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Desafio de trigonometria: progressão aritmética

Neste vídeo, resolvemos um complexo problema algébrico de trigonometria que apareceu como Problema 29 no exame IIT JEE Paper I de 2010. Versão original criada por Sal Khan.

Transcrição de vídeo

RKA - Se os ângulos A, B, C de um triângulo estão em uma progressão aritmética, e esse "a", "b", "c" denotam as medidas dos lados opostos aos ângulos A, B, C, respectivamente, então o valor dessa expressão toda aqui será quanto? Vamos desenhar, primeiro, o triângulo para ver o que significa cada uma dessas letras, A, B, C, "a", "b", "c", não é? Então, vai ser o seguinte. Vou desenhar um triângulo assim, certo? Aqui, eu vou ter os ângulos: A maiúsculo, B maiúsculo e C maiúsculo, A, B, C. E os lados opostos a esses ângulos: "a", aqui vai ser o "b" e, aqui, o "c", não é? Agora, a primeira informação que ele nos dá no problema é que esses ângulos, A, B, C, estão em uma progressão aritmética. Olha aí, a progressão aritmética. Uma palavra bem chique, mas para uma ideia bem simples. A progressão aritmética nada mais é do que uma série de números que estão separados por uma mesma quantidade. Então digamos, por exemplo, 1, 2, e 3. 1, 2 e 3 estão em uma progressão aritmética: cada um está separado do outro 1 unidade. Outra sequência, por exemplo, que está em progressão aritmética é 2, 4, 6, 8, etc. Neste caso, cada termo da sequência está separado do outro por 2 unidades. Outro exemplo: 10, 20, 30, 40, e assim por diante. E tudo isso são progressões aritméticas. Então, tudo que o problema está dizendo é que, para a gente ir do ângulo A para o ângulo B, ,da medida do A para a medida do ângulo B é a mesma coisa que ir da medida do ângulo B até a medida do ângulo C. Eles estão separados por uma mesma quantidade. Então, vamos ver como isso fica na prática. Vamos ver como é que vai ficar a resolução desse problema na prática. Então, digamos que nós tenhamos o ângulo A e nós não sabemos a medida desse ângulo A. Mas o ângulo B a gente sabe que é a mesma coisa que o ângulo A mais uma determinada constante, que pode ser, sei lá, 1, 2, 3, 10, 20... A gente não sabe. Então, vou colocar um número qualquer aqui, digamos "N". Então, A + N. A gente sabe que o ângulo C vai ser igual a B mais o mesmo N, não é? Eles estão separados por uma progressão aritmética. Lembre-se de que aqui o enunciado está dizendo que é uma progressão aritmética do A para o B para o C. Isso aqui, B + N, é a mesma coisa que o quê? B é igual a A + N. Então, vou ter A + N, do B, mais esse outro N, aqui. É ou não é? Ou seja, aqui eu vou ter A mais 2N. Agora, o que nós sabemos é o seguinte: que a soma dos três ângulos de um triângulo dá 180 graus, ou seja, A + B + C tem que ser 180. Então, posso dizer que A + (A + N) + (A + 2N) tem que ser igual a 180. Portanto, vamos escrever isso. A +A + N + A + 2N. Tudo isso é igual a 180 graus. E aqui, a gente tem o seguinte: 1, 2, 3 A. Então, será 3A + 1N aqui e 2N, aqui. Então, 3N. 3A + 3N é igual a 180 graus. Agora, o que a gente pode fazer é simplificar por 3, dividir ambos os lados por 3. Eu vou ter, então, A + N é igual a 60 graus. Agora, essa informação aqui, A + N é igual a 60 graus, não diz muita coisa sobre o ângulo A, não é? Não sei quanto vale esse N, esse incremento. Agora repare: o ângulo B é igual a A + N. Então, A + N é igual a 60. Logo, a gente descobriu o valor do ângulo B. Está aqui, B é igual a A + N. Então, isso aqui é igual a isso aqui. Portanto, eu já tenho uma informação bem relevante: o ângulo B tem que ser igual a 60°. Para que isso esteja em uma progressão aritmética, pode valer para um montão de números. A gente sabe que o ângulo B é 60°. Então, digamos que o ângulo A seja 59, B seria 60 e C seria 61. Está aí, em progressão aritmética. A razão seria 1. Aqui está a medida do ângulo B e nós conseguimos deduzir os outros dois. Só que poderia ser, também, digamos, 50, 60 e 70. A soma, aqui, daria 180 graus, estaria em progressão aritmética também e o ângulo B está aqui, 60 graus. Estaria satisfazendo tranquilamente. Mas poderia ser, também, 40, 60, 80. Só que nesse caso, não importa qual a progressão aritmética, o ângulo central, esse do meio sempre vai ser igual a 60 graus, que é o valor do B. Beleza? Então, considero que até agora a gente está indo muito bem. Vamos ver, agora, como vai ser a próxima parte do problema. Vamos lá. O que ele quer saber aqui no problema é o valor dessa expressão: "a" sobre "c" multiplicado por seno de 2C mais "c" sobre "a" vezes seno de 2A. Então, vamos escrever isso aqui embaixo para ver como é que vai ficar. Vou fazer de uma outra cor. Vai ser o seguinte: "a" sobre "c" vezes seno de 2C mais "c" sobre "a" vezes seno de 2A. Agora, é o seguinte: eu percebo que eu tenho 2 aqui e 2 aqui. E talvez eu possa tentar encontrar uma identidade trigonométrica para tentar resolver esse problema, ver se alguma coisa pisca na minha mente para me ajudar a resolver isso. Repare uma coisa: a primeira parte do problema nos ajudou a descobrir quanto mede o ângulo B. O ângulo B vale 60 graus, aqui, não é? Então, eu posso tentar descobrir uma maneira de colocar B, fazer o B aparecer aqui, aquele B. Até mesmo porque, nessa expressão, não tem nenhum valor do B. Logo, essa expressão pode parecer um pouco inútil, neste caso. Mas, se eu conseguir fazer com que o B apareça nessa fórmula, então vai ficar muito mais fácil para mim. Vamos ver se a gente consegue descobrir alguma coisa para tentar fazer aquele B aparecer aqui. Olha só. Aqui, eu tenho seno de 2 vezes alguma coisa. E sempre que eu tenho seno de duas vezes alguma coisa, eu posso escrever isso como sendo 2 seno de C cosseno de C. Aquela "alguma coisa", no caso, é o C. Então, vai ficar dessa forma aqui. Essa é uma das nossas identidades trigonométricas, ela está na contracapa de todo o livro de cálculo. Pode dar uma olhada, que você vai ver. E agora, vamos fazer a mesma coisa para seno de 2A. Isso vai ser a mesma coisa que 2 seno de A cosseno de A. Agora, nós temos os coeficientes ali na frente não é? Então, vou ter,aqui: "a" sobre "c" mais "c" sobre "a". Lembrando que esses coeficientes estão multiplicando essa outra parte que está em vermelho. Agora, só lembrando que eu tenho que tentar descobrir uma maneira de introduzir o B aqui. Pois eu sei qual é o valor do B, ele mede 60 graus. Logo, eu tenho que tentar descobrir a maneira de introduzir nessa fórmula. Como vou fazer isso? Vamos tentar descobrir uma maneira de a gente fazer isso. Olha só. No caso dessa questão, a gente tem um triângulo. E uma coisa que relaciona os ângulos de um triângulo aos seus lados pode ser tanto a lei dos senos quanto a lei dos cossenos, principalmente quando não é um triângulo retângulo. Você não sabe qual é a lei dos senos? Não tem problema, a gente escreve aqui para você. A lei dos senos é a seguinte: seno de A sobre "a" é igual ao seno de B sobre "b", que é igual ao seno de C sobre "c". É isso aí, a lei dos senos. Então, me parece que talvez eu possa usar a lei dos senos aqui, não é? Eu só vou escrever a lei dos cossenos aqui embaixo, só para uma referência. Na verdade, ela é parecida com o Teorema de Pitágoras, só que ajustado, claro, para qualquer tipo de triângulo. Então: "c²" é igual a "a²" + "b²" menos "2ab" cosseno do ângulo C. Essa é a lei dos cossenos. Agora, vou tentar descobrir uma maneira de usar uma dessas duas leis para introduzir o B nessa fórmula. Vamos lá. Aqui é o seguinte. Repare: aqui eu tenho "a" e 2, ou "2a" e, aqui, eu tenho cosseno de C. Então, eu posso reescrever essa primeira parte da expressão como sendo "2a" cosseno de C. "2a" cosseno de C. Isso ainda está multiplicando por seno de C e está dividindo por "c". Então, vezes seno de C sobre "c". Apenas rearranjei tudo nessa expressão. Como é uma série de multiplicações, a ordem dos fatores não altera o produto. Então, eu posso muito bem fazer isso. Nesse caso, a parte final vai ser esse termo aqui e esse termo aqui, não é? E, agora, vou fazer a mesma coisa para a outra expressão, para outra parcela da soma. Então, nesse caso, vou separar o C e o 2, parecendo o que eu fiz ali. Então, vou ter mais "2c" e o cosseno de A. Vou ter "2c" cosseno de A vezes o que restou aqui, não é? Seno de A sobre "a"'. Tranquilo? Agora é o seguinte: no que isso pode me ajudar? Ora, repare: aqui eu tenho seno de C sobre "c". Aqui eu tenho seno de C sobre "c". Aqui, eu tenho seno de A sobre "a" e aqui, eu também tenho seno de A sobre "a" . Os dois ângulos são iguais a seno de B sobre "b". Então, eu posso substituir, eu posso colocar no lugar dessas duas coisas brancas, aqui, desses dois fatores brancos, o seno de B sobre "b". E eu já vou introduzir o B na fórmula. Estamos fazendo progresso. Portanto, no lugar desse termo aqui, eu posso colocar o seno de B sobre "b". A mesma coisa vou fazer para esse termo aqui. Eu vou colocar o seno de B sobre "b", me fazendo valer dessa igualdade. E ambos os termos ainda estão sendo multiplicados por "2a" cosseno de C vezes isso aqui mais "2c" cosseno de A vezes isso aqui. Agora, eu vou fazer o seguinte: eu vou colocar o seno de B sobre "b" em evidência. Então, vai ficar como? Aqui, eu vou ter "2a" vezes o cosseno de C. Vou deixar um espaço aqui, propositadamente, mas estão se multiplicando. Cosseno de C mais "2c". Vou deixar um espaço, também. Cosseno de A. E tudo isso sendo multiplicado, então, pelo que eu coloquei em evidência, pelo seno de B sobre "b". Aqui, nós já sabemos o valor do "B", então até poderíamos substituir e calcular esse valor do seno de B. Mas eu não vou fazer agora. Vou deixar para o final. Vamos lá. Repare uma coisa: aqui eu tenho "2a" cosseno de C. Aqui, eu tenho "2c" cosseno de A. Repare se não está bem parecido com a lei dos cossenos, com isso aqui. Está ou não está? Está, não é? Vamos fazer uma coisa, vamos isolar "2ab" cosseno de C. Vamos somar os dois lados por esse termo. Eu vou ter "2ab" cosseno de C mais "c²". Isso vai ser igual a "a²" + "b²". E aí, se eu subtrair ambos os lados por "c²", eu vou ter "2ab" cosseno de C igual a "a²" + "b²" menos "c²". E para essa fórmula, para essa igualdade, eu ainda posso, na verdade, trocar as letras. Vamos dizer que eu troque "a" por "c" e C pelo A: eu posso muito bem fazer isso, a lei dos cossenos me permite. E vou ter o seguinte: eu vou ter "2cb" cosseno de A igual a "c²" mais "b²" menos "a²". Eu posso muito bem fazer isso, estou apenas considerando a lei dos cossenos para um outro ângulo. Para o ângulo A, no caso. Nesta fórmula de cima, por exemplo, estou considerando o ângulo C. Então, quando eu pego o cosseno de C, eu coloco "ab" aqui na frente, depois "a²" + "b²" menos "c²". E aí, quando eu troco o C pelo A, eu vou mudar a fórmula, também, não é? Eu vou ter o A, aqui eu vou ter "cb", aqui eu vou ter "c²" + "b²" menos "a²", beleza? Isso é interessante para a gente, chegar a essa conclusão, pelo seguinte: Repare essa fórmula aqui. Agora, repare isso aqui. Está bem próximo, não é? Com exceção que aqui, ele tem um "b" sendo multiplicado e aqui, não. Portanto, deixe eu multiplicar essa expressão toda por "b". Vou multiplicar por "b" e vai aparecer um "b" aqui. Vai aparecer um outro "b" aqui, não é? Posso multiplicar por "b" e depois, efetuar uma divisão, que eu não mudo o valor da expressão, não é? Portanto, agora que já multipliquei por "b", tenho que dividir por "b". E para dividir por "b", basta que multiplique o denominador por "b". Então, vou ter a expressão balanceada. Na verdade, eu não mudei o valor numérico dessa expressão toda, Pois eu multipliquei por "b" e, depois, dividi por "b". Então, beleza. Continua na mesma. E aqui embaixo, como eu multipliquei por "b", isso é equivalente a fazer "b²" aqui. Sim ou não? Agora, repare uma coisa: isso aqui, esse termo é, exatamente, a mesma coisa que esse termo aqui, não é? Portanto, eu posso igualar a isso e substituir. Eu vou colocar da seguinte maneira: "a²" + "b²" menos "c²". E esse outro termo, repare se não é a mesma coisa que isso aqui. Portanto, eu posso substituir por isso. Logo, vou ter: mais "c²" + "b²" menos "a²". E tudo isso, é claro, está multiplicando ainda por seno de "B" sobre "b². E, agora, o que a gente pode fazer? Repare que a gente já pode simplificar algumas coisas. Repare se eu não posso simplificar aqui. "a²" menos "a²", simplifica. Menos "c²" mais "c²" simplifica também. Portanto, toda a expressão vai se simplificar a "2b²", que é o que sobrou aqui dentro. Então, vou ter "2b²" vezes o seno de B sobre "b²". Agora, posso simplificar esse "b²" com esse "b²" e vai me restar, apenas, 2 seno de B. Eu já sei qual é o valor de B, sei ou não sei? Lá no início dos nossos cálculos, a gente descobriu que B vale 60 graus. Então, veja que coisa legal: isso aqui vai ser 2 vezes o seno de 60 graus. E se você, por acaso, não sabe quanto mede o seno de 60 graus, pode recorrer ao triângulo 60, 30, 90, não é? Aquele triângulo famoso na matemática, na trigonometria. Vamos desenhá-lo. Digamos que este ângulo meça 90°. Aqui, eu tenho um ângulo de 60° e, aqui, eu tenho um ângulo de 30°. A hipotenusa desse triângulo retângulo mede 1, o lado oposto ao ângulo de 30° mede 1/2 e o lado oposto ao ângulo de 60° mede raiz de 3 sobre 2. Você pode até usar o Teorema de Pitágoras, no caso, para descobrir esses valores. Beleza? Como a gente sabe, o seno é o cateto oposto, raiz de 3 sobre 2, dividido pela hipotenusa, que é 1. Ou seja, dividir por 1 não altera o valor de nada. Então, isso aqui é igual a 2 vezes raiz de 3 sobre 2. Agora, posso simplificar esse 2 aqui. E o que vai restar? A resposta. Olha aí. Isso tudo vai ser igual a raiz quadrada de 3 e, portanto, todo aquele problema se resume a raiz quadrada de 3. Se você estiver curioso, esse problema veio de uma prova da Índia, que se chama "IIT JEE" que é um exame de admissão aos cursos de engenharia, enfim, das ciências, lá na Índia. Mas eu gostei muito desse problema, então resolvi para vocês. Espero que tenham gostado. Então, até o próximo vídeo!