Desafio de trigonometria: sistema de equações

RKA3G - O número de todos os valores possíveis de Θ (teta), onde 0 < Θ < π, para o qual o sistema de equações (y + z) cosΘ = (xyz) sen 3Θ. x sen 3Θ = 2 cos 3Θ sobre y + 2 sen 3Θ/z. (xyz) sen 3Θ = (y +2z) cos 3Θ + y sen 3Θ tenha uma solução (x₀, y₀, z₀) com y₀z₀ ≠ 0, é...? Bem, isso significa que nem um, nem o outro podem ser igual a zero, não é? Então, é o seguinte, eu vou pensar de maneira que eu consiga simplificar o máximo possível essas equações. Então, vamos lá! Eu percebo o seguinte: todas as funções trigonométricas, cosseno, seno, estão com argumento de 3Θ. E Θ está entre 0 e π . Então, eu vou fazer algumas substituições, porque para o meu cérebro, facilita um pouco na hora de determinar a lógica da resolução deste problema. Então, vamos lá! O que eu vou fazer, então, é fazer u = 3Θ. E neste caso, por exemplo, este intervalo que antes estava em função do Θ agora vai estar em função do "u". Então, eu vou ter que "u" vai ter que ser maior que zero, mas aqui no π não, ele vai ter que ser menor que 3π. 3 vezes 0 dá 0. 3 vezes π dá 3π. E agora, então, vamos encontrar todos os valores do "u" que satisfazem esse sistema, beleza? Desta forma, eu quero tornar essas expressões o mais familiares possível, que aí eu vou tentar simplificar, cancelar alguns termos e ver o que a gente pode trabalhar em cima disso. Portanto, só para facilitar a minha vida, onde aparece 3Θ, eu vou colocar "u". Então, aqui é "u", aqui vai ser "u" também, aqui "u", aqui "u", aqui "u" também, aqui também "u", aqui "u" e aqui também "u". O que eu vou fazer primeiro é fazer distributiva. Vamos lá! Nesta primeira igualdade, vai ficar o seguinte: "cos u vezes y" vai ficar "y cos u + z cos u" vai ser igual a "xyz sen u". Portanto, isto daqui serviu para a primeira equação. Para a segunda, eu reparo o seguinte: aqui eu tenho "x sen u" e aqui eu tenho "xyz sen u". Olha só, se eu multiplicar por yz em ambos os lados da igualdade, eu vou ter do lado esquerdo "xyz sen u", que vai se igualar a isso aqui, não é? Então, vamos lá! Vamos multiplicar este lado aqui por yz e este outro lado também. Tudo isso vou multiplicar por yz. Então, como eu disse, esse lado esquerdo da igualdade. Agora eu vou colocar do lado direito só para ficar equivalente à primeira expressão. Vai ficar "xyz sen u", e o lado esquerdo vai ficar da seguinte forma: quando yz multiplicar por "2 cos u/y", "y" vai simplificar com "y". E vai me sobrar o quê? "2z cos u". Eu vou escrever aqui embaixo do z. Então, vai ficar "2z cos u". E aqui a mesma coisa, se eu multiplicar yz por "2 sen u/z", eu vou ter o quê? O z simplifica, então eu vou ter "2y sen u". Portanto, aqui está nossa segunda equação de maneira mais simplificada. Agora a terceira, repare que aqui já tem "xyz sen u". Então, eu vou escrever esta parte que está do lado esquerdo, eu vou escrever do lado direito aqui embaixo. Eu vou fazer isso com uma outra cor. Assim, com essa cor aqui, só para identificar. Então, vamos lá! "xyz sen u"... E do lado direito, que agora vai estar do lado esquerdo, vai ficar como? Ora, quando aplicarmos a distributiva "cos u vezes 2z", eu vou ter "+2z cos u". Agora, quando eu multiplicar o cosseno de u por y, eu vou ter "y cos u". E agora, vou chegar um pouquinho para o lado, para caber. Eu vou colocar agora esse outro termo aqui, que é "y sen u". Então eu vou ter "y sen u" mais tudo isto aqui, beleza? Agora, eu tenho essas três equações que parecem mais familiares para a gente, não é? E como eu sei que todas elas, todas essas partes esquerdas das equações, se igualam a "xyz sen u", então, eu posso igualar todas elas. Eu posso dizer que isto aqui é igual a isso, que é igual a isso aqui também. Então, para começar, eu vou usar essas duas equações aqui de baixo primeiro. Vai ser o seguinte: essa daqui, então, "2y sen u + 2z cos u". Vou reescrever aqui embaixo. "2y sen u + 2z cos u" tem que ser igual a isso aqui. Vamos lá, vamos colocar aqui. "y sen u + y cos u + 2z cos u". Repare uma coisa, eu tenho "2z cos u" deste lado e desse aqui também. Então, eu posso simplificar, eles se cancelam. E eu já me livro desse termo com o "z", beleza? Agora, eu vou fazer o seguinte: eu vou subtrair "y sen u" de ambos os lados para simplificar este termo também. E vai ficar o seguinte: quando eu subtrair "y sen u" deste termo, eu vou ter "y sen u", certo? Que vai ser igual... Esse termo vai sumir. Então, vai ser igual a "y cos u". Vamos escrever. Igual a "y cos u". E daqui dessa igualdade, a gente tem o seguinte: eu posso simplificar, na verdade, esse "y" com esse "y". E eu vou ter que "sen u = cos u". Eu já tenho a minha primeira restrição aqui. O "sen u" tem que ser igual ao "cos u". Agora, vamos usar o círculo unitário para a gente ver onde o seno e o cosseno de determinado ângulo são iguais. Então, aqui eu tenho um círculo unitário. E tenho o seguinte: no ângulo de 45°, o seno e o cosseno têm a mesma medida e 45° é a mesma coisa que π/4. Agora você pode se sentir tentado, por exemplo, a usar este ângulo aqui. Só que não! Você não pode usar esse ângulo. Por quê? Porque o cosseno é negativo. O cosseno desse ângulo é negativo e o seno é positivo, então não serve. Este aqui serve. Este ângulo aqui, certo? Seno e cosseno são iguais. E este outro ângulo aqui também não vai funcionar. Vai ser diferente. Daqui deste ângulo até aqui, nós já percorremos 2π. Nós podemos percorrer mais π, depois outro π e voltamos para este mesmo ponto. E, portanto, nós vamos ter uma solução aqui, aqui a segunda solução e aqui, a terceira solução. Portanto, nós saímos daqui, percorremos 2π e outro π para dar 3π aqui, assim. Podemos percorrer até aqui. Portanto, temos essas três soluções. Então, eu posso escrever que são três valores possíveis. Possíveis para quem? Para "u", não é? Então, para "u". Agora vamos ver se não tem nenhuma outra restrição em alguma dessas outras equações. Vamos ver qual eu vou usar agora. Agora eu vou usar, então, digamos, essa primeira equação e essa equação aqui, a terceira. E e aí eu vou ter usado todas as três. E vou poder, então, dizer que eu atingi todas as restrições possíveis. Vamos lá! Então, como isso aqui é igual a isso e isso daqui também é igual a isso, logo, eu posso igualar as duas equações aqui, sim ou não? Portanto, eu posso escrever "y cos u + z cos u" igual a esta parte aqui. "y sen u + y cos u + 2z cos u". Agora eu posso simplificar "y cos u", aqui. E vou subtrair "z cos u" em ambos os lados. Então, eu vou ficar com o quê? Eu vou ter que "0 = y sen u" mais, como eu estou subtraindo "z cos u" daqui também, eu vou ter "z cos u". Então, aqui eu tenho a seguinte afirmação: "z cos u + u sen u = 0". Agora eu vou multiplicar por 2 em ambos os lados. Por quê? Porque vai ficar parecido com isso aqui, parecido não, idêntico a isso aqui. Então, eu vou ter que "0 = 2y sen u + 2z cos u". Repare que ficou exatamente igual a isso aqui. E eu vou ter o seguinte: eu vou ter que essa expressão, isso aqui tudo, tem que ser igual a zero. Logo, "xyz sen u = 0". Portanto, isto daqui também vai ser igual a zero. O que está ok com o enunciado. Vamos voltar ao enunciado para a gente ver. O enunciado diz que "y₀z₀ ≠ 0", mas ele não diz nada sobre "x". Portanto, "x" pode ser igual a zero. Logo, neste caso aqui, com certeza, o "x" vai ser zero, beleza? Então, neste caso, eu já usei todas as informações que foram disponibilizadas no enunciado. E a única restrição, de fato, que a gente tem, é que "sen u = cos u". Logo, são três valores para "u". E essa vai ser a nossa resposta. A gente se vê no próximo vídeo!