Desafio de trigonometria: cosseno da soma de ângulos

RKA - Bem, temos aqui que teta (θ) é um ângulo entre pi (π) e 2 π. O cosseno de θ é igual a - (√3)/2, e fi (φ) é um ângulo agudo. Se ele é um ângulo agudo, eu posso supor que ele é um ângulo agudo e positivo. Vou escrever aqui. Eu também posso dizer que ele é um ângulo positivo e agudo. O cosseno de φ vale 7 sobre 25. E eu quero descobrir o valor exato de cosseno de (φ + θ). Será que a gente consegue fazer isso sem calculadora? Eu proponho que você pause o vídeo e tente fazer sozinho. Bom, vamos ver, então, como a gente pode trabalhar com isso. Eu quero descobrir o valor de cosseno de (φ + θ). Pelo menos para mim, na hora, o que vem na minha cabeça é a fórmula do cosseno da soma de 2 ângulos, até porque eu tenho o cosseno de θ e eu tenho o cosseno de φ. Eu posso usar esta fórmula para descobrir o seno de θ e o seno de φ. Então primeiro vamos escrever a fórmula aqui: cosseno da soma de 2 ângulos, o cosseno de (φ + θ). Eu sei que primeiro é o produto dos cossenos. Então vai ser: cos.φ vezes cos.θ menos... (se aqui for "+", aqui é "-", se aqui for "-", aqui é "+") menos sen.φ vezes sen.θ. Esta é a fórmula que nós já vimos. E alguns desses valores o exercício já nos deu. Olha lá, o cosseno de φ, ele nos disse que vale 7 sobre 25. Então onde está o cosseno de φ, a gente vai colocar 7 sobre 25. Cosseno de θ, ele também nos deu: - (√3)/2. Então no lugar do cosseno de θ, eu vou escrever - (√3)/2. Lembrando que esses dois números estão multiplicando. Agora a gente precisa descobrir o seno de φ e o seno de θ. Que bom que a gente já estudou a nossa relação pitagórica, aquela que diz que: sen².θ + cos².θ = 1. Podemos dizer também que sen².θ = 1 - cos².θ ou, ainda, que sen.θ = + ou - √(1 - cos².θ). Então a gente pode usar esta identidade para achar o valor do seno de θ, por exemplo. Afinal, ele deu o cosseno de θ aqui. Então a gente pode dizer que o seno de θ vai ser igual a + ou - √(1 - cos².θ). O cosseno de θ está aqui. Se elevarmos ao quadrado, o sinal negativo fica positivo. √3² vai ficar 3. E 2² vai ficar 4. Então fica 1 - 3/4. Então a gente vai dizer que o seno de θ é igual a + ou - a raiz quadrada... 1 - 3/4 = 1/4, então isso vai ser igual a mais ou menos... Raiz quadrada de 1 é 1. E raiz quadrada de 4 é 2. Logo, seno de θ pode valer + 1/2 ou - 1/2. Agora a gente tem que ter atenção para saber qual desses sinais vai ser o correto. Temos nosso θ aqui, vai valer + 1/2 ou -1/2? Para a gente determinar se o seno de θ vai ser o valor positivo ou o valor negativo, vamos rapidamente relembrar os nossos eixos do nosso círculo unitário aqui. Então aqui eu tenho o eixo "x", aqui eu tenho o eixo "y" e aqui eu tenho meu círculo unitário, que, relembrando, o raio dele é 1. O exercício nos diz que o ângulo θ está entre π e 2 π neste arco aqui. Então o ângulo π é aqui, então está entre esse arco aqui. Se eu tiver algum ângulo por aqui, se eu resolver fazer o valor de seno de θ, vai dar sobre esta parte aqui. Mas este arco vai de zero até π, quando eu quero o valor do θ, pode ser esse raio aqui, que vai até aqui, ou pode ser esse aqui. Pode estar no terceiro ou no quarto quadrante, vai estar entre este arco aqui. Se nós resolvermos projetar para o eixo que corresponde ao seno de θ, vai estar sempre na parte negativa do eixo "y". Ou seja, independente de qual desses quadrantes ele esteja, do terceiro ou do quarto quadrante, o valor do seno de θ certamente vai ser um valor negativo. Então onde está seno de θ, a gente vai colocar o valor de - 1/2. Agora vamos analisar o seno de φ. O seno de φ, da mesma maneira do seno de θ, vai ser igual a + ou - √(1 - cos².φ). O cosseno de φ é 7 sobre 25, então o cos² vai ser 7² = 49, 25² = 625. Seno de φ vai ser igual a + ou - 1... Eu posso escrever como seno 625 sobre 625 - 49 sobre 625. Vamos repetir o denominador e fazer a subtração entre os numeradores. 625 - 49. Bem, se fosse 625 - 50 daria 575. Como é - 49, é 576. Então esta subtração aqui dentro vai dar 576 sobre 625. E aí a gente vai ter que o valor de seno de φ vai ser igual a + ou - a raiz quadrada de 576. Bem, 24? Sim, 24 vezes 24 é 576, então a raiz quadrada de 576 é 24. Sobre 625, que vai ser 25. Agora a gente precisa de novo prestar atenção para determinar se vai ser o valor positivo ou o valor negativo. A gente sabe que o seno é esses valores aqui que projetamos na coordenada "y", podem ser esses valores, se olharmos para este quadrante, a gente projeta neste valor aqui. Só que ele nos diz que o ângulo é agudo, então eu tenho o ângulo neste cenário aqui, entre este quadrante. Ou seja, neste cenário aqui, nós teremos sempre o valor positivo do eixo "y". O seno de "y", então, aqui vai ser o valor positivo. Então vai ser 24 sobre 25. O que temos que fazer agora, é fazer as multiplicações e depois esta subtração. Então vamos lá, realizando estas multiplicações nós teremos: - 7 vezes √3, nesta primeira multiplicação aqui, a gente só vai repetir. 25 vezes 2, a gente sabe que dá 50. Aqui eu vou multiplicar: menos vezes menos é mais. Eu até poderia simplificar o 24 com 2, porém, se eu deixar, também vai dar o mesmo denominador, 25 vezes 2 = 50. E 24 vezes 1 = 24. Esse resultado final, a gente pode dizer que dá (24 - 7 vezes √3) sobre 50. E esse é o resultado que chegamos do cosseno de φ + θ. Até o próximo vídeo, pessoal!