 vezes 28 menos 12, coloquei 4 em evidência, e tudo isso sobre 3. E isso tudo vai ser igual a 16, pois 28 menos 12 é 16, então vou ter 4 vezes 16 sobre 3, e 4 vezes 16 é quanto? 64. Então 64 sobre 3. Portanto, "h" vai ser igual à raiz quadrada disso aqui, porque isso é h². Então √64 é 8, e √3 é a própria √3. Agora é o seguinte, digamos que eu queira calcular a área deste triângulo que estou fazendo de azul. Qual vai ser a área deste triângulo? Vai ser "h", que é a mesma coisa que 8 sobre √3, então 8 sobre √3 vezes 4, que é o valor da base dele, multiplicado ainda por ½, já que a área do triângulo é metade da base vezes a altura. Portanto, fazendo essas contas a gente vai ter que 4 simplifica com 2, e vou ter 2 vezes 8 sobre √3, que vai dar 16√3. Então este triângulo, a área deste triângulo vai ser igual a 16 sobre √3. A gente tem este cara, que é 16 sobre √3. Este outro cara, este outro triângulo também vai ter a mesma área, que é 16√3. Estes triângulos também vão ter esta mesma área, pois eles têm a mesma base, a mesma altura, são triângulos congruentes a estes. Logo, se eu quiser saber a área dos quatro triângulos retângulos aqui, basta multiplicar por 4. Vai ser 4 vezes 16 sobre √3, que vai dar 64 sobre √3, essa é a área dos 4 triângulos. O que nos falta saber é a área deste paralelogramo que sobrou. Este paralelogramo que estou fazendo de azul, já sabemos a sua base, que é 8, basta agora sabermos a sua altura, este pedaço. E para isso vamos usar novamente o teorema de Pitágoras. Vou chamar esta altura novamente de "h", lembrando que não é o mesmo "h", vamos chamar de h₁, e aqui vai valer 2 neste pedaço. Desculpa, está difícil de ler, mas dá para a gente fazer a conta agora. Pelo teorema de Pitágoras vou ter que h₁² mais 2², que é 4, vai ser igual ao quadrado do "S", que já descobrimos que é 4 vezes 28 sobre 3. Agora vamos subtrair 4 em ambos os lados, vou ter menos 12 sobre 3, coloquei no mesmo denominador, e 12 é a mesma coisa que 4 vezes 3. E isso vai ser igual a quanto? Vai ser igual a 4 vezes 28 menos 3, que vai dar 25, então 4 vezes 25 sobre 3. Logo, h₁² vai ser igual a 100 sobre 3. Então se h₁² é 100 sobre 3, a raiz quadrada, que vai ser o valor de "h", vai ser igual a 10 sobre √3. Aqui já podemos calcular a área do paralelogramo, que é base vezes altura. A base dele é 8, como vimos aqui em cima. A altura vai ser 10 sobre √3, portanto, a área total dele vai ser 8 vezes 10 sobre √3, que vai dar 80 sobre √3. E agora temos o seguinte, a área de todo o hexágono, todo este hexágono, vai ser a soma da área dos triângulos mais a área do paralelogramo. A área dos triângulos nós descobrimos que é 64 sobre √3 e a do paralelogramo é 80 sobre √3. Então somando tudo vou ter 80 sobre √3 mais 64 sobre √3, e isso vai ser igual a 144 sobre √3. Posso racionalizar que o denominador, vou só chegar um pouco para o lado, racionalizando o denominador posso multiplicar em cima e em baixo por √3. Então vou ter que isso aqui vai ser igual a 144 vezes √3 sobre 3. Agora posso simplificar 144 por 3, e quanto isso vai ser? 144 dividido por 3 dá 48. Então vou ter 48√3. E esta vai ser a área daquele hexágono inteirinho. Só que você tem que lembrar lá no enunciado que ele não está querendo a área. O que ele quer é m + n, sabendo que tem este formato: m√n. Portanto, o que vou ter aqui é 48 mais 3. E 48 mais 3 é quanto? 51. E aí nós finalizamos este problema, que foi bem cansativo. Então é isso, espero que tenha gostado. Até o próximo vídeo!