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Desafio de trigonometria: valor máximo

Neste vídeo, resolvemos um complexo problema algébrico de trigonometria que apareceu como Problema 48 no exame IIT JEE Paper I de 2010. Versão original criada por Sal Khan.

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Transcrição de vídeo

RKA - O valor máximo da expressão 1 sobre seno ao quadrado de θ (teta) mais 3 seno de θ cosseno de θ mais 5 cosseno ao quadrado de θ é... Pois bem, vamos reescrever essa expressão aqui. Vai ser o seguinte: eu vou ter 1 sobre sen²θ e sempre, aqui no meu cérebro, quando eu vejo sen²θ, eu procuro logo por um cos²θ. Está aqui. Porque eu sei que sen²θ + cos²θ é igual a 1. Então, vou fazer essa parte, assim: + cos²θ + 4 cos²θ, pois aqui eu não tenho só 1 cos²θ, eu tenho 5. Então, se eu coloquei 1 aqui, tenho que somar mais 4 para poder permanecer igual à expressão: + 4 cos²θ. Mais aquilo ali que sobrou, não é? Vai ser 3 senθ cosθ. Então, a gente vai ter isso aí. Agora, é o seguinte: como eu disse, eu sei que essa soma aqui, sen²θ + cos², isso é igual a 1. Então, posso reescrever como sendo (vou colocar aqui embaixo) 1 sobre 1 mais... Agora é o seguinte: eu vou tentar descobrir uma outra maneira de escrever o cos²θ. Será que tem outra maneira? Tem! Em outros vídeos da playlist de trigonometria, a gente mostrou que cos²θ é a mesma coisa que 1 + cos de 2θ sobre 2. Mas por que raios eu estou fazendo isso? Ora, eu quero, na verdade, simplificar ao máximo esse denominador aqui, para que depois eu possa usar até mesmo cálculo e descobrir qual é o valor que torna esse denominador um valor mínimo. Porque na verdade, quando o denominador tem um valor mínimo, toda a expressão vai ter valor máximo, pois 1 dividido por uma coisa muito pequena vai ser algo grande, não é? E aqui vou ter o seguinte: eu tenho 4 vezes cos²θ. E como cos²θ é igual a isso aqui, 4 vezes isso aqui: o 4 simplifica com 2, eu vou ter 2 vezes 1 mais cos 2θ, ou seja, 2 vezes 1 é 2, mais 2 cos 2θ. Essa foi a simplificação desse termo aqui, não é? Agora, para esse termo aqui, eu vou usar a seguinte identidade trigonométrica: eu sei que sen 2θ é mesma coisa que 2 vezes senθ cosθ. E dividindo ambos os lados por 2, vou ter o quê? Eu vou ter 1/2 sen 2θ igual a senθ cosθ. E agora, esse valor de senθ cosθ, que eu tenho, eu posso substituir por 1/2 sen 2θ, não é? Então, vou escrever aqui: mais 3 dividido por 2, vai dar 3 sobre 2. Então, vai ficar 3 sobre 2 sen 2θ. Então, é isso. Portanto, essa parte se transformou nisso daqui. Agora é o seguinte: como a gente pode perceber, 1 + 2 dá para simplificar, isso dá 3. Então, vou escrever isso como sendo 1 sobre 3 mais o resto, que vou reescrever. 2 cos 2θ + 3/2 sen 2θ. Beleza? Então, está bom. Cheguei a esse denominador. Meu objetivo, agora, é descobrir qual é o valor mínimo que esse denominador pode assumir para que eu tenha o valor máximo dessa expressão. Novamente, como expliquei antes, se aqui embaixo estiver o valor mínimo possível, considerando, claro, que esse número todo seja maior que zero, por exemplo, eu vou ter que o meu resultado da divisão vai ser o máximo possível. Tranquilo? Então, eu quero saber, na verdade, o valor mínimo, o "min" de 3 + 2 cos 2θ + 3/2 sen 2θ. Agora, só vou reescrever aquela expressão de dentro dos parênteses fazendo 2θ igual a "x", só para simplificar. Na verdade, não é obrigatório fazer isso, mas é só para dar uma simplificada no problema. Então, quero o valor mínimo de 3 + 2 cos "x" + 3/2 sen "x". Tranquilo? Agora, ao olhar essa expressão, eu fico tentado a usar uma derivada. Pois, se eu calcular a derivada dessa expressão aqui e igualar a zero, eu posso descobrir o valor de máximo e valor de mínimo da expressão, não é? Então, vamos calcular a derivada. Vamos lá. A derivada dessa expressão em relação ao "x" vai ser o seguinte: a derivada de 3 é zero, a derivada de 2 cos "x" vai ser menos 2 sen "x" e a derivada de 3/2 sen "x" vai ser mais 3/2 cos "x" e eu vou igualar isso a zero. Por que igualei a zero? Ora, porque aqui a inclinação vai ser igual a zero. Então, eu vou estar em um ponto de máximo ou um ponto de mínimo, não é? Agora, eu posso adicionar 2 sen "x" a ambos os lados da equação. Nesse lado esquerdo, eu vou ter 3/2 cos "x". E do lado direito, 2 sen "x", não é? Agora, eu vou dividir ambos os lados por 2. E aqui, eu vou ter o quê? Vou ter 3/4 (pois dividi por 2) cos "x" igual a sen "x". Agora, o que eu posso fazer aqui é o seguinte: dividir ambos os lados por cos "x" e eu vou ter que 3/4 é igual a sen "x" sobre cos "x". E o que é sen "x" sobre cos "x"? Ora, é muito simples. sen "x" sobre cos "x" é a tangente de "x". Beleza? Ou seja, esse valor aqui, de 3/4, vai ser o valor que nos vai dar um ponto de máximo ou um ponto de mínimo nessa expressão. Agora, vamos pensar um pouquinho sobre isso. Vou desenhar, para me ajudar, um círculo unitário. Então, aqui, o eixo do "x", aqui o eixo do "y". Agora, deixe eu desenhar o círculo unitário aqui, essa é a parte mais difícil para desenhar. Mais ou menos assim. Até que não ficou tão ruim. Vamos lá. E agora, o meu objetivo é construir um triângulo aqui dentro cuja tangente seja igual a 3/4. Como a gente sabe, tangente é o oposto sobre adjacente. Então, vou fazer um triângulo aqui. Vou construir um triângulo aqui fora, primeiro, só para ver se facilita a nossa vida na hora de fazer o outro triângulo. Aqui eu tenho o "x", e como a gente sabe, a tangente é o oposto sobre o adjacente. O oposto é 3, o adjacente é 4, não é? O lado adjacente ao ângulo "x". Então, eu vou ter esse triângulo aqui, que é aquele triângulo "3, 4, 5". Olha aí. É claro que eu sei que a hipotenusa vale 5, porque esse é um triângulo retângulo, beleza? Mas aí, você vai me falar: "Ora, mas esse círculo aqui é um círculo unitário". Beleza. É só a gente dividir tudo por 5, pois 5 dividido por 5 vai dar 1, que é o raio, a hipotenusa. Nesse caso, aqui dentro, é o raio do círculo unitário. Aqui, eu vou ter o cateto e o ângulo "x". O cateto oposto vai ser 3/5, já que dividi por 5. E esse outro cateto aqui, que antes era 4, e quando eu dividi por 5 se tornou 4/5. Agora, a minha questão é a seguinte: essa tangente que eu construí, esse ângulo, esse pontinho aqui, vai me dar um valor de máximo ou um valor de mínimo? Repare que nesse ponto, tanto o seno quanto o cosseno são valores positivos. Então, é bem provável que colocando o seno positivo e o cosseno positivo, essa expressão vai ter o seu valor maximizado, vai ser muito grande. Agora, como eu sei que a tangente é a inclinação desse raio do círculo unitário, o que eu posso fazer é considerar um outro ângulo "x", que vai ter essa mesma inclinação. E esse ângulo "x" que eu estou considerando aqui, em amarelo, vai ser esse aqui. E você percebe o seguinte: como a inclinação é a mesma, a tangente continua sendo 3/4. Só que, aqui, tanto o cosseno quanto o seno são números negativos. Então, quando eu substituir cosseno negativo aqui e seno negativo aqui, essa expressão terá o seu valor mínimo. E é isso, exatamente isso o que eu quero: calcular o mínimo dessa expressão. Beleza? Então, vai ser o seguinte: o valor do "x", no caso desse ângulo que nós estamos considerando, o valor aqui, no eixo do "x", vai ser de -4/5. E o valor do "y"? Vai ser de -3/5. Aqui, eu tenho um triângulo retângulo, certo? E perceba também uma outra coisa: a gente nem precisa calcular o valor desse ângulo "x". Basta que eu saiba que a tangente é de 3/4, então o seno desse ângulo "x" vai ser -3/5, já que a hipotenusa é 1 e o cosseno vai ser -4/5. E nesse outro triângulo aqui, não. É 3/5 positivos e 4/5 positivos. Eu quero o valor negativo, que é o que vai me dar o valor mínimo dessa expressão. Tranquilo? Portanto, utilizando essas informações, eu vou ter que o mínimo vai ser igual a 3 + 2 vezes cos "x". Quanto vale o cosseno de "x"? Menos 4/5. Então, -4/5 aqui dentro. Mais 3/2 multiplicado pelo sen "x". Sen "x" é -3/5. Então, -3/5. Beleza? Isso aqui vai ser igual a quanto? Olha só. Ora, aqui eu tenho 3, então posso repetir o 3, não é? Aqui, eu vou ter "mais" vezes "menos", vai dar "menos". 2 vezes 4 é 8, então vai ficar -8 sobre 5. E, aqui, "mais" com "menos" vai dar "menos". No denominador, 2 vezes 5 é 10 e 3 vezes 3 é 9. Agora, vou colocar tudo em um denominador 10 para calcular o "MMC", no caso. Então, aqui vou ter 10. 3 vezes 10 vai dar 30, então 3 é a mesma coisa que 30 sobre 10, não é? Aqui, o 5 virou 10, então significa que multipliquei por 2. Então, ali em cima, -16, ou seja, -16 sobre 10 é a mesma coisa que -8 sobre 5. E -9 que eu já tinha aqui, que estava sobre 10. E isso vai ser igual a quanto? 30 menos 16 dá 14. 14 menos 9 dá 5. Então, 5 sobre 10. E 5/10 eu ainda posso simplificar. Quanto dá 5/10? Dá meio, 1 sobre 2. Olha aí. Mas e agora, o que a gente faz com esse valor? Todo esse tempo nós estávamos querendo calcular o valor mínimo para o denominador, pois quando o denominador assumisse um valor mínimo, essa divisão, "1 sobre esse valor mínimo", daria um valor máximo, não é? Então, tudo isso, como nós acabamos de calcular, é igual a 1 sobre 2 e, portanto, fazendo as substituições, o valor máximo dessa expressão aqui vai ser 1 sobre 1/2. E a quanto isso é igual? Ora, repito o primeiro e multiplico pelo inverso do segundo. E isso vai ser igual a 2. O resultado final, então, é 2. E nós ficamos por aqui. Tranquilo? Portanto, até o próximo vídeo!