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Trigonometria
Curso: Trigonometria > Unidade 4
Lição 6: Desafios de trigonometria- Desafio de trigonometria: área de um triângulo
- Desafio de trigonometria: área de um hexágono
- Desafio de trigonometria: cosseno da soma de ângulos
- Desafio de trigonometria: progressão aritmética
- Desafio de trigonometria: valor máximo
- Desafio de trigonometria: diversas restrições
- Desafio de trigonometria: sistema de equações
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Desafio de trigonometria: área de um hexágono
Neste vídeo, resolvemos um problema bastante complicado de trigonometria geométrica que apareceu como a questão 14 no exame AIME II de 2003. Versão original criada por Sal Khan.
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Transcrição de vídeo
RKA10MP – Sejam A = (0, 0) e B = (b, 2)
pontos no plano cartesiano. Seja ABCDEF um hexágono
equilátero convexo. Um hexágono equilátero convexo
é um hexágono que não é côncavo. Um hexágono côncavo teria mais
ou menos este aspecto: um, dois, três, quatro, cinco, seis lados.
Teria este aspecto mais ou menos. Mas você percebe pelo enunciado
que ele não diz que o hexágono não é regular. Diz apenas que é equilátero,
os lados são iguais, e também é convexo. Então o que não sabemos é se todos os ângulos
do hexágono… não deste, mas do hexágono convexo, se todos os ângulos são iguais.
A gente só sabe que todos os lados são iguais. Então ele nos dá um hexágono equilátero
convexo tal que o ângulo FAB é igual a 120°. E ele nos dá um montão de lados
que são paralelos aos outros, e as coordenadas "y" dos seus vértices são elementos
distintos do conjunto . A área do hexágono pode
ser escrita na forma m√n em que "m" e "n" são números inteiros
positivos e "n" não é divisível pelo quadrado de qualquer número primo.
E o que isso quer dizer? Isso quer dizer que esta raiz quadrada
já não pode mais ser simplificada. Calcule m + n. Então só para
a gente visualizar melhor isso, deixe-me desenhar um plano cartesiano.
Primeiro, o eixo do "x". E agora o eixo do "y", aqui está
o eixo do "y" do meu plano cartesiano. Um dos vértices sei, com certeza,
que está no ponto (0, 0). Portanto, já posso marcar na origem
o vértice "A" que está no ponto (0, 0). E sabemos também que as outras
coordenadas do eixo do "y" são elementos deste conjunto
. E que, além disso, cada coordenada "y" tem um destes
números, eles não compartilham números iguais. E isso quer dizer o quê? Isso quer dizer que as coordenadas
do "y" não estarão sobre a mesma linha horizontal. Ou seja, vou desenhar só para
ficar mais fácil de entender. A gente tem "y" igual a zero,
que é o próprio eixo do "x", a gente tem "y" igual a 2
por aqui assim, "y" igual a 4, a 6, a 8 e a 10. O que a gente sabe é que "A" já tem zero, então vou cortá-lo deste conjunto,
pois já foi usado uma vez, não precisa usar mais. O "B", a coordenada "y" de "B" é 2,
então já posso cortar o 2 também. Portanto, como a coordenada "y" do "B"
é no 2, ele estará em algum lugar aqui este ponto "B" estará em algum lugar
sobre este pontilhado que estou fazendo. Digamos que esteja por aqui.
Digamos que esteja por aqui, e já vou ter um dos lados do hexágono,
que vai ser este lado, daqui até aqui. Vou dizer que meu hexágono
tem um lado o "S", e como ele é um hexágono equilátero, isso quer dizer que todos os lados
do hexágono, quando eu desenhá-lo aqui, vão ter lados iguais a "S". Ou seja, então, este pontinho
vai ser o vértice "B", que tem coordenadas (b, 2),
não sei quanto é este "b", mas por aqui estará o vértice "B. Agora é o seguinte, o próximo ponto que está conectado
a este ponto "A", que vai formar um lado do hexágono, é o ponto "F".
FA é um lado do hexágono. Só que este "F", por exemplo,
não pode estar no 6, pois estará muito longe desse ponto "A", e não teria a mesma distância
desse lado que desenhamos. Portanto, "F" vai ter que estar sobre este ponto
do "y" igual a 4. "F" vai ter que estar por aqui. E como tem que ter mais ou menos
a mesma medida desse lado "S", digamos que ele esteja por aqui,
o ponto "F", então o lado seria este. Portanto, este pontinho
vai ser o vértice "F". E agora o vértice "C". É claro,
ele não vai mais poder estar sobre esta linha horizontal do 4, aqui no "y" igual a 4,
então vai ter que estar no 6. Então digamos que o vértice "C"
esteja por aqui. E o que sabemos é que se este lado
mede "S" e este também mede "S", e este outro lado, de "B" até "C",
também vai medir "S", então aqui é o vértice "C". E já usamos 4, 6. E agora
o vértice "D". Este vértice obviamente não vai mais
poder estar sob a linha horizontal do 6, então provavelmente estará no 8. Mas o que vou fazer agora,
no caso, é localizar o vértice "E". Então, digamos
que o vértice "E" esteja aqui. No caso do ponto "E", ele estará exatamente
sobre o eixo do "y". E como eu sei disso? Porque "A" está sobre o eixo
do "y", está no ponto (0, 0). E como os lados são iguais deste hexágono,
então este lado "S", de "A" até "F", é a mesma medida de "F" até "E",
então vai ser "S" aqui também. Logo, é um triângulo isósceles. E portanto, este lado AE seria
uma base deste triângulo isósceles. Logo "E" tem que estar em cima
do eixo "y", desse jeito mesmo. E é claro, além disso, estes dois
triângulos isósceles que falei se transformam em dois
triângulos retângulos, se eu traçar esta altura do triângulo. E é claro, isso vai dividir o lado AE ao meio
e a hipotenusa vai ser o lado "S". E no caso para o vértice "D",
já usamos 8, e o vértice "D" vai seguir a mesma
lógica disso que eu acabei de falar. Então ele vai ficar sobre "y" igual a 10,
digamos por aqui, e faz todo o sentido ele ficar
por aqui porque é o seguinte, deste ponto "B" até "C",
eu andei para cima quatro unidades, e aqui eu ia formar também
um outro triângulo isósceles. Aqui está o ponto "D", e aqui também tenho que ir para
cima quatro unidades para conectar lá naquele ponto "D". Portanto, o que eu sei é que
a coordenada de "D", como ela estará bem em cima
desse pontinho "b" também, ele vai ser "b" para
o "x" e 10 para o "y". Então finalmente vou ter o meu hexágono,
quando ligar este "E" lá no "D" dessa forma. Agora ele nos dá algumas informações
sobre o paralelismo desses lados. Ele nos diz que o AB
é paralelo ao DE, então DE está aqui,
DE vai ser paralelo ao AB. Depois ele fala que BC é paralelo ao EF,
então BC está aqui, vai ser paralelo ao EF aqui. E finalmente, o lado CD vai ser
paralelo ao FA, então CD está aqui paralelo ao lado FA,
que está bem aqui. E do jeito que desenhamos
realmente está fazendo sentido. Agora temos que descobrir
qual é a área desse hexágono, e me parece que um bom ponto de partida é descobrir a medida
desse lado o "S". E para a gente descobrir este valor
do "S", vamos chamar este ângulo de θ. Ele nos diz também
que o ângulo FAB é igual a 120°,
então este ângulo FAB. Então este ângulo
de 120° dessa forma. E agora este outro ângulo vai ser 180° menos 120° menos θ. 180° menos 120° dá 60°,
então vai ser 60° menos θ. 60° menos θ. E o motivo pelo qual fiz isso é porque
agora tenho algumas informações importantes. Eu sei que daqui deste
ponto "B" até o eixo do "x" são duas unidades de medida. E do ponto "F"
até o ponto "x", até o eixo do "x", são 4, viajamos 4 para cima. E agora podemos usar esta informação
para descobrir a medida do "S", já que ele vai ser a hipotenusa
destes triângulos retângulos. Então deixe-me desenhar, redesenhar,
no caso, estes dois triângulos retângulos. Este primeiro vai ter mais
ou menos este formato, aqui vai ser o lado "S",
aqui vai medir 2, e daqui até aqui
é uma parte do eixo do "x", então aqui é "S", aqui vai
ser o ângulo θ e aqui mede 2. E este outro triângulo retângulo vai
se parecer mais ou menos com isso. Este ângulo vai medir 60° menos θ e esta altura vai medir 4. Agora vou ter o seguinte, neste triângulo,
que é exatamente igual a este o senθ vai ser igual ao oposto, que é 2, sobre a hipotenusa, que é "S". E neste outro, sabemos que a hipotenusa
também é "S", este lado todo é "S", sen(60° - θ) vai ser igual a quanto? Vai ser igual ao oposto, que é 4,
sobre a hipotenusa, que é "S". E agora posso fazer o seguinte, se eu multiplicar
em ambos os lados da equação por 2 vou ter que senθ vai
ser igual a 4 sobre "S", e aqui sen(60° - θ)
também é 4 sobre "S". Então a gente pode fazer o seguinte,
podemos dizer que 2 senθ é igual a sen(60° - θ). E aqui posso usar uma das identidades
trigonométricas que sei para reescrever sen(60° - θ). Sen(a - b), como sabemos
vai ser, no caso, sen60° vezes cosθ menos cos 60°
multiplicado pelo senθ, e tudo isso vai ser igual a 2 senθ. E posso simplificar da seguinte
maneira, sen60° é √3 sobre 2, e cos60° é igual a ½. E o que vou fazer agora é somar
em ambos os lados da equação por ½ senθ, por isso aqui. Vou somar e este lado vai
desaparecer, vai dar zero, e do outro lado vai aparecer
½ senθ mais 2 senθ, que vai dar 5 sobre 2 vezes senθ. Eu apenas somei ambos os lados por ½ senθ. Então ½ senθ mais 2 senθ, 5 sobre 2 senθ. Isso vai ser igual a √3 sobre 2
que multiplica cosθ. Agora só para simplificar um pouco mais
eu posso multiplicar ambos os lados por 2, e aí vou ter que 5 senθ
vai ser igual a √3 cosθ. E o que vou fazer aqui vai ser
elevar ambos os lados ao quadrado para ter aquela relação que
sen²θ mais cos²θ é igual a 1. E aqui vou fazer o seguinte,
5² vai ser igual a 25 sen²θ. E desse outro lado, vou simplificar
com esta raiz quadrada, vai dar 3, Só que em vez de colocar cos²θ, vou colocar 1 menos sen²θ. Cos²θ é a mesma coisa
que 1 menos sen²θ. Só para ficar claro para você, o que eu fiz
foi elevar ambos os lados ao quadrado, dessa forma. Então vou ter o seguinte,
que 25 sen²θ é igual, aplicando a distributiva
aqui, 3 menos 3 sen²θ. Agora posso somar 3 sen²θ
dos dois lados da igualdade, e a gente vai ter
o seguinte, que 28 sen²θ estou somando dos dois
lados por 3 sen²θ, é igual a 3. Posso dizer ainda que sen²θ
é igual a 3 sobre 28. E para simplificar mais ainda, extraindo
a raiz quadrada em ambos os lados, vou ter que senθ é igual a √3 sobre 28.
Dá para simplificar? Até dá, vamos lá. Neste caso, 28 é 4 vezes 7,
poderia simplificar 4, mas, na verdade,
vou deixar do jeito que está e se precisar, eu simplifico depois. Agora é o seguinte, posso usar
esta informação do senθ para relacionar com "S" lá em cima. O que fizemos aqui então? Antes de mexer
com isso tudo, fazer essa bagunça toda, chegamos à conclusão que senθ
é igual a 2 sobre "S". Ou seja, pegando o recíproco das duas
frações vou ter que "S" sobre 2 é igual a 1 sobre senθ. Ou ainda, multiplicando por 2 em ambos
os lados, que "S" vai ser igual a 2 sobre senθ. Logo posso substituir e no lugar do senθ
colocar um valor que encontrei para ele, o "S" vai ser igual a duas vezes... Como senθ está no denominador,
posso inverter simplesmente a fração, eu tinha encontrado 3 sobre 28, √3 sobre 28, então vou colocar
2 vezes √28 sobre 3. Está aqui embaixo, descobrimos que senθ
é igual a √3 sobre 28, então posso inverter já que está
no denominador, vai ficar dessa forma. Daí já descobrimos o valor de "S",
está aqui o valor de "S". E agora que sabemos o valor do "S", será que a gente
consegue determinar o valor da área do hexágono? Para achar a área do hexágono
primeiro eu percebo o seguinte, este triângulo, veja se você concorda
comigo, a base dele, que é daqui do vértice "A"
até o vértice "E", mede 8, e aí podemos descobrir o valor disso através
do teorema de Pitágoras, dessa altura. E vai ser o seguinte,
sei que esta medida vale quanto? Vale 4, é metade
de toda esta base que vale 8. E este lado "S" mede quanto?
Mede 2 vezes √28 sobre 3. Então já posso usar o teorema de Pitágoras
para descobrir a medida "h" desta altura. Vamos ter h² mais 4² que dá 16, na verdade,
vou botar 16 direto, igual a S², "S" é isso aqui. Quando elevarmos isso ao quadrado, vai dar 4 vezes 28 sobre 3. E se eu subtrair 16 em ambos
os lados, vou ter que h² é igual a 4 vezes 28 sobre 3 menos 16. Se eu quiser escrever 16 com um denominador 3,
basta multiplicar 16 por 3. E 16 vezes 3 vai dar 48,
então 48 sobre 3. E nesse caso, não quero multiplicar 4 por 28,
posso transformar 48 em 4 vezes 12, e vou ter o seguinte,
4 vezes 28 menos 4 vezes 12 então vou ter h²
é igual a 4 vezes 28 menos 12, coloquei 4 em evidência,
e tudo isso sobre 3. E isso tudo vai ser igual a 16,
pois 28 menos 12 é 16, então vou ter 4 vezes 16 sobre 3, e 4 vezes 16 é quanto? 64.
Então 64 sobre 3. Portanto, "h" vai ser igual à raiz
quadrada disso aqui, porque isso é h². Então √64 é 8,
e √3 é a própria √3. Agora é o seguinte, digamos que eu queira calcular
a área deste triângulo que estou fazendo de azul. Qual vai ser a área deste triângulo?
Vai ser "h", que é a mesma coisa que 8 sobre √3, então 8 sobre √3 vezes 4,
que é o valor da base dele, multiplicado ainda por ½, já que a área
do triângulo é metade da base vezes a altura. Portanto, fazendo essas
contas a gente vai ter que 4 simplifica com 2, e vou ter 2 vezes 8 sobre √3,
que vai dar 16√3. Então este triângulo, a área deste triângulo
vai ser igual a 16 sobre √3. A gente tem este cara,
que é 16 sobre √3. Este outro cara, este outro triângulo
também vai ter a mesma área, que é 16√3. Estes triângulos também
vão ter esta mesma área, pois eles têm a mesma base, a mesma altura,
são triângulos congruentes a estes. Logo, se eu quiser saber a área dos quatro triângulos
retângulos aqui, basta multiplicar por 4. Vai ser 4 vezes 16 sobre √3, que vai dar 64 sobre √3, essa é a área dos 4 triângulos. O que nos falta saber
é a área deste paralelogramo que sobrou. Este paralelogramo que estou fazendo
de azul, já sabemos a sua base, que é 8, basta agora sabermos
a sua altura, este pedaço. E para isso vamos usar novamente
o teorema de Pitágoras. Vou chamar esta altura novamente de "h",
lembrando que não é o mesmo "h", vamos chamar de h₁, e aqui vai valer 2 neste pedaço.
Desculpa, está difícil de ler, mas dá para a gente fazer a conta agora. Pelo teorema de Pitágoras
vou ter que h₁² mais 2², que é 4,
vai ser igual ao quadrado do "S", que já descobrimos
que é 4 vezes 28 sobre 3. Agora vamos subtrair 4 em ambos os lados, vou ter menos 12 sobre 3,
coloquei no mesmo denominador, e 12 é a mesma coisa que 4 vezes 3. E isso vai ser igual a quanto?
Vai ser igual a 4 vezes 28 menos 3, que vai dar 25,
então 4 vezes 25 sobre 3. Logo, h₁² vai ser
igual a 100 sobre 3. Então se h₁² é 100 sobre 3, a raiz quadrada,
que vai ser o valor de "h", vai ser igual a 10 sobre √3. Aqui já podemos calcular
a área do paralelogramo, que é base vezes altura. A base
dele é 8, como vimos aqui em cima. A altura vai ser 10 sobre √3, portanto,
a área total dele vai ser 8 vezes 10 sobre √3,
que vai dar 80 sobre √3. E agora temos o seguinte, a área
de todo o hexágono, todo este hexágono, vai ser a soma da área dos triângulos
mais a área do paralelogramo. A área dos triângulos
nós descobrimos que é 64 sobre √3 e a do paralelogramo é 80 sobre √3.
Então somando tudo vou ter 80 sobre √3 mais 64 sobre √3, e isso vai ser igual a 144 sobre √3. Posso racionalizar que o denominador,
vou só chegar um pouco para o lado, racionalizando o denominador posso
multiplicar em cima e em baixo por √3. Então vou ter que isso aqui
vai ser igual a 144 vezes √3 sobre 3. Agora posso simplificar 144 por 3,
e quanto isso vai ser? 144 dividido por 3 dá 48. Então vou ter 48√3. E esta vai ser a área
daquele hexágono inteirinho. Só que você tem que lembrar lá no enunciado
que ele não está querendo a área. O que ele quer é m + n,
sabendo que tem este formato: m√n. Portanto, o que vou ter aqui é 48 mais 3. E 48 mais 3 é quanto? 51. E aí nós finalizamos este
problema, que foi bem cansativo. Então é isso, espero que tenha gostado.
Até o próximo vídeo!