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Trigonometria
Curso: Trigonometria > Unidade 4
Lição 6: Desafios de trigonometria- Desafio de trigonometria: área de um triângulo
- Desafio de trigonometria: área de um hexágono
- Desafio de trigonometria: cosseno da soma de ângulos
- Desafio de trigonometria: progressão aritmética
- Desafio de trigonometria: valor máximo
- Desafio de trigonometria: diversas restrições
- Desafio de trigonometria: sistema de equações
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Desafio de trigonometria: cosseno da soma de ângulos
Neste vídeo, sabemos o valor de cos(θ) e de cos(φ), e calculamos cos(θ+φ). Para isso, primeiro precisamos calcular sen(θ) e sen(φ) usando a identidade trigonométrica. Versão original criada por Sal Khan.
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Transcrição de vídeo
RKA - Bem, temos aqui que teta (θ)
é um ângulo entre pi (π) e 2 π. O cosseno de θ é igual a - (√3)/2, e fi (φ) é um ângulo agudo. Se ele é um ângulo agudo, eu posso supor
que ele é um ângulo agudo e positivo. Vou escrever aqui. Eu também posso dizer
que ele é um ângulo positivo e agudo. O cosseno de φ vale 7 sobre 25. E eu quero descobrir o valor exato
de cosseno de (φ + θ). Será que a gente consegue fazer isso
sem calculadora? Eu proponho que você pause o vídeo
e tente fazer sozinho. Bom, vamos ver, então,
como a gente pode trabalhar com isso. Eu quero descobrir o valor
de cosseno de (φ + θ). Pelo menos para mim, na hora, o que vem na minha
cabeça é a fórmula do cosseno da soma de 2 ângulos, até porque eu tenho o cosseno de θ
e eu tenho o cosseno de φ. Eu posso usar esta fórmula para descobrir
o seno de θ e o seno de φ. Então primeiro vamos escrever a fórmula aqui: cosseno da soma de 2 ângulos,
o cosseno de (φ + θ). Eu sei que primeiro é o produto dos cossenos. Então vai ser: cos.φ vezes cos.θ menos...
(se aqui for "+", aqui é "-", se aqui for "-", aqui é "+") menos sen.φ vezes sen.θ. Esta é a fórmula que nós já vimos.
E alguns desses valores o exercício já nos deu. Olha lá, o cosseno de φ,
ele nos disse que vale 7 sobre 25. Então onde está o cosseno de φ,
a gente vai colocar 7 sobre 25. Cosseno de θ, ele também nos deu:
- (√3)/2. Então no lugar do cosseno de θ,
eu vou escrever - (√3)/2. Lembrando que esses dois números
estão multiplicando. Agora a gente precisa descobrir
o seno de φ e o seno de θ. Que bom que a gente já estudou
a nossa relação pitagórica, aquela que diz que:
sen².θ + cos².θ = 1. Podemos dizer também
que sen².θ = 1 - cos².θ ou, ainda, que
sen.θ = + ou - √(1 - cos².θ). Então a gente pode usar esta identidade
para achar o valor do seno de θ, por exemplo. Afinal, ele deu o cosseno de θ aqui. Então a gente pode dizer que o seno de θ
vai ser igual a + ou - √(1 - cos².θ). O cosseno de θ está aqui. Se elevarmos ao quadrado,
o sinal negativo fica positivo. √3² vai ficar 3. E 2² vai ficar 4. Então fica 1 - 3/4. Então a gente vai dizer que o seno de θ
é igual a + ou - a raiz quadrada... 1 - 3/4 = 1/4, então isso vai ser igual a mais ou menos... Raiz quadrada de 1 é 1.
E raiz quadrada de 4 é 2. Logo, seno de θ pode valer + 1/2 ou - 1/2. Agora a gente tem que ter atenção
para saber qual desses sinais vai ser o correto. Temos nosso θ aqui,
vai valer + 1/2 ou -1/2? Para a gente determinar se o seno de θ
vai ser o valor positivo ou o valor negativo, vamos rapidamente relembrar os nossos eixos
do nosso círculo unitário aqui. Então aqui eu tenho o eixo "x", aqui eu tenho o eixo "y"
e aqui eu tenho meu círculo unitário, que, relembrando, o raio dele é 1. O exercício nos diz que o ângulo θ
está entre π e 2 π neste arco aqui. Então o ângulo π é aqui,
então está entre esse arco aqui. Se eu tiver algum ângulo por aqui, se eu resolver fazer
o valor de seno de θ, vai dar sobre esta parte aqui. Mas este arco vai de zero até π, quando eu quero o valor do θ, pode ser esse raio aqui, que vai até aqui, ou pode ser esse aqui. Pode estar no terceiro ou no quarto quadrante,
vai estar entre este arco aqui. Se nós resolvermos projetar para o eixo
que corresponde ao seno de θ, vai estar sempre na parte negativa do eixo "y". Ou seja, independente de qual desses quadrantes
ele esteja, do terceiro ou do quarto quadrante, o valor do seno de θ
certamente vai ser um valor negativo. Então onde está seno de θ,
a gente vai colocar o valor de - 1/2. Agora vamos analisar o seno de φ. O seno de φ, da mesma maneira do seno de θ,
vai ser igual a + ou - √(1 - cos².φ). O cosseno de φ é 7 sobre 25, então o cos² vai ser
7² = 49, 25² = 625. Seno de φ vai ser igual a + ou - 1... Eu posso escrever como
seno 625 sobre 625 - 49 sobre 625. Vamos repetir o denominador
e fazer a subtração entre os numeradores. 625 - 49. Bem, se fosse 625 - 50 daria 575.
Como é - 49, é 576. Então esta subtração aqui dentro vai dar
576 sobre 625. E aí a gente vai ter que o valor de seno de φ
vai ser igual a + ou - a raiz quadrada de 576. Bem, 24? Sim, 24 vezes 24 é 576,
então a raiz quadrada de 576 é 24. Sobre 625, que vai ser 25. Agora a gente precisa de novo prestar atenção para determinar se vai ser o valor positivo
ou o valor negativo. A gente sabe que o seno é esses valores aqui
que projetamos na coordenada "y", podem ser esses valores, se olharmos
para este quadrante, a gente projeta neste valor aqui. Só que ele nos diz que o ângulo é agudo, então eu tenho
o ângulo neste cenário aqui, entre este quadrante. Ou seja, neste cenário aqui,
nós teremos sempre o valor positivo do eixo "y". O seno de "y", então,
aqui vai ser o valor positivo. Então vai ser 24 sobre 25. O que temos que fazer agora,
é fazer as multiplicações e depois esta subtração. Então vamos lá, realizando
estas multiplicações nós teremos: - 7 vezes √3, nesta primeira multiplicação aqui,
a gente só vai repetir. 25 vezes 2, a gente sabe que dá 50. Aqui eu vou multiplicar:
menos vezes menos é mais. Eu até poderia simplificar o 24 com 2, porém, se eu deixar, também vai dar
o mesmo denominador, 25 vezes 2 = 50. E 24 vezes 1 = 24. Esse resultado final, a gente pode dizer
que dá (24 - 7 vezes √3) sobre 50. E esse é o resultado
que chegamos do cosseno de φ + θ. Até o próximo vídeo, pessoal!