Procure E entenda todas as suas identidades trigonométricas favoritas.

Identidades recíprocas e de quociente

sec(θ)=1cos(θ)\sec(\theta)= \dfrac{1}{\cos(\theta)}
Brinque com o ponto no círculo trigonométrico para ver como o cosseno e a secante mudam juntos. Perceba que quando o cosseno é pequeno, a secante é grande e vice versa. Acontece que a multiplicação dos dois dá sempre exatamente 11.
Nós também podemos ver essa identidade usando triângulos semelhantes. Deslize o ponto abaixo do gráfico para ver um triângulo se transformando no outro. Observe com cuidado para ver quais segmentos correspondem uns aos outros.

cossec(θ)=1sen(θ)\operatorname{cossec}(\theta)= \dfrac{1}{\operatorname{sen}(\theta)}
Brinque com o ponto no círculo trigonométrico para ver como seno e cossecante variam juntos. Perceba que quando o seno é pequeno, a cossecante é grande e vice versa. Acontece que a multiplicação dos dois dá sempre exatamente 11.
Nós também podemos ver essa identidade usando triângulos semelhantes. Deslize o ponto abaixo do gráfico para ver um triângulo se transformando no outro. Observe com cuidado para ver quais segmentos correspondem uns aos outros.

cotg(θ)=1tg(θ)\operatorname{cotg}(\theta)= \dfrac{1}{\operatorname{tg}(\theta)}
Brinque com o ponto no círculo trigonométrico para ver como a tangente e a cotangente mudam juntas. Observe que quando a tangente é pequena, a cotangente é grande e vice versa. Acontece que a multiplicação das duas dá sempre 11.
Nós também podemos ver essa identidade usando triângulos semelhantes. Deslize o ponto abaixo do gráfico para ver um triângulo se transformando no outro. Observe com cuidado para ver quais segmentos correspondem uns aos outros.

tg(θ)=sen(θ)cos(θ)\operatorname{tg}(\theta)= \dfrac{\operatorname{sen}(\theta)}{\cos(\theta)}
Nós podemos ver essa identidade usando triângulos semelhantes. Deslize o ponto abaixo do gráfico para ver um triângulo se transformando no outro. Observe com cuidado para ver quais segmentos correspondem uns aos outros.

cotg(θ)=cos(θ)sen(θ)\operatorname{cotg}(\theta)= \dfrac{\cos(\theta)}{\operatorname{sen}(\theta)}
Nós podemos ver essa identidade usando triângulos semelhantes. Deslize o ponto abaixo do gráfico para ver um triângulo se transformando no outro. Observe com cuidado para ver quais segmentos correspondem uns aos outros.

Identidades pitagóricas

sen2(θ)+cos2(θ)=12\operatorname{sen}^2(\theta) + \cos^2(\theta)=1^2
Essa identidade vem da escrita do teorema Pitagórico para o triângulo abaixo.
tg2(θ)+12=sec2(θ)\operatorname{tg}^2(\theta) + 1^2=\sec^2(\theta)
Essa identidade vem da escrita do teorema Pitagórico para o triângulo abaixo.
cotg2(θ)+12=cossec2(θ)\operatorname{cotg}^2(\theta) + 1^2=\operatorname{cossec}^2(\theta)
Essa identidade vem da escrita do teorema Pitagórico para o triângulo abaixo.

Identidades que vêm de somas, subtrações, multiplicações e frações de ângulos

Esses são todos parentes próximos, mas vamos examinar cada tipo.
Identidades de somas e subtrações de ângulos
sen(θ+ϕ)=senθcosϕ+cosθsenϕ\operatorname{sen}(\theta+\phi)=\operatorname{sen}\theta\cos\phi+\cos\theta\operatorname{sen}\phi
sen(θϕ)=senθcosϕcosθsenϕ\operatorname{sen}(\theta-\phi)=\operatorname{sen}\theta\cos\phi-\cos\theta\operatorname{sen}\phi
cos(θ+ϕ)=cosθcosϕsenθsenϕ\cos(\theta+\phi)=\cos\theta\cos\phi-\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}\phi
cos(θϕ)=cosθcosϕ+senθsenϕ\cos(\theta-\phi)=\cos\theta\cos\phi+\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}\phi
A figura abaixo mostra uma maneira de provar a identidade da soma dos ângulos. Os lados esquerdo e direito do retângulo são iguais, nos dando:
sen(θ+ϕ)=senθcosϕ+cosθsenϕ\purple{\operatorname{sen}(\theta+\phi)}=\blue{\operatorname{sen}\theta}\red{\cos\phi}+\blue{\cos\theta}\red{\operatorname{sen}\phi}
O lado de cima e de baixo também são iguais, nos dando:
cos(θ+ϕ)=cosθcosϕsenθsenϕ\purple{\cos(\theta+\phi)}=\blue{\cos\theta}\red{\cos\phi}-\blue{\operatorname{sen}\theta}\red{\operatorname{sen}\phi}
É mais fácil entender esse diagrama se você começar com o triângulo retângulo no meio do diagrama e ir expandindo usando as definições das funções trigonométricas do triângulo direito (COHI CAHI COCA).
Um diagrama similar pode mostrar as identidades da subtração dos ângulos. Você consegue desenhar um?
(Tecnicamente, isso não é uma prova para todos os valores de θ\theta e ϕ\phi, mas identidades se aplicam a todos os valores.)
tg(θ+ϕ)=tgθ+tgϕ1tgθtgϕ\operatorname{tg}(\theta+\phi)=\dfrac{\operatorname{tg}\theta+\operatorname{tg}\phi}{1-\operatorname{tg}\theta\operatorname{tg}\phi}
tg(θϕ)=tgθtgϕ1+tgθtgϕ\operatorname{tg}(\theta-\phi)=\dfrac{\operatorname{tg}\theta-\operatorname{tg}\phi}{1+\operatorname{tg}\theta\operatorname{tg}\phi}
A figura abaixo mostra uma maneira de provar a identidade da soma dos ângulos para a tangente.
Isso é um pouco mais complicado de entender. Trata-se de ir construindo o triângulo na parte de cima à esquerda do diagrama. Quando você aplica a definição do triângulo retângulo à tangente daquele triângulo, você tem:
tg(θ+ϕ)=cateto opostocateto adjacente=tgθ+tgϕ1tgθtgϕ\operatorname{tg}(\blue\theta+\red\phi) = \dfrac{\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjacente}} = \dfrac{\blue{\operatorname{tg}\theta}+\red{\operatorname{tg}\red\phi}}{1-\blue{\operatorname{tg}\blue\theta}\red{\operatorname{tg}\red\phi}}
É mais fácil entender o diagrama se você começar com o segmento na parte de baixo do diagrama e expandir para cima usando as definições trigonométricas dos triângulo retângulos (COHI, CAHI, COCA).
Um diagrama similar pode mostrar a identidade da subtração dos ângulos. Você consegue desenhar um?
(Tecnicamente, isso não é uma prova para todos os valores de θ\theta e ϕ\phi, mas identidades se aplicam a todos os valores.)
Identidades de arco duplo
sen(2θ)=2senθcosθ\operatorname{sen}(2\theta)=2\operatorname{sen}\theta\cos\theta
Nós podemos conseguir essa identidade se pegarmos a identidade da soma dos ângulos para o seno, mas fizermos os dois ângulos iguais.
sen(θ+ϕ)=senθcosϕ+cosθsenϕ\operatorname{sen}(\blue\theta+\red\phi)=\operatorname{sen}\blue\theta\cos\red\phi+\cos\blue\theta\operatorname{sen}\red\phi
sen(θ+θ)=senθcosθ+cosθsenθ\operatorname{sen}(\blue\theta+\blue\theta)=\operatorname{sen}\blue\theta\cos\blue\theta+\cos\blue\theta\operatorname{sen}\blue\theta
sen(2θ)=2senθcosθ\operatorname{sen}(2\blue\theta)=2\operatorname{sen}\blue\theta\cos\blue\theta
cos(2θ)=2cos2θ1\cos(2\theta)=2\cos^2\theta-1
Nós também podemos obter isso da identidade da soma dos ângulos, mas precisamos fazer uma manipulação adicional.
Primeiro, vamos deixar os dois ângulos iguais.
cos(θ+ϕ)=cosθcosϕsenθsenϕ\cos(\blue\theta+\red\phi)=\cos\blue\theta\cos\red\phi-\operatorname{sen}\blue\theta\operatorname{sen}\red\phi
cos(θ+θ)=cosθcosθsenθsenθ\cos(\blue\theta+\blue\theta)=\cos\blue\theta\cos\blue\theta-\operatorname{sen}\blue\theta\operatorname{sen}\blue\theta
cos(2θ)=cos2θsen2θ\cos(2\blue\theta)=\cos^2\blue\theta-\operatorname{sen}^2\blue\theta
Agora, nós podemos usar a identidade sen2θ+cos2θ=1\operatorname{sen}^2\theta +\cos^2\theta= 1 para que o lado direito fique em função apenas de cossenos.
cos(2θ)=cos2θ(1cos2θ)\cos(2\blue\theta)=\cos^2\blue\theta-(1-\cos^2\blue\theta)
cos(2θ)=cos2θ1+cos2θ\cos(2\blue\theta)=\cos^2\blue\theta-1+\cos^2\blue\theta
cos(2θ)=2cos2θ1\cos(2\blue\theta)=2\cos^2\blue\theta-1
tg(2θ)=2tgθ1tg2θ\operatorname{tg}(2\theta)=\dfrac{2\operatorname{tg}\theta}{1-\operatorname{tg}^2\theta}
Isso também vem da identidade da soma dos ângulos
tg(θ+ϕ)=tgθ+tgϕ1tgθtgϕ\operatorname{tg}(\blue\theta+\red\phi)=\dfrac{\operatorname{tg}\blue\theta+\operatorname{tg}\red\phi}{1-\operatorname{tg}\blue\theta\operatorname{tg}\red\phi}
tg(θ+θ)=tgθ+tgθ1tgθtgθ\operatorname{tg}(\blue\theta+\blue\theta)=\dfrac{\operatorname{tg}\blue\theta+\operatorname{tg}\blue\theta}{1-\operatorname{tg}\blue\theta\operatorname{tg}\blue\theta}
tg(2θ)=2tgθ1tg2θ\operatorname{tg}(2\blue\theta)=\dfrac{2\operatorname{tg}\blue\theta}{1-\operatorname{tg}^2\blue\theta}
Identidades da metade do ângulo
senθ2=±1cosθ2\operatorname{sen}\dfrac\theta2=\pm\sqrt{\dfrac{1-\cos\theta}{2}}
cosθ2=±1+cosθ2\cos\dfrac\theta2=\pm\sqrt{\dfrac{1+\cos\theta}{2}}
tgθ2=±1cosθ1+cosθ=       1cosθsenθ=       senθ1+cosθ\begin{aligned} \operatorname{tg}\dfrac{\theta}{2}&=\pm\sqrt{\dfrac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}}\\ \\ &=~~~~~~~\dfrac{1-\cos\theta}{\operatorname{sen}\theta}\\ \\ &=~~~~~~~\dfrac{\operatorname{sen}\theta}{1+\cos\theta}\end{aligned}
Nós podemos chegar a todas essas identidades pegando as fórmulas do arco duplo e fazendo a substituição:
θθ2\blue\theta\rightarrow\red{\dfrac{\theta}{2}}
E então é preciso fazer alguns reajustes.
Por exemplo:
sen(2θ)=2senθcosθ\operatorname{sen}(2\blue\theta)=2\operatorname{sen}\blue\theta\cos\blue\theta
vira...
sen(2θ2)=2senθ2cosθ2\operatorname{sen}(\cancel2\red{\dfrac{\theta}{\cancel2}})=2\operatorname{sen}\red{\dfrac{\theta}{2}}\cos\red{\dfrac{\theta}{2}}
E então precisamos calcular senθ2\operatorname{sen}\red{\dfrac{\theta}{2}}. Tente e veja se você consegue descobrir como chegar às outras identidades.

Simetria e identidade de periodicidade

sen(θ)=sen(θ)\operatorname{sen}(-\theta)=-\operatorname{sen}(\theta)
Nós podemos ver isso examinando um diagrama do círculo trigonométrico.
cos(θ)=+cos(θ)\cos(-\theta)=+\cos(\theta)
Nós podemos ver isso examinando um diagrama do círculo trigonométrico.
tg(θ)=tg(θ)\operatorname{tg}(-\theta)=-\operatorname{tg}(\theta)
Isso é mais difícil de ver em um diagrama do círculo trigonométrico, mas nós podemos chegar à identidade escrevendo a tangente em função de seno e cosseno, e então aplicando as identidades do seno e do cosseno para ângulos negativos.
tg(θ)=sen(θ)cos(θ)\operatorname{tg}(\theta)= \dfrac{\operatorname{sen}(\theta)}{\cos(\theta)}
Então,
tg(θ)=sen(θ)cos(θ)=sen(θ)cos(θ)=tg(θ)\operatorname{tg}(-\theta)= \dfrac{\operatorname{sen}(-\theta)}{\cos(-\theta)}= \dfrac{-\operatorname{sen}(\theta)}{\cos(\theta)}=-\operatorname{tg}(\theta)

sen(θ+2π)=sen(θ)\operatorname{sen}(\theta+2\pi)=\operatorname{sen}(\theta)
cos(θ+2π)=cos(θ)\cos(\theta+2\pi)=\cos(\theta)
tg(θ+π)=tg(θ)\operatorname{tg}(\theta+\pi)=\operatorname{tg}(\theta)

Identidades de cofunções

senθ=cos(π2θ)\operatorname{sen}\theta= \cos(\dfrac{\pi}{2}-\theta)
cosθ=sen(π2θ)\cos\theta= \operatorname{sen}(\dfrac{\pi}{2}-\theta)
tgθ=cotg(π2θ)\operatorname{tg}\theta= \operatorname{cotg}(\dfrac{\pi}{2}-\theta)
cotgθ=tg(π2θ)cotg\theta= \operatorname{tg}(\dfrac{\pi}{2}-\theta)
secθ=cossec(π2θ)\sec\theta= \operatorname{cossec}(\dfrac{\pi}{2}-\theta)
cossecθ=sec(π2θ)\operatorname{cossec}\theta= \sec(\dfrac{\pi}{2}-\theta)
Todas essas identidades parecem iguais!
A chave para entender essas identidades é perceber que ir de θ\theta para π2θ\dfrac \pi 2 -\theta é equivalente a refletir o seu ângulo sobre a reta y=xy=x.
O diagrama interativo abaixo tenta mostrar como os ângulos se relacionam entre si e que senθ=cos(π2θ)\red{\operatorname{sen}\theta}= \blue{\cos(\dfrac{\pi}{2}-\theta)}. Os outros pares de cofunções funcionam da mesma maneira, levando às outras identidades.

Apêndice: todas as proporções trigonométricas no círculo unitário

Use o ponto móvel para ver como os comprimentos das proporções mudam de acordo com o ângulo.
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