Conjunto solução algébrico da equação do cosseno

RKA12MC - E aí, pessoal, tudo bem? Nesta aula, nós vamos achar a solução para a equação -6 vezes o cosseno de 8x mais 4 igual a 5. E eu sugiro que você pause o vídeo e tente resolver sozinho antes de prosseguirmos. Vamos lá então! O que queremos aqui é um conjunto de soluções, e não somente uma solução, tá? E, para isso, vamos isolar esse cosseno de 8x aqui. Mas como podemos fazer isso? Simples, vamos subtrair ambos os membros dessa equação por 4 e, com isso, vamos ficar com -6 vezes o cosseno de 8x e esse 4 aqui vai sumir (já que 4 menos 4 vai ser zero), e 5 menos 4 vai ser igual a 1. Então, menos cosseno de 8x igual a 1. E, agora, eu posso multiplicar ambos os membros dessa equação por -1/6, já que eu quero ficar somente com o cosseno de 8x. E eu faço isso dos dois lados para não desequilibrar a igualdade. E -1/6 vezes -6 vai ser igual a 1. E, aí, ficamos com o cosseno de 8x igual a 1 vezes -1/6, que é a mesma coisa que -1/6. E poderíamos continuar aqui onde determinaríamos qual cosseno seria igual a -1/6. E, depois, dividiríamos por 8. Eu obteria uma solução. Mas, aí, eu te pergunto: será que estamos pegando todas as soluções? Para ter certeza, eu vou relembrar aqui algumas identidades trigonométricas, tá? E, para isso, eu gosto sempre de desenhar um círculo unitário aqui, onde esse é o eixo “x” e este aqui é o eixo “y”, e o nosso círculo unitário vai ser mais ou menos assim. E o que queremos saber é todos os ângulos no qual eu tenho um cosseno igual a -1/6. -1/6 no eixo “x” está mais ou menos aqui. Com isso, vamos ter esse ângulo mais ou menos, né? Já que sabemos que o cosseno de um ângulo é a coordenada “x” de onde esse raio é definido por esse ângulo, ou seja, onde esse raio intercepta o círculo unitário. Mas note que tem outro lugar também. Aqui no terceiro quadrante também vamos ter um cosseno negativo, por isso vamos ter esse ângulo aqui que vai nos dar o mesmo cosseno. E uma identidade que já vimos é que o cosseno de menos teta (-θ) tem que ser igual ao cosseno de θ. Então, se o cosseno de 8x é igual a -1/6, então, utilizando essa identidade trigonométrica, podemos determinar também o cosseno de -8x, que, nesse caso, também vai ser igual a -1/6. Ou seja, o cosseno de -8x também é igual -1/6. Agora já encontramos as nossas soluções, né? Até porque isso aqui vai te dar um outro valor de “x”, que vai dar o resultado que queremos, que, nesse caso, é 5. Tá, e digamos também que eu tenha um outro ângulo aqui, em que o cosseno dele também é igual a -1/6. Mas, se eu desse uma volta completa, eu chegaria no mesmo lugar, correto? O cosseno novamente seria -1/6. E eu poderia ficar girando, ou seja, adicionando dois pi (2π) infinitamente. Ou seja, poderíamos adicionar 2π um número inteiro de vezes, ou seja, um número qualquer. O que eu quero dizer é que podemos reescrever isso aqui como o cosseno de 8x mais 2kπ igual a -1/6. E podemos também reescrever isso aqui como o cosseno de -8x mais 2kπ (e, claro, esse “k” é um número inteiro em ambas as situações) e isso também vai ser igual a -1/6. Agora, sim, estamos encontrando todas as soluções possíveis para o valor de “x”. E, finalmente, podemos encontrar essa solução. Vamos fazer isso juntos? Simples, aplicando o inverso do cosseno em ambos os membros dessa equação, e, aí, ficamos com 8x mais 2kπ igual ao inverso do cosseno de -1/6. Também poderíamos escrever como arco cosseno de -1/6, tá? E, resolvendo para “x”, podemos subtrair ambos os membros da equação por 2kπ, e aí vamos ficar com 8x igual ao inverso do cosseno de -1/6 menos 2kπ. E uma coisa importante que você tem que perceber é que o sinal desse -2kπ não faz tanta diferença, tá? Isso porque o “k” pode ser um inteiro positivo, mas também pode ser um inteiro negativo. Mas, para continuar a solução, eu vou considerar o negativo aqui, tá? E dividindo ambos os membros dessa igualdade por 8, vamos ficar com “x” igual a 1/8 do inverso do cosseno de -1/6 menos “k” vezes π sobre 4. E podemos fazer a mesma coisa com essa outra igualdade, né? E eu sugiro que você pause o vídeo e tente resolver sozinho. Vamos lá então! De novo, aplicamos o inverso do cosseno em ambos os membros da igualdade, e, aí, vamos ficar com -8x mais 2kπ igual ao inverso do cosseno de -1/6. E subtraindo ambos os membros dessa equação por 2kπ, vamos ficar com -8x igual ao inverso do cosseno de -1/6 menos 2kπ. E multiplicando ambos os membros dessa igualdade por -1/8, vamos ficar com “x” igual a -1/8 que multiplica o inverso do cosseno de -1/6 mais “k” vezes π sobre 4. E essas duas soluções formam o nosso conjunto solução, ou seja, a combinação dessas duas. E eu espero que esta aula tenha lhes ajudado, e até a próxima, pessoal!