Desafio de trigonometria: diversas restrições

RKA - O número de valores de Θ (teta) no intervalo aberto de -π/2 até π/2, claramente são parênteses, então não está incluindo nem o -π/2, nem o π/2. Tal que o Θ é diferente de nπ/5, então Θ não é um múltiplo π/5, para n = 0, +-1, +-2 e tangente de Θ é igual à cotangente de 5Θ, assim como o seno de Θ é igual ao cosseno de 4Θ. E aí? E agora? Nós temos que achar a quantidade de valores que Θ pode assumir para satisfazer tudo isso daqui. Então, para começar, a gente tem que resolver para o valor de Θ e depois ir convertendo de seno para cosseno, enfim. Mas como você sabe, se você estiver fazendo um exame, por exemplo, eu não recomendo que você fique demonstrando as identidades trigonométricas. Você já tem que ter isso decorado. Mas para fins educacionais, aqui neste vídeo, eu sempre gosto de demonstrar essas identidades trigonométricas. Então, vamos lá! Para isso, eu vou começar desenhando um triângulo retângulo. Se você for fazer um exame, não procure demonstrar isso, tá? Procure decorar! Então, digamos que aqui é Θ, então este ângulo vai ser π/2 - Θ, é ou não é? Neste caso, claro, a gente está trabalhando com radianos. E como você sabe, em um triângulo, a soma de todos os ângulos é 180 graus, que é a mesma coisa que π. Então, se aqui tem 90 graus, esses outros dois ângulos têm que somar 90 graus também. Logo, se aqui é Θ, aqui vai ser 90° menos Θ ou 90° é a mesma coisa que π/2 radianos. Então, π/2 menos Θ, tranquilo? Agora vamos ver o que é o cosseno do ângulo Θ. Então, vou colocar aqui. Cosseno do ângulo Θ, vou chamar esses lados aqui, digamos, de "a", "b" e "c". Para descobrir o que é o cosΘ, eu vou usar o "SOH CAH TOA". Vou escrever aqui em cima, SOH CAH TOA, aquela técnica mnemônica sobre as razões trigonométricas. Então, é o seguinte, o cosseno é o adjacente sobre a hipotenusa. Então, o lado adjacente ao ângulo Θ é esse lado "b" e a hipotenusa é "c". Logo, o cosseno Θ é igual ao adjacente, que é "b", sobre a hipotenusa "c". E agora, será que tem mais alguma coisa que seja igual a b/c? Ora, se a gente reparar aqui, em relação a esse ângulo, "b" é o lado oposto e "c" é a hipotenusa. O que relaciona o lado oposto à hipotenusa? É o seno! Oposto sobre hipotenusa. Então, isso aqui é a mesma coisa que o seno deste ângulo aqui, π/2 menos Θ, beleza? E daqui, a gente já tem uma relação: o cosΘ é a mesma coisa que o sen (π/2 - Θ). E eu posso usar a mesma lógica agora para dizer que o seno do ângulo Θ é a mesma coisa que o cosseno de π/2 - Θ. Agora, aqui é o seguinte: a cotangente de 5Θ. Vamos ver ao quê isso é igual. A cotan 5Θ vai ser a mesma coisa que o quê? Que o cosseno de 5Θ sobre o seno de 5Θ. É o recíproco da tangente! Sim ou não? Agora, eu posso fazer o seguinte, usando essa igualdade que nós determinamos aqui em cima, essas duas igualdades, eu sei que cos 5Θ vai ser a mesma coisa que sen (π/2 - 5Θ). E o sen 5Θ eu posso trocar pelo cos (π/2 - 5Θ) também. E olha só, seno sobre cosseno é a mesma coisa, então, que a tangente. A tangente de π/2 - 5Θ. Agora, o que eu quero fazer é resolver essa equação e encontrar todas as soluções possíveis para ela. Para me ajudar na resolução, eu vou desenhar o círculo unitário. Deixe eu fazer o círculo unitário. Não ficou tão ruim assim. Fazer os eixos, o eixo do y e o eixo do x. E aqui, digamos que eu tenho um determinado ângulo que eu vou denominar de Θ. E você vai lembrar que, nesse caso, o Θ (quando a gente está trabalhando com a tangente) vai me dar o quê? A inclinação dessa linha aqui, desta reta, deste segmento que o ângulo Θ vai formar com o eixo do x. A inclinação é o que eu vou obter, neste caso. Agora, a inclinação que esse ângulo Θ determina, vai ser, exatamente, a mesma inclinação se eu adicionar 180 graus. Olha só, digamos que eu adicione 180 graus aqui, eu vou ter este ângulo, sim ou não? E este ângulo vai ser o quê? Vai ser Θ + π. E, nesse caso, como a gente pode perceber, essa inclinação é a mesma, tanto para Θ quanto para Θ + π. Tranquilo? E o que eu posso fazer é o seguinte: eu posso adicionar múltiplos de π que eu vou obter, novamente, a mesma inclinação. Então, deixe-me fazer aqui, π/2 - 5Θ + "1n" multiplicado por π. Desta forma, fazendo isso, vou ter certeza de que eu estou pegando todas as soluções possíveis. Com base nisso, agora, eu já posso resolver essa primeira equação. Depois eu vou olhar para as restrições, mas vou resolver isso aqui agora, tan Θ = cotan 5Θ. Vamos lá! Eu sei o seguinte, que a tangente do ângulo Θ vai ser igual... Em vez de escrever "igual a cotangente de 5Θ", eu vou escrever que a tanΘ = tan (π/2 - 5Θ + um certo número inteiro multiplicado por π). Olha aí! Logo, se esta tanΘ é igual a esta tangente aqui, eu vou ter o quê? Eu vou ter que o ângulo Θ = π/2 - 5Θ + nπ. E, agora, eu já posso resolver para encontrar o valor do Θ. Eu vou somar dos dois lados da equação 5Θ. Então, eu vou ter o quê? Do lado esquerdo eu vou ter, no caso, somando o 5Θ nos dois lados, vou ter 6Θ = π/2 + nπ. E agora o que eu posso fazer é dividir ambos os lados por 6. E ai eu vou ter o quê? Eu vou ter Θ = π/12 + nπ/6. Para tornar as coisas mais simples aqui, eu vou colocar no mesmo denominador. Vou chamar o denominador de 12 e aqui eu vou ter π (já está no denominador, 12). Mas como eu multipliquei essa fração por 2, eu vou ter aqui em cima 2nπ. E eu ainda posso fatorar mais. Eu vou colocar o π em evidência e isso vai ser o quê? Digamos que eu tenha 1 aqui na frente, 1π. Então, eu vou ter 2n + 1π/12. Está aqui da forma fatorada. E aqui são todas as soluções possíveis, então, para este ângulo Θ. No caso, claro, para essa primeira equação. É ou não é? E agora nós vamos fazer a mesma coisa para essa equação aqui. E, claro, as soluções têm que estar neste intervalo e têm que satisfazer essa restrição. Então, vamos lá! Vamos resolver agora para aquela outra equação. Eu vou fazer cosseno de 4Θ. Vamos lá, cos 4Θ, isso é igual a quanto? Ora, usando essa identidade que nós determinamos aqui em cima, o cos 4Θ vai ser igual ao seno de quanto? De π/2 - 4Θ. E aí é o seguinte, se eu somar múltiplos de 2π, eu vou retornar para o mesmo ponto no círculo trigonométrico e vou ter os mesmos valores, sim ou não? Então, eu vou somar aqui com 2nπ ou eu posso escrever também 2πn. Vou colocar 2πn para ficar mais fácil a visualização. Agora é o seguinte, eu vou fazer o sen 2Θ. O sen 2Θ vai ser igual a quanto? Vou colocar aqui embaixo. sen 2Θ vai ser igual, então, a essa outra identidade que nós temos aqui. Vai ser igual ao cos(π/2 - 4Θ + 2πn). Como estas duas coisas aqui são coisas iguais, como você pode ver aqui em cima na equação, eu posso fazer substituições e vai ficar da seguinte forma: vou ter 2Θ = π/2 - 4Θ + 2πn. Agora eu vou somar em ambos os lados por 4Θ. Então, eu vou ter o quê? Eu vou ter do lado esquerdo 6Θ = π/2 + 2πn. Agora o que vou fazer aqui vai ser dividir em ambos os lados por 6. Então, vou ter que o valor do Θ = π/12, mais todo ele dividido por 6. Então, simplificando, 2 com 6 dá 3. Eu vou ter no denominador o 3 e aqui em cima, π vezes n. Agora colocando tudo em um mesmo denominador, eu vou ter que o denominador vai ser 12, aqui o π vai continuar como π, porque ele já está sobre 12. E aqui eu vou ter o quê? Eu vou ter que essa fração vai ser multiplicada por 4. Aqui em cima, eu vou ter 4πn. E agora, se eu colocar o π em evidência, eu vou ter (4n + 1)π/12, sim ou não? Agora, o que eu preciso saber é: quantas vezes isto aqui vai se sobrepor a isso? Claro, dentro daquele intervalo que você se lembra, aqui em cima, de - π/2 até π/2, sem incluir esses extremos aqui. Vamos lá, então! Se você reparar bem, no caso, todos os elementos da solução vão ser um elemento daqui também. Ou seja, qualquer coisa que satisfaça essa equação terá que satisfazer esta equação também. Logo, a gente precisa contar quantos são os elementos da solução, porque é o que ele nos pede. Ele nos pede o número de valores do Θ neste intervalo. Ele não quer nem saber quais são, ele quer só o número de valores que Θ pode assumir. Vamos começar com essa equação daqui de cima fazendo, por exemplo, n = 0. Se n = 0, eu vou ter 1π/12, ou seja, o próprio π/12, certo? Se n = 1, eu vou ter 3π/12. Então, colocando aqui 3π/12. Se n = 2, eu vou ter 5π/12. Agora, eu não posso fazer este n = 3. Por que não? Porque se eu fizer igual a 3, aqui vai dar 7π/12, e 7π/12 é maior que 6π/12. Lembra daquele intervalo do enunciado? 6π/12 é a mesma coisa que π/2. É que não pode ser um número maior que π/2. Logo, o n não pode assumir o valor 3, mas nós podemos colocar valores negativos para o "n". Se n = -1, por exemplo, aqui vai ser -π/12. Então, -π/12. Se n = -2, aqui vai ficar -4 +1 = -3. Então, -3π/12. Se n = -3, aqui vai dar -5π/12. E o "n" não vai poder ser igual a -4, senão vai dar um número menor que -π/2, não é? A mesma coisa aconteceu aqui em cima com valor positivo. Então, vai acontecer aqui em baixo a mesma coisa. O "n", então, não pode ser -4. Agora vamos ver quais desses valores vão ser também valores dessas daqui. Olha só! Se o n = 0, vai dar 1π/12. Então, é a mesma coisa que este aqui. Se o "n" for igual a 1, eu vou ter 5π/12. Vai ser este valor. E eu não posso ter valores para o "n" maiores que 2, senão vai ultrapassar aquele nosso intervalo. Agora, se "n" for um número negativo, por exemplo, -1. 4 vezes -1 dá -4. -4 + 1 dá -3. Então, -3π/12. Vai estar aqui. Se n = -2, já vai dar -7π/12. Vai ultrapassar o nosso intervalo. Então, são esses três valores que se sobrepõem nestas duas equações. E aí, nós conseguimos perceber que nós temos uma, duas, três soluções e nenhuma dessas soluções vai ser um múltiplo de nπ/5. Portanto, elas satisfazem todas essas restrições. Logo, o número de soluções para isso vai ser igual a 3. E é isso! Até o próximo vídeo!