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Demonstração das identidades da tangente da soma e da diferença de ângulos

Usando o seno e o cosseno da soma ou da diferença de dois ângulos, podemos demonstrar que: tg(x+y)=(tg(x)+tg(y))/(1+tg(x)tg(y)). Versão original criada por Sal Khan.

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Transcrição de vídeo

RKA12MC - E aí, pessoal, tudo bem? Nesta aula, nós vamos descobrir qual é a tangente de “x + y”. E, para isso, vamos utilizar coisas que já conhecemos, como, por exemplo, o seno de “x + y”, que é igual ao seno de “x” vezes o cosseno de “y” mais o cosseno de “x” vezes o seno de “y”, e também o cosseno de “x + y”, que é o cosseno de “x” vezes o cosseno de “y” menos o seno de “x” vezes o seno de “y”. E isso é algo que já provamos em outros vídeos. Além disso, também sabemos que o cosseno de “-x” é igual ao cosseno de “x”, e que o seno de “-x” é igual a menos o seno de “x”, e que a tangente de algo é igual ao seno desse algo dividido pelo cosseno desse algo. Com isso em mente, será que conseguimos determinada tangente de “x + y” em termos da tangente de “x” e da tangente de “y”? Ou seja, não colocar apenas o seno dividido pelo cosseno. E a primeira coisa que temos que fazer é utilizar essa identidade. E, aí, vamos ficar com a tangente de “x + y” igual ao seno de “x + y” dividido pelo cosseno de “x + y”. E isso vai ser igual a quê? Como sabemos, o seno pode ser expresso desse jeito, correto? Então, onde estiver o seno de “x + y”, eu vou colocar como o seno de “x” vezes o cosseno de “y” mais o cosseno de “x” vezes o seno de “y”, e dividimos isso pelo cosseno de “x + y”, que é mesma coisa que isso aqui. Então, dividimos pelo cosseno de “x” que multiplica o cosseno de “y” menos o seno de “x” que multiplica o seno de “y”. E o que queremos é expressar isso aqui como tangentes de “x” e “y”. E, para isso, podemos pensar em fazer alguma manipulação algébrica. E, como sabemos, a tangente é seno sobre cosseno, correto? Então, será que conseguimos achar algo no qual vamos dividir tanto o numerador quanto o denominador, de modo que vamos ter alguma expressão que possa começar a parecer com uma tangente? Bem, o que eu vou fazer aqui é dividir o numerador pelo cosseno de “x” vezes o cosseno de “y”. E, claro, eu não posso fazer isso somente no numerador, eu tenho que dividir o denominador por esse mesmo número também para que a fração seja mantida. Então, dividimos isso aqui pelo cosseno de “x” vezes o cosseno de “y”, e ainda podemos separar o numerador em duas frações, ficando com o seno de “x” que multiplica o cosseno de “y” dividido pelo cosseno de “x” vezes o cosseno de “y”, e somamos isso com o cosseno de “x” vezes o seno de “y” dividido pelo cosseno de “x” vezes o cosseno de “y”. E podemos fazer isso porque, quando realizamos uma adição de fração com os denominadores iguais, nós repetimos o denominador e somamos o numerador. Na verdade, eu só desfiz a soma. E eu posso fazer a mesma coisa aqui embaixo. Eu vou colocar o cosseno de “x” vezes o cosseno de “y” , o sinal de menos aqui, e o seno de “x” vezes o seno de “y” aqui. E, aí, essa primeira parte vai ficar dividida pelo cosseno de “x” vezes o cosseno de “y”, e essa aqui também, ou seja, dividida pelo cosseno de “x” vezes o cosseno de “y”. Tá, mas por que eu fiz isso? Simples, porque agora podemos simplificar essa divisão. Note que aqui tem um cosseno de “y” e aqui também tem um cosseno de “y”, ou seja, podemos cancelar esses dois termos. E, aí, vamos ficar somente com essa parte. Mas o seno de algo dividido pelo cosseno de algo não é a mesma coisa que a tangente? Então, podemos reescrever aqui como a tangente de “x”. Aqui também podemos cancelar esse cosseno de “x” com esse cosseno de “x”, e vamos ficar somente com o seno de “y” dividido pelo cosseno de “y”, que é a mesma coisa que a tangente de “y”. E dividimos isso pelo quê? Aqui temos um cosseno de “x” que podemos cancelar com esse cosseno de “x” que está dividindo, e aqui cancelamos esse cosseno de “y” com esse aqui, já que está dividindo, ou seja, essa primeira parte vai dar 1. E subtraímos por essa divisão. E preste muita atenção! Aqui temos um seno de “x” dividido por um cosseno de “x”, correto? E isso multiplica um seno de “y” dividido por um cosseno de “y”. Isso não seria a mesma coisa que a tangente de “x” vezes a tangente de “y”? Sim, essa parte aqui vai ser a tangente de “x”, e essa outra, a tangente de “y”. Então, tangente de “x” vezes a tangente de “y”. E, finalmente, conseguimos criar uma expressão para a tangente de “x + y”, de modo que ela dependa apenas da tangente de “x” e da tangente de “y”. Ok, já descobrimos isso aqui, mas será que conseguimos achar uma expressão para a tangente de “x - y”? Aqui, só precisamos adaptar o que já vimos aqui, isso porque a tangente de “-x” vai ser igual ao seno de “-x” dividido pelo cosseno de “-x”. E isso vai ser igual a quê? Vai ser igual a menos o seno de “x” que já vimos aqui (então, menos seno de “x”), e dividimos isso pelo cosseno de “-x” que já vimos aqui, que é igual ao cosseno de “x”. E isso vai ser igual a menos a tangente de “x”. E isso é interessante porque podemos reescrever isso aqui como a tangente de “x + (-y)”, e, olhando para essa expressão, onde tivermos um “y”, vamos substituir por um “-y”. Ou seja, isso aqui vai ser igual à tangente de “x” mais a tangente de “-y” dividido por 1 menos a tangente de “x” vezes a tangente de “-y”. E, como sabemos, a tangente de “-y” é igual a menos a tangente de “y”. E podemos fazer a mesma coisa aqui. A tangente de “-y” vai ser igual a menos a tangente de “y”. Mas, como eu já tem esse menos aqui e temos uma multiplicação, podemos mudar o sinal dele. E reescrevendo isso, vamos ter que a tangente de “x – y” vai ser igual à tangente de “x” menos a tangente de “y” dividido por 1 mais a tangente de “x” vezes a tangente de “y”. E eu espero que esta aula tenha lhes ajudado, e até a próxima, pessoal!